COUPLE RÉSULTANT. S

Abaissons (ÏO perpendiculaire sur OR ; nous pourrons regarder la Torce R comme appliquée en ce point 0 pris sur sa direction, et le couple C comme représenté par son axe OC, porté sur OR à partir du même point. Au point O', appliquons deux forces égales et parallèles à R, et en sens contraire l'une de l'autre ; nous substituons ainsi à la force donnée une force R, égale et parallèle, appliquée en 0^ et un couple (R, — R), dont le moment est R x 00", et dont on aura Taxe en prenant une quantité, OH, égale à ce moment, sur la perpendiculaire élevée en 0 au plan ROO'. Le nouveau couple résultant C s'obtiendra donc en composant au point 0 l'axe OC du couple primitif avec l'axe OH du couple (R, — R)* ce qui donne un axe OC, diagonale du rectangle OCC'H ; par suite, le nouveau couple C a un moment plus grand que le couple C, et son axe fait avec la direction de la résultante un angle différent de zéro.

De quelque cAté que Ton déplace le point 0 autour de la direction OR, on obtient donc un accroissement dans la grandeur du couple résultant ; cet accroissement est le même pour un même écart 00', pris dans le plan normal à OR mené par le point 0.

Il n'existe donc qu'une seule droite OR, tout le long de laquelle le plan du couple résultant soit normal à la résultante, et c'est celle pour laquelle le couple résultant est minimum.

L'analogie que nous avons déjà fini pressentir entre la statique et la cinématique des corps solides se complète ici. En eflel, tout déplacement élémentaire d'un corps solide a été ramené à la coexistence d'une rotation et d'une translation, et noos avons reconnu qu'on peut déterminer un axe de rotation unique, parallèlement auquel la translation s'opère; c'est Taxe du mouvement héUcoîdal du corps solide. La translation est alors minimum, la rotation restant toujours constante (I, ^ 160 et 161). De même, nous venons de ramener les forces sollicitant le corps solide à une résultante R, qui cor-

88 AlB CENTRAL

respond à la rotation, et à un couple C, qui correspond à la translation; puis nous avons reconnu Texistence d*une direction unique, qui est à la fois la direction de la résultante, la direction de Taxe du couple résultant, et le lieu des points pour lesquels le couple résultant est le plus petit possible. Cette droite a été appelée par Poinsot Vaxe central des mo^ ments ou des couples,

EnQn , la réduction de toutes les forces données à deux forces cx)rrespond à la décomposition du déplacement élémentaire d'un corps solide en deux rotations simultanées (I, g 157).

64. Proposons-nous de trouver la position de l'axe central. Soit OR la résultante de translation, supposée appliquée au point 0, et OC Taxe du couple correspondant, qu'on peut mener aussi par le point 0. Décomposons le / couple OC en deux couples composants, 'Ti l'un OA, suivant la direction de la résul- ; tante R, l'autre OB, perpendiculaire à la ~~D résultante. Par le point 0, menons une j /' droite OX, perpendiculaire au plan ROB, et

oY sur cette droite, prenons, dans un sens

x/j qu'on définira tout à Theure, un point (ï

I tel, que R x OO' soit égal au couple OB.

1 Nous pouvons transporter au point 0' la ré-

p.^ ^ sultante R, en appliquant en ce point deux

forces R et — R, égales, parallèles, et contraires l'une à Tautre. Par là nous donnons naissance à un couple (R, — R) dont le bras de levier est 00', et dont le moment, R x 00', est égal au moment du couple composant OB. Nous pouvons d'ailleurs prendre sur la droite OX la distance 00' dans un sens tel, que Taxe OB' du couple (R, — R) soit dirigé en sens contraire de OB, sur la droite perpendiculaire au plan ROO'. On ramène ainsi le système de la force OR et du couple G au système de la force O'R et des trois couples OB, OB', OÂ ; les deux premiers couples, égaux et contraires, se détruisent, et il reste la résultante R