RAY03 DE COURBURE
Cela posé, on demande d'exprimer le rayon de courbure de la courbe au point M.
Imaginons un point mobile M, parcourant la courbe de manière que le rayon OM décrive en temps égaux des aires égales. L'accélération totale passera toujours par le point 0, et si Ton appelle v la vitesse, p. l'angle OMP que fait l'accélération avec la direction du mouvement, et do> l'angle de contingence de la courbe au point M, on aura (g 9G)
dv
en même temps 17)= A, quantité constante. Donc
et par suite
Hais
et par conséquent
dv dp
du =— tangu -i-.
* M OM r'
cos/i = -yV*— />*,
tangM= L ■, yr* — p*
m - dP
Vr* — p
D'un autre côté, l'arc ds multiplié par cos^ost égala — dr; donc
, dr rrtr
cos/t* v;r4 — p*
Donc enfin le rayon de courbure
ds rdr
P 5»~~ dp*
170 RAYON DE COURBURE DE Là PARABOLE.
Application à la parabole. Soit 0 le foyer, A le sommet, CD la directrice de la courbe. On demande le rayon de courbure au point M. Menons la tangente HP, qui divise en deux parties égales l'angle OMQ formé par le rayon vecteur 011 et la perpendiculaire MQ à la directrice.
Le point P, projection du foyer sur la tangente en M, est situé sur la tangente AP au sommet, et la ligne OPQ est droite. Les angles MQP, QOC étant égaux , on a fi», u*. aussi MOP= POA, à cause du triangle
isoscèle QMO, dans lequel MQ = MO. Donc
La relation cherchée entre r et p est donc
r OA'
On en déduit
— EL fy fy3 — 8/)3 '-oaxoa-ôâ»-4XôP;
8p* est le cube de 2p, ou de OQ ou, enfin, de la normale MN. 4x OA* est le carré de 20A, ou du paramètre de la courbe. Le rayon de courbure de la parabole est donc égal au cube de la normale divisé par le carré du paramètre.
