MOMENT

de même à entraîner son point d'application dans le sens positif, de OZ vers OX. On donnera donc le signe -f- aux moments par rapport à l'axe OX et à Taxe OY ; et en définitive les moments de la force AF par rapport aux trois axes seront

par rapport à l'axe OZ, — A'F'X OP,

par rapport à l'axe OX, -h A^F" x OP',

et par rapport à l'axe OY, -f A'"F'" X OP".

Les formules générales que nous donnerons un peu plus loin rendront inutile cette discussion de signes dans chaque cas particulier. ' . -

45. La valeur absolue du moment d'une force peut être représentée par une aire plane.

Soient A le point d'application d'une force, AF la force en grandeur et en direction, et 0 le centre des moments; faisons passer un plan par le point 0 et par la force. Abaissons du point 0 la perpendiculaire OP sur AF. La valeur absolue du moment de la force AF par rapport au point 0 sera le produit AF x OP. Joi- Fig 50 gnons OA, OF; le triangle OAF ainsi formé

a pour mesure la moitié du ^produit de sa base AF par sa hauteur OP ; donc le moment de la force peut être représenté par le double de la surface du triangle OAF. La môme interprétation géométrique peut êtredonijée au moment d'une force par rapport à un axe ; il est égal au double de l'aire du triangle qui a pour base la projection de la force sur un plan normal, et pour sommet le pied de Taxe; cela revient à dire que le moment de la force par rapport à Taxe est égal en valeur absolue au double de la projection, sur un plan normal à Taxe, du triangle formé en joignant un point quelconque de l'axe aux extrémités de la droite qui représente la force.

On remarquera que, dans ces sortes de. produits, l'un des facteurs représente une longueur, et le second facteur une force; l'unité de force et l'unité de longueur restent d'ailleurs tout a fait indépendantes l'une^de l'autre. La mécanique offre

D'UNK FORGE. 59

de nombreux exemples de ces quantités complexes qui résultent de la multiplication de facteurs représentant des quantités de différentes natures. •

46. Soit AF (fig. 40) une force appliquée en un point A, et 0 un point fixe pris arbitrairement dans Tespace. Par ce point menons un axe OZ, perpendiculaire au plan conduit par la force AF et le point 0. Le moment, AFxOP, de la force F par rapport au point 0 est identique au moment de la force F par rapport a l'axe OZ ; il est égal au double du triangle OAF^ Proposons-nous de trouver le moment de la force F par rapport à un autre axe OS mené par le point 0.

Il suffira d'imaginer par ce point un plan RR' perpendiculaire au nouvel axe, et de projeter le triangle OAF en Oaf sur ce plan. Le moment cherché est le double de Taire du triangle Oaf.

Mais prenons sur Taxe OZ, à une échelle arbitraire, une longueur OR égale au produit AFxOP, c'est-à-dire représentant à Téchelle le double de Taire du triangle OAF. L'axe OS fait avec Taxe OZ un angle SOZ égala l'angle du plan RR' avec le plan OAF, de sorle que, si nous projetons la longueur OB sur la direction OS, .nous obtiendrons une longueur Ob qui repré- .sentera, à la même échelle, le double de Taire du triangle Oa/*, c-est-à-dire le moment de la force F par rapport à Taxe OS. On voit donc qu'il sera facile de trouver le moment d'une force F par rapport à tel axe OS qu'on voudra, connaissant le moment de cette force par rapport à un point 0 pris sur cet axe. Il suffit, en effet, de mener par le point 0 une perpendiculaire OZ au plan conduit par la force F et le point 0, et de prendre sur celte droite, à partir du point 0, une longueur OB, représentant à une échelle arbitraire le moment de la force F par rapport au point 0. Le moment de la force F par rapport 5 Taxe OS sera représenté, à la même échelle, par la pr/)jection sur OS de la

longueur OB, et Ton aura MosFz^rMo^Fxcosa, a étant Tangle ZOS. Pour définir le sens du moment, on peut, comme nous Tavons indiqué en cinématique (g 165), mener l'axe OB de telle sorte, que l'observateur placé les pieds en 0, la tête en B, voie la force F solliciter çon point d'application à tourner autour du point 0 dans le sens des rotations positives. La droite OB aura alors une direction, un sens et une longueur bien déterminés.

La construction géométrique du moment par rapport à l'axe OS fait voir :

Que 06 est toujours moindre que OB, de sorte que le moment d\ne force par-rapport à un point est en valeur absolue le maximuyn des moments de la force par rapport à tous les axes quon peut mener par ce point;

Que les moments de la force F par rapport à. tous les axes OS, qui font un même angle, ZOS, avec Taxe OZ, sont égaux entre eux ;

Que les moments sont nuls par rapport à tout axe mené par le point 0 perpendiculairement à OZ, ce qu'on savait déjà, puisque tout axe mené par le point 0 perpendiculairement à OZ est contenu dans un plan passant par la force F;

Qu'enfin les extrémités b des droites finies Ofr, qui représentent la grandeur des moments par rapport à leurs propres directions, sont siluées sur une surface sphérique, décrite sur OB comme diamètre. En effet, si on fait mouvoir Taxe OS dans le plan BOS, le point fr, projection du poinTt B sur la direction variable OS, décrira dans ce plan une circonférence dont OB sera le diamètre, et cette circonlerence, en tournant autour de OB, engendrera dans l'espace une surface sphérique qui sera le lieu de tous les points b.

47'. Ces préliminaires posés, venons à la démonstration du théorème des moments^ qui consiste dans l'énoncé suivant :

Le momentj par rapport à une droite XY, de la résultante de deux ou de plusieurs forces^ toutes parallèles ou toutes concourantes^ est égal à la somme algébrique des mome^its de chacune de ces forces par rapport à cette droite XY.