INSTANTANÉ

150. Lorsqu'une figure invariable plune se meut dans son p/<ro, on peut toujours amener cette figure d'une de ses positions à une autre position par une rotation unique autour d'une droite perpendiculaire au plan.

La position de la figure dans son plan est entièrement définie par les positions particulières de deux de ses points.

Prenons donc deux points A et B de la figure dans sa première position, et soient A' et B' ce que deviennent ces mêmes points dans la seconde position de la figure. Nous aurons AB = A'B', et si nous menons deux droites indéfinies AB, A'B', tous les points delà droite AB, considérés comme faisant partie de la figure, viendront occuper les points correspondants de la droite indéfinie A'B', lorsque la figure mobile passe de la première position à la seconde. Ces deux droites AB, A'B', se coupent généralement en un certain point C, qui peut être considéré à deux points de vue. Si on le regarde comme appartenant à la droite A'B', c'est un point de la figure dans sa seconde position, et pour

Fig. 26.

trouver le point D qui lui correspond dans la première, il suffit de prendre AD=A'C. Si au contraire on regarde le point C comme appartenant à la droite AB, il fait partie de la figure dans sa première position, et par suite il y a dans la seconde position de la figure un point E qui lui correspond ; ce point E s'obtiendra en prenant sur le prolongement de A'B' une longueur B'E = BC. Nous aurons en définitive CD=CE. Prenons les milieux Iet K de ces deux droites égales CD, CE, et élevons en ces points deux perpendiculaires 10, KO, aux directions des droites AB, A'B'. Le point 0, également distant des trois points D, C, E, sera le centre d'une circonférence passant par ces trois points. Les cordes CD, CE étant égales, les angles au centre DOC, COE sont aussi égaux, de sorte que si Ton fait tourner la ligure, prise dans sa première position, autour d'un axe perpendiculaire à son plan mené par le point 0, et qu'on lui fasse décrire l'angle DOC, on amènera par cette rotation unique le point D à coïncider avec le point C, et le point C à coïncider avec le point E ; cette rotation suffit donc pour amener la figure de la première position à la seconde.

Remarque. — Si Ton considère deux points A, A', qui se correspondent dans les deux positions de la figure, le point A, par la rotation autour de l'axe 0, vient se placer en A' après avoir décrit un arc de cercle ayant le point 0 pour centre. Donc le point Oest également distant des points A et A7.

Cela a lieu pour tous les points de la figure plane, de sorte qu'on peut énoncer le théorème de la manière suivante : Les perpendiculaires élevées au milieu des droites A A' qui joignent deux positions d'un mime point, concourent en un même point 0. On peut ajouter que l'angle AOA' est le même quels que soient les points considérés.

131. Corollaire. — Supposons que les deux positions de la figure soient infiniment voisines l'une de l'autre. Alors chacune des droites AA', qui joignent deux positions successives très rapprochées A et A' d'un même point de la figure mobile, devient un arc infiniment petit de la trajectoire de ce point; la

liC C0LUG30JU li

194 CENTRE INSTANTANE

perpendiculaire élevée sur le milieu de A A' devient à la limite la normale à la trajectoire, et l'angle AOA' est l'angle infiniment petit dont on fait tourner la figure autour du point 0, ou plutôt autour de Taxe projeté en 0. Le déplacement considéré est enfin le déplacement élémentaire de la figure. De là résulte ce théorème :

Quand une figure plane invariable se meut dans son plan, 1° les normales élevées à un même instant aux trajectoires des différents points passent par un même point 0, qu'on appelle U centre instantané de rotation ; 2° pendant un temps tris court la figure tourne dfun angle infiniment petit autour de ce centre 0; 5° les arcs décrits pendant un temps très court par les divers points de la figure sont proportionnels aux distances de ces points aupoinlO.

Ce théorème, l'un des plus importants de la cinématique, peut se démontrer directement de la manière suivante, en s'appuyant sur le lemme établi plus haut (§ 128). Soient A, B, C, divers points d'une figure plane invariable qui se déplace dans son plan.

Soient A', B', C, les positions de ces points au bout d'un temps dt infiniment petit, de sorte que AA', BB', CC, soient leurs déplacements élémentaires simultanés.

Élevons au point A dans le plan de figure une droite AE perpendiculaire à l'élément AA', et imaginons que cette droite soit entraînée dans le mouvement de la figure mobile.

En vertu du lemme, tout point de la droite AE subira, dans

ce mouvement, un déplacement nor- A-— A' mal à la direction de cette droite ; car

l'un de ses points, A, reçoit un déplacement AA' normal à celle direction.

Élevons de même au point B, dans

le plan de la figure, une normale BF

Fj , 127 au déplacement BB', et considérons

la droite BF comme liée invariable* ment à la figure et entraînée par son mouvement. Tout point

de la droite BF se déplacera normalement à la direction de cette droite.

Le point 0, commun aux deux directions AE, BF, est donc immobile. Car s'il recevait un déplacement, ce déplacement serait à la fois perpendiculaire aux deux droites AE, BF, ce qui est impossible.

La figure tourne donc autour d'un de ses points, et la droite OC est normale à la trajectoire, CC\ du point C.

152. Pour définir la position du centre instantané de rotation, il suffit de connaître les directions AÀ', BB' des déplacements simultanés de deux points A et B de la figure mobile ; et pour définir la vitesse angulaire de la figure autour de ce centre, il suffit de connaître la vitesse linéaire de l'un des points mobiles. On a en effet, en appelant v la vitesse linéaire

AA' du point A, ou le rapport -r-, et m la vitesse angulaire de la

figure autour du point 0,

BB' La vitesse t/ = -rr du point Bsera alors donnée par l'équa-

dt tion

r = «xOI>=-jj— .

133. Dans tout ce qui précède, nous avons supposé qu'il s'agissait d'une figure plane ; il est facile de voir que les mêmes conséquences s'appliquent à un solide invariable lorsqu'il semeut parallèlement à un plan fixe; de sorte que Ton peut dire plus généralement :

Le mouvement élémentaire d'un solide qui se meut parallèlement à un plan fixe est une rotation instantanée autour d'un axe perpendiculaire à ce plan.

La position de l'axe se déterminera en cherchant le centre instantané de rotation de l'une des figures planes obtenues en coupant le solide par un plan parallèle au plan fixe. Celte figure plane ne sortant pas de son plan par suite du mouve-

i» ecRuosnstut

mont du solide, subit une relation infiniment petite ; d'un point 0 de sou plan. Le solide entier subit donc la même rotation autour de Taxe élevé par le point 0 perpendiculairement au plan fixe.

imictnoxs nLovtmQCtÊ. — cossmeenos Des txxcentw

A ŒSTA1M3 OQOBES.

131. Lorsqu'une ligure plane de forme invariable se ineul dans son plan, les normales élevées à un tourne instant aui tra;ecU)ircs des différents points deceile figure passenl par tin infime point 0, centre instantané du mouvement de rotation élémentaire. Si donc on peut construire les normales aux lujecloires de deux points A cl B de la ligure, l'intersection de ces dein normales déterminera le point 0, cl un aura la normale à la trajectoire d'un troisième point C en joignant C0.

Soit, par e\emple (fig. 128), uo triangle ABC, de forme constante, qui se meut dans le plan du papier.

de telle sorte que les deux sommets A cl B glissent respectivement sur deux droites Cics LX, I.V; le point C décrit dans ce mouvement une certaine courbe, à laquelle on propose de mener une tangente.

On observera que la trajectoire du point A étant la droite LY, la normale a la trajectoire esl la perpendiculaire, A0. élevée au point A sur cetle droite ; de même la normale à la trajectoire du point B esl la perpendiculaire, BO, élevée en B sur la droite LX. Le point 0 est le centre autour duquel la lijui tourne pendant un temps infiniment petit quand elle passe de sa position ABC à une position infiniment voisine. Dans ce mouvement, le point C décrit un élément normal à OC. On obtiendra donc la tangente à la courbe décrite par le point C en menant une droite CD perpendiculaire à OC.

Les vitesses simultanées des trois points A, B, C, sont proportionnelles aux longueurs OA, OB, OC.

155. Pour second exemple, prenons le mécanisme employé dans les machines à vapeur sous le nom de transmission par bielle et manivelle.

Un point A est assujetti à se déplacer le long de la droite FX; le point B est assujetti à se mouvoir le long d'une circonférence ayant pour centre un point F de cette droite ; enfin la longueur AB est constante.

AB représente la bielle, BF la manivelle; F est le centre de l'arbre de Fi 129

rotation : le point A est la tête de la tige du piston qui reçoit dans le cylindre un mouvement alternatif; le point B est le bouton de la manivelle.

Le point B décrivant une circonférence, le centre instantané de la bielle est situé quelque part sur le rayon FB prolongé, car ce rayon est normal à la circonférence. Le centre instantané appartient de plus à une perpendiculaire élevée au point A sur la droite FX, trajectoire du point A. Donc il est en 0 à l'intersection de ces deux droites, et la normale au lieu décrit par un point de AB s'obtiendra en joignant ce point au point 0.

Les vitesses simultanées du point B et du point A sont entre elles comme les distances OB etOA. Si v est la vitesse linéaire du point A, c'est-à-dire du piston, et V la vitesse linéaire du bouton de la manivelle, nous aurons

V 0D v ~~ OA'

Par le point F, menons FK perpendiculaire à FX, et prolongeons AB jusqu'à la rencontre de FK. Les triangles BFK, BOA sont semblables, et par suite

0B__FB

OA ~" FK#

Donc