PAR RAPPORT AUX AXES

Pour passer des moments autour d'un système d'axes rectangulaires aux moments autour d'axes parallèles, il suffit de retrancher des premiers moments les moments par rapport aux anciens axes, des forces transportées parallèlement à elles-mêmes à la nouvelle origine.

52. Soit proposé, en troisième lieu, de chercher le moment de la force F par rapport à une droite OP, passant par l'origine. La direction de celte droite OP est définie par les angles POX = a, POY=p, POZ = y, "^' ^'

qu'elle fait avec les axes, ou, en projetant le point P en A, B, C sur les trois axes, par les cosinus de ces angles, savoir

OA ^ OB oc

cosa = gp., co«p = 5p, C08v = jjp.

Les cosinus ont les signes des abscisses OA, OB, OC, et ils sont liés entre eux par la relation

Deux des angles étant donnés, le troisième cosinus s'en déduit, au signe près, au moyen de cette équation.

Concevons un plan mené par le point 0, normalement à Taxe OP. Nous trouverons le moment cherché (§45) en projetant sur ce plan Taire du triangle qui a pour sommet le point 0, et pour base la force F, et nous avons vu (g 46) qu'il suffît pour cela de projeter sur l'axe OP une longueur OH, égale au moment de la force F par rapport au point 0, et prise sur une perpendi- <nilaire au plan OMF.

Les moments L, M, N de la force F par rapport aux axes ne sont autre chose que les projections sur les axes de cette longueur OH; on peut donc regarder OH comme la résultante géométrique des trois composantes L, M, N, portées respectivement sur les axes à partir du point 0. La projection de Is résultante OH sur la direction OP est la somme algébrique

des projections des composantes sur la même direction. Prenons sur Taxe OX une longueur OL=L, et projetons le point L en V sur OP. Nous aurons OL' =L cos a ; de même la projection sur OP du moment M, autour de l'aie OY, sera ^le à Mcos^, et la projection sur ON du moment N autour de l'axe OZ sera Ncosy- Donc enfin

MopFr= Loosa + Mcos|9 + Ncosy.

La connaissance des moments par rapport à trois axes rectangulaires conduit donc immédiatement à la détermination du moment autour d'un axe quelconque passant par l'origine.

THÊ(miE DES COUPLES.

53. On a vu (§ 40) qu'un couple est le système formé A-F par deux forces {F, —F) égales, parallèles et dirigées en sens contraires, 0. A lo appliquées en deux points liés invariablement Tun n l'autre ; et que le bras F* de levier du couple est la distance de

Fig. 46. çgg ^Q^^ forces. Un tel système ne

peut être réduit à une force unique ^

Prenons les moments des forces F et — F par rapport à un point quelconque, 0, du plan des deux forces. Le moment de la force AF sera égal au produit FxOA, et

* La notion du couple, considéré comme un élément irréductible de la mécanique, a été introduite vers 1800 par Poinsot; elle a transformé la statique et la dynamique, et reste l'une des créations les plus fécondes du profond géomètre à qui elle est due. Une réaction peu réfléchie s'est cependant produite, il y a quelques années, contre celte notion à la fois si élégante et si simple, et peu s'en est fallu que le couple ne disparût de l'enseignement. La grande objection dés ennemis des méthodes de Poinsot, de ceux, par exemple, qui regardent sa statique comme tm iour de force, c'est que les élèves ne peuvent pas comprendre tur^e^ehamp Veffet d'un couple sur un corps solide. Or les commençants ne se font pas une idée plus juste de l'etTet d'une force unique sur un corps solide, de sorte que l'objection, si elle avait quelque valeur, conduirait à nier la Intimité

DES COUPLES. ^l

le moment de la force —F, égal à — Fx OB; la somme algébrique des moments est donc égale à

PXOA— Fx0B = Fx(0A — 0B)=:— FxAB,

c'est-à-dire que la somme algébrique des moments d*un couple par rapport à un point du plan de ce coupky ou par rapport à tout axe normal à ce plan^ est constante^ et égale en valeur absolue au produit de la valeur commune des deux forces par le bras de levier.

Ce produit prend le nom de moment du coup/e. Lorsque plusieurs couples sont situés dans un même plan, on leur donné les signes -f- ou—, en suivant la convention relative aux signes des moments des forces; il est facile de reconnaître qu'appliquée aux couples, cette convention revient à regarder comme positifs les moments des couples qui tendent à faire tourner leur bras de levier de gauche à droite, et comme négatifs, ceux qui tendent à faire tourner leur bras de levier de droite à gauche. Il est bien entendu que cette tendance du couple à faire tourner son bras de levier n'est qu'une image tout à fait fictive, et qu'elle ne préjuge en rien la solution du problème de dynamique qui consisterait à déterminer le mouvement d'un système solide sollicité par cet ensemble de forces.

Le moment d'un couple FxAB peut être représenté par Taire d'un parallélogramme ayant F pour base et AB pour hauteur, c'eât^-dire par l'aire du parallélogramme AFÂ'F' qui aurait pour bases opposées les deux forces F et F'.

de rétude de la statique tout entière. 11 n'y a rien d'étonnant, au contraire, à ce qu'une notion commence par être incomplète, et -gagne en précision dans l'esprit de Tétève à mesure qu'il pousse ses études plus loin. Pour nous, nous avons voulu maintenir dans ce traité la théorie même de Poinset. La comparaison de la statique avec là cinématique, dans laquelle le couple s'assit mile à la trantlatUm et la force à la rotation, nous parait suffire pour fair^ saisir le véritable caractère de cette théorie, tout en ajournant à la dynamique la question des effets de mouvement des forces : l'usage des couples en simplifiera du reste «înguiièrepient Tanalyse. . /

n THÉORIE

54. On peut transporter un couple partout oU Von voudra^ dans son ptaUj ou dans un planparallèle^ et F orienter comme on voudra dans ces plans^ enfin on peut substituer à un couple un autre couple de même moment^ sans troubler Véquilibre.

La démonstration exige que l'on considère successivement chacune de ces altérations.

l"" On peut, sans troubler Téquilibre, faire tourner le couple d'un angle quelconque dans son plan autour du milieu I de son bras de levier.

Soit (F, F') le couple dans sa position primitive ; AB son bras de levier ; soit (F^, V\) le couple dans sa seconde position, et kfi^ son brar tie levier. 11 suffira de démontrer quele couple (F^jF',), obtenu en changeant le sens des forces du couple (F^, V\), fait équilibre au couple (F, F') ; car s'il en est ainsi, on pourra appliquer au système les quatre forces Fj, F„ F\, F', qui se font équilibre deux à deux, puis supprimer les ^''^' ^^' forces F,, F, F',, F' qui se font équi-

libre, et il restera le couple (F^, F\).

Or les forces F', et F' se coupent en un point L, où Ton peut les supposer appliquées; elles se composent en ce point en une seule force LS, dirigée suivant la bissectrice de leur angle; la résultante LS passe donc par le point I. De même, les forces F et F, se composent eu une seule KR, dirigée aussi suivant la bissectrice de leur angle, et passant par le point 1. Enfin les forces LS et KR sont égales et de sens opposés. Et comme elles peuvent élre supposées appliquées au même point I, elles se font équilibre.

Le système (F^, ¥\) est donc équivalent au système (F, P).

S"* On peut, sans troubler l'équilibre, déplacer un couple parallèlement à lui-même, dans son plan ou dans des plans parallèles.

Soit F, F' le couple donné; AB, son bras de levier. Trans-