Voici du reste une démonstration encore plus directe

Supposons que le mobile parcoure l'ellipse dans le sens MM'.

Le lieu des points N, obtenus en prolongeant chaque rayon FM d'une quantité MU = MF', égale au rayon conjugué, est un cercle décrit du point F comme centre avec 2a pour rayon. Nous allons démontrer que cette circonférence est l'indicatrice des accélérations totales du mouvement du point M, quand on transporte toutes les vitesses du mobile parallèlement à ellesmêmes au point F', et qu'on les fait toutes tourner d'un angle droit de droite à gauche autour de ce point. Ce théorème suppose connue la proposition suivante : dans l 'ellipse, le produit FP x Fi des distances des foyers à même tangente est constant et égal au b* du demi petit axe. Commençons par fa démontrer.

Soit « l'angle F'MI = PMF, que fait une tan- Fig. ii7.

génie à l'ellipse avec les deux rayons vecteurs menés à son point de contact ; appelons r et r* ces deux rayons. Le triangle FUF', dans lequel FF' est égal à l'excentricité 2c, nous donne

ic* = r* + r* — 2rf cos (it — 2») = r* 4- f1 -f- Irr* cos 2«. Hais cos 2* = 1 — 2 sin1 a ; substituant, il vient

4c« = r»4-f«4-2rr'- htr* sin» « = (r -f r1)» — Irr* sin» a. La somme r 4- r9 est égale à 2a; donc

e» = a» — ri* sin» a,

* Cette démonstration est due à V. Rcsal.

aie COUItSOff. 12