On pourrait croire que la vitesse, mesurée par le rap

TS F'K port j=^ ou -rjr (fig. 9). l'est aussi par la tangente trigonomé-

trique de l'angle TFS. Cette conclusion ne serait pas exacte. En effet, les deux termes du rapport ne représentent pas des quantités de même nature ; TS représente un espace parcouru, et FS une durée. La vitesse n'est pas égale, à proprement parler, au rapport des deux longueurs F'K, FK, mais bien au rapport du nombre d'unités de longueur contenues dans F'K au nombre d unités de temps contenues dans FK; or l'échelle des longueurs et l'échelle des temps qui ont servi à la construction de Fépure sont tout à fait indépendantes Tune de l'autre. On pourrait par exemple doubler l'échelle des espaces et réduire à moitié l'échelle des temps , et on obtiendrait une autre courbe GII qui représenterait encore le môme mouvement. Les angles TFS de la tangente à cette courbe seraient altérés par la transformation, et cependant les vitesses seraient les mêmes.

La tangente Irigonométrique de l'angle TFS n'est la mesure de la vitesse que dans le cas particulier où l'unité de longueur et l'unité de temps sont représentées sur l'épure par une seule et même longueur.

21. La courbe GII (fig. 9), qui nous a servi à étudier le mouvement du mobile sur sa trajectoire et à déterminer ses vitesses en différents points ou à différents instants, prend le nom de courbe des espaces, parce que les différences de ses ordonnées représentent les espaces successivement décrits par le mobile. Cette courbe peut avoir des formes très variées, suivant la loi de mouvement du point. Mais elle possède né-

COUilCE

t les caractères suivants, dès qu'elle représente

■;cssairei

on n.ouvemcnt effectif et réel :

1° A chaque valeur du temps correspond une seule valeur de l'ordonnée, cor il est impossible qu'à un même inslant le mobile soit à la fois en plusieurs points distincts de la trajectoire, dont chacun correspondrait à l'une des ordonnées de la courbe;

2* La ligne des espaces forme un trait continu, car il est impossible que le mobile passe d'un point à un autre de sa trajectoire sans avoir passé par une série de points intermédiaires. Les ordonnées successives de la ligne des espaces varient donc par degrés infiniment petits et non par sauts brusques ; 5* La ligne des espaces peut avoir, dans certains cas, des po'mtt anguleux , On appelle ainsi un point A d'une ligne DAB' (fig. 11) où viennent se réunir deux branches de courbe, BA, AB' ayant des tangentes différentes AT, AT'. Il résulte de cette disposition que la vitesse du mobile subit une variation brusque à l'instant i = CD; en effet, à gauche de l'ordonnée AD, F, (1 la vitesse sera déterminée par une

construction où l'on fera usage de la tangente AT, et, à droite, elle sera déterminée par une construction où l'on fera usage de la tangente AT'. Si l'on prend sur la figure une longueur DD' égale à l'unité de temps, et qu'on forme les triangles ASE, ASE', en menant la droite AS parallèle à CX et la droite D'E parallèle à DA, la vitesse passera brusquement de la valeur + SE, avant l'instant! =CD,â la valeur — SE', après cet instant. Ce changement brusque est possible dans le mouvement des points gèoinélriques ; nuis, rigoureusement, il est inadmissible dans le mouvement des points matériels. La vitesse d'un corps matériel ne peut subir que des changements graduels, et les variations instantanées de la vitesse d'un point matériel ne sont admissibles dans la mécanique que comme des approximations plus ou moins grossières ;

DBS ESPACES.

4° Enfin, la courbe des espaces ne peut avoir, en aucunpoint, de tangente parallèle à Taxe des espaces. Si la courbe venait toucher son ordonnée au point A, le triangle qui donne la vitesse se changerait en une bande indéfinie comprise entre deux parallèles, et la vitesse serait infinie, ce qui n'est admissible que dans certains mouvements géométriques.

En résumé, la courbe des espaces décrits par un point matériel est une courbe continue ; et la fonction

qui la représente est finie et continue pour toutes les valeurs du temps t.