COURBE DES VITESSES

22. Supposons tracée la courbe des espaces ABDEFG. Nous savons construire, pour chaque point de cette courbe, la vitesse du mobile sur sa trajectoire à l'instant qui correspond à ce point. Cette vitesse nous est donnée par une certaine longueur, qui est parallèle à Taxe CY, et qui représente à l'échelle

Fig. 11

des longueurs un espace décrit dans l'unité de temps. Nous pouvons nous servir de ces longueurs pour construire une seconde courbe dont les ordonnées indiqueront les vitesses du mobile, comme les ordonnées de la première indiquaient les arcs décrits. Menons une ordonnée quelconque MP : construisons la vitesse QR correspondante à l'instant t = CM ; prenons

sur l'ordonnée MP, à partir de Taxe CX, une longueur Mp = QR. Répétons cette construction pour un certain nombre de points, et nous obtiendrons une ligne abdpefg qui sera la courbe des vitesses. On voit, par l'inspection de cette courbe, que la vitesse est positive du point a au point e, c'est-à-dire de l'instant t = — Ca à l'instant t = + Ce ; cette période est celle pendant laquelle le mobile se déplace dans le sens positif sur sa trajectoire. Les points a et e sont les projections , faites sur l'axe des temps parallèlement à Taxe CY, des points A et E, où l'ordonnée de la courbe des espaces atteint un maximum ou un minimum. En ces points le mouvement change de sens. La vitesse est maximum au point i, pour t = — CH. A cet instant la courbe des espaces , dont l'ordonnée est -h 111, a un point d'inflexion I; la tangente à la

courbe atteint en ce point son maximum d'inclinaison sur Taxe CX. Au delà de t = -j-Cey la vitesse est négative et le mouvement du mobile est rétrograde.

S'il y avait des points anguleux S dans la ligne des espaces (fig. 13), il y aurait discontinuité dans la courbe des vitesses; pour l'abscisse CT, l'ordonnée de cette dernière courbe passerait subitement de la longueur Ts à la longueur TV.

Mais ces brusques variations de vitesse sont inadmissibles, comme nous l'avons dit, dans les mouvements de points matériels. La fonction f (t) varie par degrés insensibles, et reste toujours finie. Elle est donc continue, mais il est possible que sa dérivée, f* (/), éprouve des variations brusques. L'équation du mouvement

étant l'équation delà courbe des espaces, l'équation

• = /V) est l'équation de la courbe des vitesses. On remarquera que

' cl T i

Fi£. 13.

Ton peut, pour construire cette courbe, prendre arbitrairement l'échelle qui servira à transformer les vitesses v en longueurs.

23. Entre ces deux équations, on peut éliminer le temps f; le résultat de l'élimination sera une relation entre * et v , qui pourra servira construire une nouvelle courbe; les ordonnées v de celte courbe représenteront les vitesses correspondantes aux espaces parcourus, *, pris pour abscisses ; en d'autres termes, cette courbe donnera les vitesses du mobile pour chaque position qu'il peut prendre sur sa trajectoire.

24. Nous venons de voir comment on pouvait déduire du tracé de la courbe des espaces le tracé de la courbe des vitesses. Nous allons montrer comment on peut résoudre le problème inverse : Étant donnée la courbe des vitesses, construire la courbe des espaces.

Soit abef la courbe des vitesses. Considérons le mouvement du mobile à partir d'une époque quelconque, par exemple à partir de celle qui est définie par l'abscisse t = — Ça. Partageons l'axe des temps, à partir du point A, en parties égales infiniment petites; elles représenteront chacune une durée très courte 6. Par les points de division menons les ordonnées de la courbe, qui représenteront les valeurs successives de la vitesse , aux époques définies par les valeurs suivantes du temps :

Ca + 0, — Ca + 20, — Ca + 30, — Ca + 49, etc.

Appelons dune manière générale v l'ordonnée delà courbe pour une certaine valeur t du temps. Celle ordonnée v représentant la vitesse, c'est-à-dire l'espace décrit d'un mouvement uniforme pendant l'unité de temps, l'espace décrit par le mobile sur sa trajectoire pendant le temps 6 sera le produit trô.

Fig. u.

Or ce produit peul s'interpréter sur la ligure : c'est le produit d'une ordonnée B6 par la distance BR' de deux ordonnées consécutives, c'esl-à-dîre l'aire du rectangle \i]i'b"b, lequel diffère infiniment peu de l'aire comprime entre l'arc de la courbe, l'axe des temps et les deux ordonnées ÎS6, b'b'. Chacune de ces aires infiniment peliles représente donc l'espace décrit par le mobile sur la trajectoire pendant un même temps 0, compté à partir de l'époque définie par l'abscisse correspondante. Les valeurs négatives de la vitesse in- • diquenl le mouvement rétrograde du mobile; on Fig 15 devra donc prendre négativement les aires correspondantes aux ordonnées négatives. Les signes étant ainsi définis, si l'on fait la somme algébrique de tous ces éléments de surface, à partir d'un point quelconque a jusqu'à un point quelconque m, le résultai que l'on obtiendra, et qui n'est autre chose que l'aire de la courbe des vitesses, représentera le déplacement total du mobile sur sa trajecluire, à partir de l'époque ( = — C<i jusqu'à l'époque t=-hCm; en détinilive, les dires successives île la courbe des vitesses, à partir d'un point quelconque a de l'axe des abscisses, représenteront en grandeur cl en signe les déplacements totaux successifs du point mobile sur sa trajecloire, à partir du poiul qu'il occupe à l'époque définie par l'abscisse du point a, qui sert d'origine à la mesure des aires.

Le problème est donc ramené à la recherche des aires dans la courbe des vitesses ou, comme on dit en géométrie, à la t]Utntrtitiitede celle courbe. Ce problème résolu, il suffira, pour définir entièrement le mouvement du point, de faire connaître le lieu qu'il occupe sur sa trajectoire à l'époque que l'on a prise pour origine des aires.

Le calcul intégral conduit au même résultat. Donner l'équation

de la courbe de vitesse, c'est donner la relation analytique qui

DE U COURBE DES VITESStS.

""'dT pace parcouru par rapport au temps. On a donc

di = f [t)di,

et on trouvera la valeur de s en fonction de r en intégrant la différentielle ?{f)dl. On trouve ainsi

'=**+/', fW*

L'intégrale indiquée représente l'aire de la courbe des vitesses entre deux valeurs du temps, („ et /.

25. La géométrie et le calcul intégral font connaître pour certaines lignes des procédés de quadrature. Mais si, comme cela arrive souvent, la courbe des vitesses ne rentre pas dans un type connu, on aura recours aux procédés généraux de quadrature par approximation, qui permettront de tracer graphiquement la courbe des espaces avec une suffisante exactitude.

Pour évaluer l'aire ABCD comprise entre la courbe AD, les ordonnées AB, CD, et l'axe des abscisses CB, on inscrira dans la courbe un contour polygonal AEFG111D, dont les cotés reclilignes s'écartent peu des arcs de courbe compris entre leurs extrémités; et l'on évaluera les aires des trapèzes successifs AEelS, EF/e, FGgf,... IDCi, que la géométrie enseigne à mesurer. La somme de ces trapèzes représentera avec une grande approximation l'aire de la courbe cherchée, car la différence est égale à la somme des aires des segments compris entre les cordes AE, EF, KG,. . . 1D, et les arcs sous-tendus, somme qui peut élre considérée comme négligeable si l'on a suffisamment multiplié le nombre des cotés du polygone inscrit.