AA

0 étant la durée infiniment petite du parcours de cet arc infiniment petit. En pratique, on ne peut mesurer directement que des durées et des arcs finis ; mais si le temps 0 est suffisamment court , et Parc AA" suffisamment petit, le rapport

AÂ'

— différera très peu de la valeur qu'il aurait si ses deux

termes étaient infiniment petits, et fera connaître avec une grande approximation la valeur de la vitesse au point A. Quand on donne l'équation du mouvement

on peut en déduire, par les méthodes analytiques, la valeur de

vitesse à un certain instant. En effet, le rapport

est le

rapport de la variation,AA',del'arcs, à la variation correspondante, 0, du temps /, et la vitesse est la limite de ce rapport lorsque s décroît indéfiniment. Or, on sait que la dérivée f(t), d'une fonction f(t), est la limite du rapport de l'accroissement de la fonction a l'accroissement correspondant de la variable. On a donc, en appelant v la vitesse à l'instant considéré,

ou, en employant

î notation du calcul différentiel,

L'arc infiniment petit </s est alors égal au produit vdt. 17. L'arc infiniment petit A.V peut être confondu avec une ligne droite; prolongeons indéfiniment cette droite dans la direction du mouvement. La direction AB ainsi obtenue a avec ta courbe MN deux points communs A el A', infiniment rapprochés. On sait qu'une telle droite s'appelle en géométrie une tuwjenlc s, à la courbe au point A. Elle indique la direction du mouvement du mobile pendant qu'il parcourt l'arc AA'. Cette considération conduit a attribuer une direction à la vitesse du mobile, que jusqu'ici nous avions regardée comme un simple rapport. La vitesse du mobile au point A a pour direction la tangente menée à la trajectoire en ce point; elle a pour sens le sens môme du mouvement en ce point de la trajectoire. On peut représenter la vitesse en grandeur en portant sur la droite AR, dans le sens du mouvement, une longueur AC égale à l'espace que décrirait le mobile dans l'unité de temps, s'il parcourait la droite AU

d'un mouvement uniforme avec une vitesse égale à lim. — ■

Fig. 7.

DÀ>S LE MOUVEMENT VARIfc. 17

d$ En d'autres termes, AC est égal à -r-, car, dans le mouvement

uniforme, les espaces parcourus sont proportionnels aux temps mis à les parcourir, et par suite on a la proportion

AC rf»

ou bien

De cette manière, on peut représenter graphiquement la grandeur et la direction de la vitesse d'un mobile en un point quelconque A de sa trajectoire. Le mobile se déplaçant par exemple dans le sens MN, on mènera au point A une tangente AB à la courbe MN; sur cette tangente on portera, à partir du point de contact A, et dans le sens du mouvement, une longueur AC égale à l'espace que le mobile décrirait d'un mouvement uniforme pendant l'unité de temps, s'il conservait, pendant toute cette durée, la vitesse qu'il possède au point A. La droite AC représenlera la vitesse du mobile au point A en direction, en sens et en grandeur. Cette représentation suppose l'unifé de temps définie ; elle subsiste quand même on n'aurait pas fait choix d'une unité de longueur; car la droite finie AC, qui exprime la grandeur de la vitesse, est donnée par une longueur effective, et non par un rapport à une unité arbitrairement choisie.

En se reportant à cette construction géométrique, on saura ce qu'on entend par la direction de la vitesse d'un mobile en un point donné de sa trajectoire. Si le mouvement est rectiligne, la direction de la vitesse est la droite elle-même que le mobile décrit.

La recherche de la direction de la vitesse d'un mobile en un point de sa trajectoire se ramène donc immédiatement à la construction d'une tangente à une ligne. Nous allons montrer que la recherche de la grandeur de la vitesse peut se ramener

WÊC. C0U.I6S09. S

à un problème du même genre, au moyen de la courbe représentative du mouvement.

COURBE REPRÉSENTATIVE WJ MOUVEMENT d'CïI POCCT, OU COURBE

48. Le mouvement du mobile sur sa trajectoire est connu dès que Ton donne, pour chaque instant, Tare s qui sépare sur la trajectoire la position actuelle du mobile d'un point fixe pris pour origine. Cette relation entre l'arc s et le temps t s'exprime par une équation

que Ton peut regarder comme l'équation d'une ligne tracée dans un plan.

Soit MN la trajectoire, 0 l'origine des arcs, et A la position du mobile au bout d'un certain temps t. L'arc OA sera la valeur de s correspondante à cette valeur du temps.

Menons dans un plan deux axes rectangulaires CX, CT ; & partir du point C, portons sur Taxe CX une abscisse CE propor-

P ÊckelU in tmp:

12 3 4 5 6 7 9» R Échelle italomtuenrs*

Fig. 8.

tionnelle au temps t; cette construction suppose qu'on ait fait choix d'une échelle arbitraire P, dont les divisions égales correspondent à des intervalles de temps égaux ; si par exemple, les divisions de l'échelle représentent des secondes, et que t soit exprimé en secondes, on prendra pour CE un nombre t de divisions.

Au point E, ainsi obtenu, menons une droite EF parallèle

à CY, et portons sur cette ligne une longueur EF égale ou proportionnelle à Tare OA=«; on emploiera pour cette construction une seconde échelle, l'échelle des longueurs, R, dont les divisions égales, arbitrairement choisies, représenteront chacune l'unité avec laquelle on aura mesuré Tare OA.

L'ordonnée EF devra contenir autant de ces divisions qu'il j aura de fois cette unité dans Tare s.

Si l'on répèle cette construction à différentes époques, le mobile occupera à ces époques différents points de sa trajectoire, et à chaque position correspondront une valeur du temps t qui fournira sur l'épure une abscisse, et une valeur de Tare s qui fournira une ordonnée ; à chaque position À du mobile correspond donc un point F de l'épure : la suite des points F forme sur le plan YCX une ligne continue, GH, qui représente la loi du mouvement du mobile. L'arc s peut être positif ou négatif; il est positif quand il est compté sur la trajectoire à droite du point 0, il est négatif quand on le compte en sens contraire. On distinguera ces deux cas sur l'épure eu portant au-dessus de CX les ordonnées qui représentent des valeurs positives de *, et au dessous les ordonnées qui représentent des arcs négatifs. De même, le prolongement vers la gauche de Taxe CX servira à porter les abscisses négatives qui correspondent aux valeurs négatives du temps t. L'origine des temps, qui correspond à t = 0, ou au point C, est en effet complètement arbitraire, et une fois qu'on la adoptée, on doit regarder comme négative toute valeur du temps qui correspond à une époque antérieure à celte origine.

D'après ces conventions, on pourra déterminer toutes les circonstances du mouvement d'un point par l'inspection de l'épure représentative de ce mouvement.

19. Proposons-nous de déterminer la grandeur de la vitesse du mobile à l'instant défini par une certaine valeur du temps, t. A cet instant, le mobile occupe une certaine position, M, sur sa trajectoire (fig. 9), et cette position est déterminée par une valeur particulière de l'arc s. A celte position et à cette époque correspond sur l'épure un point F, dont l'abscisse CE est me-

20 DETEfiMISATlOK

surée par la valeur I du temps, et l'ordonnée EF, par la valeur,

s = OM, de l'arc de la trajectoire.

Au bout d'un temps tlt infiniment petit, le mobile est en M',

cl a parcouru l'arc MH'= tls. A ce nouveau point M', à celte nouvelle valeur du temps, / + </(, correspond sur l'épure un point F', infiniment voisin du point Y ; l'intervalle EE' représente tlt , cl la différence des ordonnées, F'K=E'F' — EF, ■ représente l'arc ds. La vitesse cherchée, -tt est donc donnée surl'épure

< c par le rapport -çrr. c'est-à-dire parle

coefficient iTinctinoison de la tangente l'T, menée a la courbe Gll au point F.

Prenons sur la direction IK, à partir du point F, la longueur FS qui représente l'unité de temps à l'échelle, puis menons ST parallèle à CY jusqu'à la rencontre de la tangente. Les triangles semblables fKF', FST, donnent la proportion

de de

Dans le temps FK, le mobile parcourt lespace KF'; si donc à partir du même instant son mouvement restait uniforme pendant l'unité de temps FS, il parcourrait l'espace ST ; donc ST est la grandeur même de la vitesse cherchée.

Pour trouver la vilesfc à un instanl quelconque, il suffit donc de mener à la courbe représentative du mouvementune tangente MT au point M, qui correspond â cet înslant; puis de mener par le point M une parallèle MS à l'axe des temps CX; de prendre sur celte parallèle une longueur MS é^ab- à l'unité de l'échelle des temps, et d'achever le triangle MST, en me-