LEMME SUR LE DÉPLACEMENT ÉLÉMENTAIRE D'UNE DROITE

128. Soient AB, A'B', deux positions successives infiniment voisines d'une droite mobile; dans le mouvement élémentaire

qui amène la droite AB dans la position A'B', chaque point M décrit un élé-

• L — ment rectiliyne MM'; cela posé, si pour

1 a . ^ un point particulier M , le chemin élé-

mentaire décrit MM' est perpendiculaire à la droite AB, le chemin élémentaire NN' décrit par un autre point N sera aussi perpendiculaire à AB.

Cherchons sur la droite AB le point K qui, dans le mouvement de la figure, vient occuper la position N'. Il suffit pour cela de prendre sur AB, à partir du point M, une longueur

DTJNE DROITE. 191

MN = M'N'. Or on parvient au môme résultat en abaissant du point N' une perpendiculaire N'NsurAB; en effet, la droite MM' est normale à AB par hypothèse ; donc MN est la projection, sur la direction AB, de la droite M'N', laquelle fait avec AB un angle infiniment petit, puisque ces deux droites sont deux positions infiniment voisines d'une même droite mobile. Donc (g 61) la différence entre M'N' et MN est un infiniment petit du second ordre, et l'on a par conséquent à la limite MN= M'N'.

Le déplacement NN' du point N est donc normal à la droite AB.

En d'autres termes, quand un point d'une droite mobile décrit une trajectoire normale à sa direction, les trajectoires de tous les autres points sont aussi normales à cette direction.

129. Si l'on appelle dt le temps infiniment petit que la droite met à passer de la position AB à la position A'B" (fig. 1 24), les vitesses des points M et N seront représentées par