CHAPITRE DNIQCE
COgPOSniOll OCS FORCES APPLIQUÉES A UN MÊME POINT MATÉRIEU ÉQUILWRC DU POINT MATtRIEL LIBRE.
10. Un point matériel, entièrement libre dans l'espace, et supposé en repos, reste indéfiniment en repos s'il n'est sollicité par aucune force. Ce point prend un certain mouvement sous l'action d'une force unique, si petite qu elle soit, qui vient à le solliciter, et ce mouvement commence dans la direction même de la force.
S'il est sollicité à la fois par deux forces, le point prend en général un certain mouvement dans une direction particulière; mais il peut se faire qu'il demeure en repos; ee cas particulier a lieu quand les deux forces qui sollici^ tent le point sont égales et agissent en sens opposés. On dit alors qu'elles se détrment; c'est le cas le plus simple de l'équilibre.
Lorsque le point est sollicité par trois forces ou plus de trois, il est possible qu'il demeure en repos; mais il faut pour cela
12 COMPOSmON
que les forces satisfassent à certaines conditions, que nous allons chercher.
11. Avant tout nous poserons les axiomes et les définitions qui suivent.
Lorsque plusieurs forces F, F', P, ... sollicitent un point matériel, et qu'elles ne se font pas d'elles-mêmes équilibre, le point prend un certain mouvement qu'on peut toujours empêcher en appliquant au point, en sens contraire du mouvement qu'il va prendre, une nouvelle force R d'une intensité conve* nablement choisie. Alors les forces F, F', F", ... et R se font équilibre*. Or si la force R sollicitait seule le point, on la tiendrait en équilibre par une force — R, égale et opposée. Au point de vue de Téquilibi^ du point, il est donc indifférent de considérer soit le système de forces
F, F', F". ... et R,
soit le système
— R et R.
La forc^ — R est équivalente à Tenserable des forces F, F', F", ... ; on dit qu'elle est la résultante des forces données.
Dans un système de forces en équilibre, chaque force est égale et contraire à la résultante de toutes les autres.
12. Lorsque les forces F, F', F", ... agissent toutes suivant la même direction et dans le même sens, leur résultante est égale à leur sommcj c'est-à-dire qu'aux forces F, F', P, ... on peut substituer une force unique, agissant suivant la même direction et dans le même sens, et égale à la somme
F-f F'-hF"-h...
L*ensemble de ces forces sera donc tenu en équilibre par une force unique R, égale à cette somme, et dirigée en sens contraire.
Quand deux forces F et F' agissent sur un point matériel suivant la même direction, mais en sens opposés, la résultante de ces deux forces est égale en valeur absolue à leur diffé-
DES FOUCES. 13
rence, F — F% el elle est dirigée dans le sens de la plus grande ; de sorte que l'ensemble de ces deux forces sera tenu en équilibre par une force agissant suivant la direction des forces données, dans le sens de la plus petite, et égale à Texcès de la plus grande sur la plus petite.
Chacune des forces F et F' peut être la résultante ou la somme de forces agissant dans le même sens qu elle.
De là résulte la règle suivante :
Lorsque plusieurs forces agissent sur un point matériel suivant la même direction^ les unes dans un sens^ les autres en sens opposé^ leur résultante est égale à la différence entre la somme de toutes les forces agissant dans un sens et la somme de toutes les forces agissant en sens contraire, et elle est dirigée dans le sem de la plus grande de ces deux sommes.
Si Ton attribue des signes aux forces données, le signe + à celles qui agissent dans un sens, le signe — à celles qui agissent en sens contraire, on pourra dire que la résultante de ces forces est égale en grandeur et en signe à la somme algébrique des forces données ; elle sera exprimée par Téquatioii
R = F-hF'+F"+...;
la force — R, jointe aux forces F, F', F",... compléterait l'équilibre.
15. La même règle s'applique identiquement à des forces agissant suivant une même direction, sur.dilférents points matériels distribués le long de cette direction, à des distances invariables les uns des autres.
Soient A et B deux points matériels situés à une distance AB, invariable dans un sens comme dans l'autre. Si Ton applique au système formé par ces deux points deux forces égaies, F et — F, agissant en sens op- .
posés suivant la direclion de la ^-^ \ ? ? .,
droite AB qui les joint, on peut pj^
regarder comme évident que ces
forces se font équilibre ; car leur effet ne peut être que d'altérer la distance AB, laquelle est par hypothèse invariable.
La force F appliquée au point B peut donc être tenue en équilibre aussi bien par la force — F appliquée au point A de sa direction, que par une force — F appliquée au point B luimême, pourvu que le point A soit supposé invariablement lié au point B. Il en résulte qu'une force donnée peut être supposée appliquée en un point quelconque de sa direction ; ce transport des forces est d'ailleurs entièrement fictif et sert seulement en statique à opérer certaines transformations utiles à la solution des problèmes.
COMPOSITION DES FORCES CONCOUnANTËS.
14. Nous avons déjà vu (g 5) que plusieurs forces appliquées en môme temps à un même point se composent en une force unique en suivant la même règle que pour la composition des vitesses ou des accélérations. Mais il n'est pas sans importance de faire voir que la démonstration de cette proposition peut cire afTranchie de toute considération de cinématique*, et qu'elle résulte des principes et des définitions de la statique pure.
15. Nous commencerons par observer que la résultante de deux forces qui font entre elles un angle quelconque est dingtfe dans le plan des deux forces ; et que si les deux forces sont égales, leur résultante est dirigée suivant la bissectrice de leur angle.
Un point en repos, sollicité par deux forces à la fois, prend un certain mouvement unique et parfaitement déterminé ; or tout est symétrique par rapport au plan des deux forces, et si le point sortait de ce plan, il faudrait qu'il choisit entre Tun ou Taufre de deux déplacements symétriques également possibles ;
*■ Nous ne disons pas que la démonstration du parallélogramme des forces peut être afTrancliie de toute considération de mouvement; nous disons seulement qu'elle peut être affranchie de toute notion de cinématique, parce qu'on peut l'établir sans connaître la mesure des forces par les accélérations qu'elles communiquent à un même point matériel.
un (el choix étant inadmissible, et le fait du mouvement étant cependant nécessaire, il faut que les deux déplacements également possibles coïncident et n'en fassent qu'un , ce qui les suppose situés dans le plan de symétrie. La résultante des deux forces, qui est égale et contraire à la force capable de maintenir le point au repos, est donc dirigée dans ce même plan.
On démontrerait par un raisonnement tout semblable que la résultante de deux forces égales appliquées à un même point est dirigée suivant la bissectrice de leur angle.
16. On peut ajouter que la résultante de deux forces égales qui font un angle constant est proportionnelle à l'intensité commune de ces forces, de sorte que si elles deviennent à la fois doubles, triples,. .., la résultante devient en même temps double, triple,....
En effet, si les deux forces égales F et F', agissant sur le point H, ont pour résultante la force R, dirigée suivant la bissectrice MR de Pangle FMF', deux nouvelles forces F et F% égales aux premières, et appliquées au point H suivant les mêmes directions, auront pour résultante une nouvelle force R, dirigée encore suivant MR. Le point M peut donc être considéré comme sollicité par deux forces, lune égale à 2F, agissant suivant MF, l'autre égale à 2F', agissant suivant MS', et ces deux forces ont pour résultante une force 2R, suivant la bissectrice de l'angle FMF\ En général, si toutes les forces qui sollicitent un point sont augmentées ou diminuées dans un même rapport, sans altération de leurs directions, la résultante varie dans ce même rapport, et sa direction reste la même. Quand on représente par des droites finies les forces et leur résultante, la même figure les représente encore, après leur altération, par un simple changement d'échelle.
17. Proposons-nous d'établir la règle du parallélogramme des forces pour le cas où les deux forces F et F' sont dans un
16 GOUPOSniON
rapport quelconque. Nous y parviendrons au moyen des lommes suivants.
1^ Si les sommets opposés À et C d'un losange ABCD sont réunis l'un à l'autre d'une manière invariable et qu'on applique aux points A elC, suivant les côtés AB, AD, CB, CD, quatre forces égales, F, F', F" et F'", le système des points A et C restera en équilibre.
En effet, la diagonale AC du losange est bissectrice des angles BAD, BCD, que font entre elles les forces dans chaque groupe. Les deux forces JF et F', composées ensemble, ont une résultante R, appliquée en A et dirigée suivant CA. De même, les forces Pet F'" ont une résultante R', égale à R, appliquée en C et dirigée suivant CA. Les deux forces égales R et R', appliquées aux extrémités de la tige rigide AC, se font équilibre. 2^ Si les sommets A et C d'un parallélogramme ABCD sont réunis invariablement l'un à l'autre et qu'on applique aux
points A et C, suivant les côtés AB, AD, CB, CD, des forcesFp F,,F„F4,proportionncUes aux longueurs ' * ~ ^ "de ces côtés, et par suite*
égales deux à deux, le système des points A et C sera en équilibre.
Supposons d'abord que le côté BC contienne le côté AB un nombre entier de fois, 4 fois par exemple.
On pourra partager le parallélogramme ABCD en quatre losanges ABEF, FE6H, HGKL, LKCD; imaginons qu'on réunisse les points E, G, K, F, H,, L aux points A et C de manière à former un système invariable. Nous pouvons partager de même les forces égales F, et F^ en quatre parties égales à F^, el supposer ces forces partielles appliquées l'une au point A, l'autre au point F, la troisième au point H et la quatrième au point £, pour la force F,; la première au point C, la seconde au
B TE G y* t ç
B Fig. 10.
point K, la troisième au point C, la quatrième au point E, pour la force F^. Nous pouvons encore, sans troubler l'équilibre, appliquer aux points E et F, suivant le côté FE, deux forces égales et contraires, égales toutes deux à F^; faire de même aux points G et H, et aux points L et K. En définitive, nous aurons substitué au système primitif des quatre forces ^-^ — j-^ — 4-^ — -r-^ — y
Fi, Fi. F.» F„ le système / f f f /
ci-contre, qui lui est équi- Z — ^^-X — , 1 — ^ / .^ /
valent au point de vue de l'équilibre.
Or chacun des losanges partiels est séparément en équilibre. L'ensemble est donc aussi en équilibre, et par suite les forces Fj, F,, F,, F^, se font équilibre.
18. Supposons ensuite que les deux côtés du parallélogramme soient entre eux comme deux nombres entiers, m et n. La proposition sera encore vraie.
Nous pouvons en effet partager le parallélogramme en n parallélogrammes égaux, dans chacun desquels le grand côté sera égal à m fois le petit. Supposons que le rapport des côtés soit |, par exemple. Nous pourrons diviser le côlé AB en trois parties égales, aux points Eet G, et menant les parallèles EF, GB, nous aurons divisé le parallélogramme en trois parallélogrammes égaux, dans chacun desquels le grand côté sera égal à 5 fois le plus petit.
La force F^ qui agit suivant le côté AB peut être partagée en trois forces égales, appliquées respectivement en A, G et E; il «n est de même de la force F„ dont on appliquera les parties égales aux points C, F et H. Les points E, G, H, F, étant supposés ^ ^
liés invariablement au sjstème fiî- n-
des points A et G, ajoutons en E et en F deux forces égales à F^, agissant Tune de E vers F, l'autre de F vers E. Faisons de même en G et en H. Chacun des parallélogrammes AGHD,
n. — Hic. ooLUGifo». 2
18 PARALLËLOGRAVME
GEFH,EBCFsera en équilibre (§17);renseinble des trois parallélogrammes est donc aussi en équilibre, et par suite les quatre forces Fp F,, F,, F^ sont en équilibre, et le lemme est démontré ^ On en déduit cette conséquence :
La résultante de deux forces F^, F,, appliquées à un même point A, passe par le sommet C du parallélogramme ABCD construit sur ces deux forces. Car cette résultante fait équilibre à la résultante de deux forces F,» F^, laquelle passe en ce point C.
19. De là il est facile de conclure que la résultante R de deux forces P et Q ^^ représentée en grandeur et en direction par la diagonale du parallélogramme construit sur ces deux forces.
Sur les côtés AB, AD, respectivement proportionnels aux '
c forces P et Q, construisons le parallélogramme ABCD. La résultante R des forces P et Q passera par le sommet C de ce parallélogramme; mais nous ^' **• ignorons encore quelle est
sa valeur, et si elle est proportionnelle à AC.
Prenons sur le prolongement de AG une longueur AE proportionnelle à la force R, et qui représentera en grandeur et en direction une force — R, égale et opposée. Les forces — R, P et Q se font équilibre. Donc la force — Q, égale et opposée à Q, est la résultante des forces P et — R ; et par suite, si on achève le parallélogramme AEHB, construit sur les forces Pet — R, la diagonale AH de ce second parallélogramme sera dirigée en prolongement du côté AD du premier. Les trois points H, A, D sont donc en ligne droite; les deux triangles EÏÏA, CDA,
1 n resterait & étendre la démonstration au cas où les forces données sont incommensurables. On peut employer pour cela soit la réduction & l'absurde» soit la théorie des limites. Nous ne nous arrêterons pas à développer ce complément de la démonstration.
ont deux côtés égaux, HE = AB = CD, et les deux angles adjacents sont aussi respectivement égaux : HEA = ACD, AHE=ADC. DoncEÂ=AC, et par suite la résultante R est représentée, en grandeur comme en direction, parla diagonale AC du parallélogramme ÂBCD.
SO. On peut parvenir par un procédé analytique à la même conclusion. Deux forces égales, F, F% faisant entre elles Tangle FMP=2<z, ont une résultante R dirigée suivant la bissectrice de leur angle; de plus la résultante R est proportionnelle, pour une même valeur de Tangle a, à la valeur conunune F des composantes. U loi qui lie les forces F et R ''*' *'• est donc exprimable par une relation de la forme
9 désignant une fonction qu'il s'agit de déterminer.
Nous pouvons décomposer la force F en deux forces égales / et f , dont les directions fassent avec MF des angles égaux FMf = FMf = p. De même, nous décomposerons la force F en deux forces/* et f'j égales entre elles et aux forces f etf , suivant les directions N/*, Vlf'% qui font avecMFMes angles égaux à p. Appelant flamesure communedes quatreforces fjf^ fj f"\ nous aurons, pour la déterminer, l'équation
La composition des forces F et F' revient à la composition des quatre forces /", f , /*, f "; or les forces égales f et f" se composent suivant leur bissectrice MB en une force égale à
et les forces f^ ff suivant la même bissectrice, en une force
rOMPOSlTlON
Donc
et la fonction f doit satisfaire à la relation générale
(1) f(«-»-«+f(«-p)«?Wf(p).
quels que soient les angles a et 0.
Nous commencerons par déterminer certaines valeurs de la fonction ^ •
1* Si Ton fait a=0, les deux forces F et F prennent la direction delà force R, et par suite
Donc
2® Pour a=â9 l^s ^^^^ forces F et F' prennent des directions opposées, et leur résultante est nulle. On a donc
3* Faisons ensuite a= 7. La force F se décomposera en deux
forces égales feif. Tune perpendiculaire à la direction de M, et Pautre dans la direction même de R. Il en est de même de la force P. Il en résulte que les forces f et f s'ajoutent pour donner R, et que par conséquent
tandis que les forces /"et f" se détruisent. On a donc à la fois
et
R = FxyQ).
Donc
4* Enfin cherchons la valeur de ^ ( ^ K
La force F est décomposable en deux forces / et f^ Vnnef dirigée suivant la ligne MR, l'autre f dirigée suivant le prolongement de la force P. La résultante des forces F et F% ou des forces f, f , F, est dirigée SQÎTant MR ; or la force f est déjà dirigée suivant MR; la résultante de P et de f est une force F'— f, dirigée suivant la ligne fF' ; composée avec f^ elle donnerait une résultante qui ne pourrait coïncider avec la direction IfR, à moins qu'elle ne soit nulle. Donc /=F'.
On en déduit
pour une valeur de Tangle a égale à s, et par conséquent
Connaissant ces valeurs, on peut en trouver d'autres an moyen de la relation [1] . Par exemple, faisons ^=«9 il viendra
f(S«)=[fWJ*-f(0)=IfWJ«-i;
puis faisons a=2p, et remplaçons ^ par a :
f (5«)=y W f (î«)~f («) = [f WP-3y(«),
et ainsi de suite.
Observons encore que la fonction f (a) ne s'annule pour aucune valeur de a comprise entre 0 et ^ , et qu'entre ces limites elle décroît à mesure que la variable a augmente, de sorte qu'elle reste comprise entre 2 et zéro.
n COMPOSITION
Ces diverses remarques vont nous conduire à la détermination de la fonction ç •
Dans l'équation [1] faisons aL=:n^,n étant un entier positif; nous en déduirons
ou bien, en posant d'une manière générale y (ilc0)=ttt» pour toute valeur entière de ky
OU encore
«•4-i — W4tt||4-Wll-1«0. A
Cette équation montre que la série
tf| «t «s ••• «• •••
est récurrente; chaque terme se forme en ajoutant les aeux précédents, multipliés Tun par le nombre constant u^ Fautre par — 1. On peut faire précéder le terme u^ du terme
tto=?(0)=2.
Cherchons à exprimer u, en fonction deU|. Pour cela, considérons la série
ei multiplions-la par le trinôme
La lettre x représente une variable auxiliaire, dont la valeur reste indéterminée, et qu'on peut, une fois pour toutes, supposer assez petite pour assurer la convergence des séries dont on va faire usage.
Le produit se réduit à ses deux premiers termes
de sorte que la série S s'obtient en effectuant la division
Décomposons cette fraction rationnelle en fractions simples. Les facteurs du dénominateur sont
on a donc à déterminer les constantes A et B de manière à satisfaire à ridentité
a— ti^jg A B
Pour cela, il faut qu'on ait séparément
A + B^no
ou bien
