En général, soit

Véqualion en coordonnées rectangles de la surface S 6ur laquelle le point est assujetti à glisser sans frottement. ^

Représentons par X, Y, Zlos composantes de la forcée suivant les axes; nous supposerons que ces composantes soient données en fonction des coordonnées x, y et 2, de telle sorte 'que, en quelque position que l'on place le point matériel, la direction et la grandeur de la force F soient complètement déterminées.

Les conditions d'équilibre s'exprimeront en écrivant que la direction définie par les composantes X, Y, Z est normale à la surface au point {x, y, z).

Si on prend à partir de ce point sur là sur- ^^' ' face S un élément infiniment petit, MM', et

qu'on le projette sur les trois axes, (te, dy, dz étant les projections, Téquilibre s'exprime par l'équation

Xda;-+-Ycfy-fZd2 = 0.

Mais Tèlément MM' appartenant à la surface, on a aussi, eil différentiant Téquation ? = 0,

StJR tJiSE SURFACK FllE. il5

Ces deux équations doivent avoir lieu pour tous les éléments MM' qu'on peut tracer sur la surface autour du point M. Éliminons enlre elles Tune des différentielles, dx ; Téquation finale

eu, quel que soit le ra donc en deux équations distinctes^

(lii doit avoir lieu, quel que soit le rapport --^ ; elle se décomposé

ou bien encore

/d^\ (dj\ fdf\

Les composantes de la force doivent donc être proportionnelles aux dérivées partielles de la fonction 9. On a ainsi deux équations à joindre a Téquation de la surface, ce qui détermine en général les coordonnées du point cherché.

Soit, par exemple, X=0, Y = 0, et

La surface S est un ellipsoïde.

Puisque X=0 et Y=0, les dérivées ^, ^ doivent être nulles. Et comme on a

df 2y

il en résulte x = 0, î/ = 0 ; les positions d'équilibre du point $ont les sommets de l'ellipsoïde situés sur Taxe OZ.

La réaction de la surface dans la position d'équilibre est égale et opposée à la force F.

il6 ÉQUILIBRE D'UN POINT

81. Jusqu*îci nous avons supposé que le point mobile M était assujetti à glisser sur la surface S sans pouvoir s'en détacher d'un côté ni de Tautre.

Si le point M était seulement posé d'un côté de celte surface, de manière à pouvoir s'en écarter dans un seul sens, réquilibre ne serait assuré que si la force agissait sur lui de manière à l'appliquer contre la surface. Supposons, par exemple (tig. 72), que le point M soit attaché au point fixéC par un lil de longueur CA constante. La force F agissant de haut en bas, parallèlement à OZ^ le point M sera en équilibre si on le place en A, car alors la force F tend à l'éloigner du centre C, et la réaction R, qui fait équilibre à la force F, est égale à la tension du fil. Il n'en serait pas de même au point A';' car en ce point la réaction R' est dirigée en prolongement du fil : or elle est égale et contraire à Teffort exercé par le point M sur le fil; le fil serait donc comprimé, ee qui' est impossible, puisqu'un fil cède sans résistance à tout effort qui tend à le raccourcir. La position A' n'est donc pas dans ce cas une position d'équilibre.

équilibra: d'un point matériel assujetti a glisser sans krottemejst

SUR UNE courbe FIXE.

82. Lorsqu'un point est assujetti à glisser sans frottement le long d'une ligne fixe, la réaction de la ligne étant en chaque point une force normale à sa direction, il faut et il suffit pour l'équilibre que le point soit dans une position telle, que la force soit normale à la ligne. La réaction de la ligne est __ alors égale à la force, et est dirigée " ^. ^ en sens contraire.

Fig. 74,

Soit, par exemple, une circonférence AB, située dans le plan ZOX; soit C son centre, CA son rayon. On suppose que la force est constante, et dirigée de haut en bas, parallèlement à l'axe OZ. Par le centre C, me-