î^ ïf-i ___

Vt-* Vt-»

et enfin Substituons ces valeurs de A et B. Ù vient pour la série S.

84 iCOMPOSmON

La division permet de développer chacune de ces fractions simples en une progression géométrique :

Donc enfin, en comparant à Péquation (2),

Introduisons une nouvelle variable 6, en posant U|=i2cosO: comme u^=2 pour ^=0, nous pourrons faire en sorte que les arcs 6 et ^ s'annulent ensemble ; nous pourrons d'ailleurs les regarder tous deux comme positifs. U résulte de cette rdlation

et par suite

tt» = {co80 + ^^^sin e)*+ (co8« — ^3î gin e)»= îcos 110.

Si donc on exprime f (P) par le double du cosinus d'un certain arcO, f (n^) sera exprimé par le double du cosinus du produit de cet arc par n, et cela quelque grand que soit le multiplicateur n.

Remplaçons n0 par a; nous aurons à la fois les deux équa* tiens

Faisons ensuite croître indéfiniment le nombre entier n. L'arc ^ deviendra infiniment petit, ainsi que Tare 6, et nous pourrons poser à la limite P=s6, s étant la vraie valeur du

rapport ^, quand les deux arcs ^ et 6 convergent à la fois vers

zéro.

On en déduit

et Donc

s ns

f(a) = 2cosj;

dans cette équation, « est un nombre constant qui reste à déterminer, et l'équation est vraie d'une manière générale^ puisque Tare a est un arc fini quelconque.

Pour déterminer l'arbitraire Sy faisons a=| ; la fonction doit s'annuler ; donc cos ô- =0 ; ce qui suppose s égal à l'inverse, Q , ■ , d'un entier impair.

On aurait donc

y(«) = 2cos(2»'+i)a.

Mais alors la fonction f s'annulerait pour une valeur de a satisfaisant à l'équation (2«'4-l) «=§» et si S^'-i- i était > 1,

cette valeur serait comprise entre 0 et ^i ce qui est contradictoire avec la signification particulière que nous attribuons à la fonction f. Donc enfin «=1, et la fonction f (a) est égale à 2cosa.

Cette fonction satisfait à toutes les conditions proposées. Elle

26 ËQUILIBBE

l^mdla valeur 2 pour a=0, la valeur 0 pour a=^i la valeur ^2 pour a=Ti et la valeur 1 pour a=^. D'ailleurs on a

f (a:l=^] = Scos{ad=p) sas 2 (C06a 006|l ip sinasin/S),

et par suite

On arriverait à la même conclusion en développant les fonc^ lions 9(a±^) par la série deTaylor; c'est la méthode que suivaient Poisson, Navier, etc.

La proposition démontrée pour le losange s'étend sans difficulté au parallélogramme, en commençant par le cas particulier du rectangle.

21 . La règle du parallélogramme des forces peut être ensuite généralisée et étendue à la composition de tant de forces qu'on voudra : s'il y a trois forces, elle devient la régie àa parallélépipède des forces; s^il y en a plus de trois, la régie du polygone des forces. La résultante des forces appliquées en un même point est toujours représentée en grandeur et en direction par la résultante géométrique des droites qui représentent les forces données (I, § 49).

GONDinoits d'équilibre d'un point Matériel sollicité