Nous avons posé (g 48) les équations générales

*""1F' ''""ïF' ^^2F'

Reprenons l'nypothèse faite dans le § 49, ZF=0. Dans ce cas, la résultante de translation des forces F est nulle , quelle que soit la direction commune qu'on leur attribue. Toutes ces forces se réduisent donc à un couple, ou bien se font équilibre.

l"" Supposons d'abord qu'elles se réduisent à un couple unique. Soient L, M, N les composantes de ce couple projeté sur les trois plans coordonnés. Appelons a, p, y les angles que la direction des forces F fait avec les axes. Les produits

DES FORCES PARALLÈLES. dOl

Fcosa, Fcos p, F cos Y seront les composantes de la force F, et les moments s'obtiendront au moyen des formules

L = S(Fo08yXy — Fcos^Xs)=C08yZFjr— COS^£Fs;

de même

M = COSflC 2f% — OOSy IFx, N = cosp ïFx — cosalFy;

les cosinus sortent des signes Z, parce qu'ils sont facteurs communs à tous les termes compris sous ces signes.

Ces formules donnent les valeurs de L, H, N, et font connaître le couple résultant.

On voit que le couple résultant est nul si Ton a à la fois 2Fx=0, 2Fy = 0, 2Fa=0; alors l'équilibre des forces est assuré.

Si deux de ces sommes sont nulles, par exemple les deux premières, on en déduit N=0. Le couple résultant, ayant un moment nul par rapport à Taxe OZ, est situé dans un plan parallèle à cet axe.

Enfin, si une seule des sommes, iFx, est nulle, les expressions de L, M, N se simplifient ; mais, en général, aucune ne se réduit à zéro.

2'' Nous venons d'observer que les forces F se font équilibre si l'on a SFar = SFy = iFz = 0, avec 7Ï = 0. Mais l'équilibre est également assuré si Ton a à la fois ^

COSyXFy— cos^£F;»=0, 008a 2F:s — cos y SFx= 0, COS^XFx — COSa SFjf = 0,

orna co«/l""cosy' . ■ .

double équation qui définit la direction commune (d, p, y) à attribuer aux forces F pour qu'elles se fassent équilibre. On en déduit en effet

^[IVx]^ -h [IFy)* 4- (2Fs)« ' ZFy

v/(2Fx)«-h(2Fy)«4-(2F3)** __ . IFz

m THËORËHE

Dans ce cas particulier, les coordonnées du centre des forces parallèles sont infinies, mais le couple résultant est nul, dès que les forces F reçoivent la direction particulière définie par les angles a, ^ et y-

THÉORÈMES DE M. CHAStES ET DE M. MÔDIOS.

73. De quelque manière qu'on réduise à deux totUes les forces d'un systèmej le tétraèdre construit sur les droites qui représentent ces deux forces a un volume constant^.

Soient A et B les points d'application, AP, BQ les directions et les grandeurs des deux forces P et Q auxquelles on a réduit le système donné. Menons les droites AB, PB, AQ, PQ, qui

achèvent le tétraèdre APBQ. Nous pouvons considérer ce tétraèdre comme ayant pour base le triangle PAB, et pour hauteur la distance du point Q au plan de la base. Par le point B, menons BF, parallèle à AP ; cette droite sera contenue dans le plan du triangle PAB. Soient ç Tangle FBQ des directions des deux forces, 0 Tangle PAB, et ^ Tangle que fait le plan P'BQ avec le plan PABP'. Soit AB = a la distance des points d'application des deux forces. La surface du triangle PAB a pour mesure | Px a sin 0. Du point Q, abaissons Q(y perpendiculaire sur le plan des parallèles AP, BP', puis QP' perpendiculaire sur BP'. La droite Q'P' est aussi perpendiculaire à BP', et Tangle Qf'Qf est Tangle ({/ des deux plans qui se coupent suivant BP'. La perpendiculaire QP' est égale à Q sin^ ; donc la distance 0(^=0 sin ç sin ^.

Le volume du tétraèdre considéré est égal au produit

Vs=5PasinOXsQsinf sini^= gPQasinOsin^sinf.

Or a sin 0 est la distance des parallèles AP, BP ; a sin 0 sin ^

*■ Annales de mathématiques de Gergokne, 1837. — Statique de HSbios, 1837. ^ Journal de mathénuUiqueê pures et appliquées^ 1847.

DE M. GHASLES. 103

est la distance du point A au plan P'BQ, c'est-à-dire la plus courte distance des forces P et Q ; désignant par .h cette plus courte distance, on aura

Le volume du tétraèdre construit sur les deux forces est le sixième du produit des forces par leur plus courte distance et par le sinus de F angle formé par leurs directions. Le volume du tétraèdre ne change pas, par conséquent, lorsqu'on transporte les forces P et Q en des points quelconques le long de leurs directions.

Observons que Q sin ç, ou QP, est la projection de la force Q sur un plan normal à AP ; A est la dislance de cette projection à la même droite. Le produit Qh sin ç est donc le moment de la force Q par rapport à la direction de la force P, et nous pouvons poser

On aurait de même

V = gPxMp(Q}.

V = jQXllQ(P).

Ces relations peuvent servir à attribuer un signe au volume V.

Pour démontrer le théorème, nous interpréterons d'une autre manière le produit PQ/isin^.

Transportons les forces P et Q aux points où leurs directions sont rencontrées par leur normale commune.

Prenons la direction de la force P pour axe des s, la perpendiculaire commune pour axe des x, et menons Taxe des y perpendiculairement aux deux premiers. Soit OB = fc la dis- ''*^-^'

tance des deux forces, et QBP=9 l'angle de leurs directions.

Les composantes de la force P sont, suivant

l'axe det.x, l'axe des y, et Taxe des s» OOP

104 THÉORËHE

Les composantes de Q suivant les mêmes axes sont

0 Qsinf Qco8f>.

Désignons par X', Y\ Tl les composantes de la résultante de translation « et par Û, H', N' les composantes du couple rës iltant. On obtiendra pour ces quantités:

Z' = P + Qco89,

M'= — QcosfXA,

N'=: + Q8in5pXA.

On en déduit

LOt'+M'Y' H- N'Z'ss PQAsiini.

La fonction LT-f- MT + N'Z'=PQfc sîn çestdonc égaleà six fois le volume du tétraèdre construit sur les deux forces P et Q,

D'un autre côté, soit R la résultante des forces X', T\ Z\ H le couple résultant. La fonction LT-hMT + N'Z', divisée par le produit RH, est le cosinus de l'angle a de R avec H ; et par suite

I/X'-hM'Y' + K'Z' = RHco8ot.

Or Hcosa est la projection, Kl, du couple résultant EH sur la résultante de translation KR ; c'est donc la valeur du couple minimum ff (§ 63) ; de sorte qu'en définitive le produit PQft sin f est égal au produit de la résultante de translation R par ce couple H'. Le système des forces données n*est réductible que d'une seule manière à la Fig. 67. f^pçg n g^ g^ couple minimum H' ; mais il est réductible d'une infinité de manières à deux forces conjuguées P et Q (g 61) ; quelle que soit la décomposition adoptée, on aura

PQAsiDy = RH',

et par conséquent le volume Y du tétraèdre construit sur les deux forces P et Q est constant.

DE MM. GHASLES ET MOBIUS. 105

Ce volume est nul dans deux cas : quand R=0, et quand H' = 0, c'est-à-dire quand le système proposé est réductible à une force unique ou à un couple unique (^ 67 et 68).

Le théorème de Bï. Môbius se déduit de la double équation

La'-hM'Y'-hN'Z'=PQAsm|» = RH'.

Chacun des facteurs L', X%... est une somme de composantes ou de couples composants» dans laquelle figurent les n forces du système donné. Soient, par eiemple, X^, Y^, Z^ les composantes, et L^, M^, N^ les moments par rapport aui axes, d une force F^ ; X,, Y,, Z^, L,, M„ N„ les quantités analogues pour une autre force F,, et ainsi de suite jusqu'à la force F»; le premier membre deviendra

(Li + L«+...)(ïi + X«+...)-H(M,-HM,-h...)(Y,+Y,-h...)

En eflectuant les opérations, on trouvera des termes

L^Xi + MiY^ + NA, L,X,+MJ,H-NA,

où les indices sont les mêmes : ces termes ainsi réunis trois à trois sont séparément nuls; en effet, le couple (L^, M^, NJ provient du transport au point 0, parallèlement à elle-même, delà force (X^, Y^ Z^) ; l'angle de la force avec l'axe du couple est droit, et par suite L^X^ 4- M^Y^ -+- N^Z^ est égal à zéro. Les seuls termes qui subsistent dans la somme indiquée sont donc ceux où les deux facteurs n'ont pas le même indice, savoir:

-f.I,X.+L,Xs-hI,X4+...-hM,Yt-hM,Y»+...+NiZi+... -f-L,X,-MJ[,-hL,X4+... . +M5Y,H-MsY,+ . . .-hrl3Z,+ .. .

Sous cette forme, on reconnaît que la fonction L'X'+M'Y'-4-N'Z' peut se former par voie d'addition algébrique, en combinant deux à deux de toutes les manières possibles toutes les forces données. Considérons en particulier la combinaison des forces F|, F^, à laquelle correspondent les six termes

;L,Xj 4- M,Y^ + N,Z^) -h (L^X, + M^Y, 4- N^Z,).

i06 THÉORÈME DE M. MÔBIUS.

Si le système proposé ne contenait que les deux forces F^ et F^, cette somme serait égale en valeur absolue au produit

c'est-à-dire au sextuple du tétraèdre construit sur les deux forces. Elle a d*ailleurs un signe algébrique qu'on peut fixer au moyen de la relation

on attribuera au produit le signe du moment d'une des forces par rapport à un axe qui coïnciderait en direction et en sens avec l'autre force. Soit V^ le volume du tétraèdre conslruil sur les deux forces d'indices i et j, pris avec le signe ainsi défini. La somme algébrique de toutes les valeurs de V^ correspondantes aux diverses combinaisons admissibles sera égale au sixième de la somme L'X' + M'Y' + NT prise pour l'ensemble du système donné, et Ton pourra poser réquation

I/X'+M'Y'+N'Z'=RH'=6 2i 2- V

<=t /=sl

Le volume V<j étant nul toutes les fois que i=^jj c'est-à-dire pour toutes les combinaisons à exclure^ il n'y a pas d'inconvénient à attribuer à chaque indice toutes les valeurs entières de 1 à n.

La double somme indiquée est nulle si R=0 ou si H'=0, de sorte qu'on parvient au théorème suivant, dû à H. Môbius :

Quand un système de forces a une résultante unique^ ou peut se réduire à un couple unique, h somme algébrique des tétraèdres construits sur ces forces^ prises deux à deux de toutes les nmiières possibles^ est égale à zéro.