AB~F + P R

RXAI = F'XAB.

I Aux deux membres de cette égalité ajoutons (F -h F') X OA , ' il viendra

I RxAI-ftF-|-P)X0A = (F + F')X0A-hF'XAB,

OU bien

I HX(AH-0A) = Fx0A + F'x(0A-hAB),

; OU enfin

Rx0I = FxJ:A-hF'x0B,

cquaKon qui montre que le moment, RxOI, de la résultante par rapport au point 0 est égal à la somme des moments FxOA,F'xOB des composantes par rapport au même point, ] La cinématique démontre immédiatement cette équation. Regardons F et F' comme les mesures de rotations qui s'eflecluent simultanément dans le plan du papier autour des points Ael B. La résultante de ces deux rotations (I , § 165) est une rotalion égale à R, autour du point 1, et l'équation des moments

exprime que le chemin RxOI, décrit par le point 0 de la droite AB en vertu de la rotation R, est la somme des chemins FxOA, F'xOB, décrits séparément en vertu des rotations composantes F et F'.

On vérifierait de môme le théorème pour deux forces parallèles dirigées en sens contraires. L'équation finale est la même, pourvu que Ton donne des signes convenables aux moments. On pourrait aussi montrer que, grâce à l'emploi des signes, le théorème s'applique au cas où le centre des moments est compris entre les deux forces.

On peut conclure de là que la surface du triangle ORI est la somme (algébrique) des aires des triangles OAF, OBF'.

S"" Admettons que les forces ne soient pas parallèles. Soient AF et AF' deux forces concourantes. La résultante R est représentée en grandeur et en direction par la diagonale ARdu parallélogramme AFRF', et le théorème des moments revient à l'égalité

aire OAR = aire OAF -f- aire OAF'.

Or les trois triangles OAR, OAF, OAF' ont une base commune OA, et sont entre eux comme leurs hauteurs, c'est-àdire comme les distances» RK, FH, F'H' des points R, F et F à cette base. Par le point F, menons FL parallèle à OA; la figure HKLF sera un rectangle, dans lequel FU = KL. De plus, les de\x\ triangles FLR, AIFF' sont rectangles en L et en H', ils ont l'angle FRL égal à l'angle AF'H', comme compris entre côtés parallèles chacun à chacun ; en« fin, ils ont des hypoténuses égales FR, AF', comme côtés opposés d'un parallélogramme. Le côté LR est égal au côté F'H', et par suite

RK = FH-f F'H'.

Donc enfin le triangle OAR est la somme des deux autres, et le théorème est démontré.

Fig. 42.

Ce théorème porte en statique le nom de théorème de Varignon, Le théorème des moments pour deux forces parallèles rentre comme cas particulier dans la proposition relative à deux forces concourantes.

Soient en effet AF, A'F' deux forces appliquées aux points A et A', et concourantes en un certain point; soit R leur résultante, qu'on peut supposer appliquée en un point A" de- sa ^ direction. D'un point quelconque 0 *^' pris dans le plan de la figure, abaissons des perpendiculaires OP, OP', OP" sur les directions des trois forces ; nous aurons en vertu du théorème

RX0P" = FX0P4-F'X0P'.

R est de plus égale en grandeur à la diagonale du parallélogramme dont les côtés sont les forces F et F'. Or imaginons que le point de concours des forces F et F' s'éloigne indéfiniment. A la limite, les trois forces F, F' et R seront parallèles, et la diagonale R du parallélogramnie construit sur F et F' se changera en la somme, F -h F', des deux forces données. L'équation des. moments étant toujours vraie, quelque éloigné que soit le point de concours des forces, est encore vraie à la limite, quand les forces deviennent parallèles, et peut servir à fixer la position vraie de la résultante F 4- F.

La cinématique conduit encore directement à Téquatidn des moments pour les forces concourantes. Considérons les forces F, F' et R comme des rotations qui s'effectuent autour des directions AF,A'F', A"R ; la rotation R sera la résultante des deux relations F et F'. Tout point du plan de la figuré reçoit de chacune de ces rotations un déplacement normal à ce plan, et, par suite, le déplacement dû à la rotation R est la somme algébrique des déplacements dus à F et à F'. L'équation des moments exprime cette égalité (I, § 169)*

II. Supposons toujours qu'il n'y ait que deux forces données F et F', mais qu'au lieu de prendre les moments par rapport à un point de leur plan, on prenne les moments par rapport à une droite XY quelconque. La proposition sera encore vraie.

Projetons les forces données, F et F', et leur résultante R sur un plan normal à XY. Nous obtiendrons sur ce plan deux forces fet f\ et une troisième force r, projection de R; le parallélogramme construit sur F et F', dont R est la diagonale, a pour projection sur ce plan un parallélogramme, quia pour côtés f et /*', et pour diagonale r. Donc r est la résultante de f et /'. Ceci suppose les forces /* et f concourantes. Si elles sont parallèles, la force R leur sera aussi parallèle et sera égale à leur somme, et elle partagera la dislance de leurs points d'application en deux segments qui seront entre eux dans le

F rapport ^,. Mais la projection de la figure sûr le plan normal

à XY donnera trois forces f, f , r, proportionnelles à F, F', R: la force r sera la somme des forces f et /*'; comme la force R ^ est la somme des forces F et F', et le point d'application de la force divisera la droite de jonction des points d'application projetés en deux segments, qui seront entre eux dans le rapporl

dCpT,, c'est-à-dire de--.-,. En résumé, r est dans tous les cas

la résultante de fe\ f. Le théorème des moments est démontrépour ces forces /*, f , r. Or les moments des forces f, /'', r, par rapport au pied de Taxe XY, sonl, par définition, les moments des forces F, F', R, par rapport à cet axe. Donc enfin le théorème des moments est également démontré pour le cas où l'on prend les moments par rapport à un axe, en admettant toujours deux forces, soit parallèles, soit concourantes.

III. Il est aisé d'étendre le théorème à autant de forces données qu'on voudra, pout'vu qu'elles soient toutes parallèles, ou toutes concourantes en un même point.

Soient F^, F^, F^, ... F„, n forces satisfaisant à l'une ou à

l'autre de ces conditions. Pour trouver leur résultante, on peut composer F^ et F,, ce qui donnera une résultante Rj-, puis composer R^ avec F,, ce qui donnera une résullanle R, ; composer ensuite R, avec F^, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on ait composé la dernière force F» avec la dernière résullante partielle R«î, ce qui fournira la résultante générale R. Dans chaque opération, on aura à composer deux forces, soit parallèles, soit concourantes, et, par suite, on pourra appliquer le théorème des moments, ce qui donne une équation. Nous aurons donc à la fois

MxtfF5 + Mx»Ri = MryR,, MxyF4 + MxgRa=M:r»R5,

MxyF„ + MxtfU»-ï = M^„R.

Ajoutons ces n — 1 équations membre à membre, elsup primons les termes communs, il viendra en déflnitivc

MryFj-f MxyFj-t- MxyF34-. . • +Mr|fFg=Mj|R;

le moment de la résultante R par rapport à l'axe xy est donc la somme (algébrique) des moments des composantes Fj, Fj, ... F„, par rapport au même axe.