ROTATIONS NON CONCOURANTES
tion, perpendiculaire au plan des parallèles OA,0' A', et égale au produit de la rotation OA par la distance DE des deux axes parallèles.
Le problème est ainsi ramené à la composition d'une rotation CC avec une translation donnée MN (fig. 172).
Nous pouvons décomposer la translation MN en deux composantes MP, MQ, par la règle du parallélogramme, en faisant en sorte queMQ soit parallèle à O'C, et que MP soit perpendiculaire à MQ ou à O'C. 11 suffit pour cela de mener par le point M une droite MS indéfinie, parallèle à O'C, et un plan RR', perpendiculaire à O'C ; puis par les deux droites MN, MS, de faire passer un plan qui coupera le plan RR' suivant une droite indéfinie ML;
cette droite sera la direction de la seconde composante. On achèvera le parallélogramme en menant NP parallèle à MQ, et NQ parallèle à MP; de cette façon, nous aurons substitué à la translation unique MN deux translations simultanées rectangulaires MP, MQ.
La translation MP, perpendiculaire à la rotation O'C, peut se composer avec cette rotation (§167), et donne pour résultante une rotation 0" C, qui n'est autre que la rotation 0'C,déplacécd'unc certaine quantité O'O", parallèlement à ellemême, suivant la perpendiculaire abaissée du point 0' sur la vitesse MP. On obtient donc une rotation 0"C et une translation MQ parallèle à la rotation. Le système qui subit à la fois ces deux mouvements élémentaires, glisse avec une vitesse MQ le long de Taxe 0"C, autour duquel il tourne avec une vitesse angulaire 0"C. Donc enfin (g 159) la direction OfCfcslVaxe instantané glissant du système.
171. On pourrait procéder différemment. Substituons (fig. 173) à la rotation OA une rotation 0^', égale et parallèle, rencontrant l'axe O'B en un point 0' quelconque, et une translation perpendiculaire au plan des parallèles OA, O'A, et égale
m nrinon m maoovunKft.
à uxDE (g 167). Les deui rotations O'.V et O'B sont concourantes . «jlles se composent donc en une rotation unique O'C, qu'on obtient par ta règle du parallélogramme {% 165). On ramène ainsi les deui rotations à une rotation et une translation: puis on peut continuer comme tout à l'heure. La translation sera décomposée en deux translotions rectangulaires, l'une parallèle, l'autre normale à l'axe de la rotation; et la translation normale, composée avec la rotation, aura pour effet de déplacer l'axe de lg' " cette rotation parallèlement à lui-même,
sans altérer sa grandeur. En définitive, on obtiendra une rotation et une translation parallèles.
172. La composition des mouvements élémentaires simultanés nous amène à retrouver et à compléter les théorèmes relatifs au déplacement élémentaire d'un système solide.
Nous avons reconnu d'abord que le mouvement élémentaire d'un solide pouvait être décomposé en une translation égale et parallèle au mouvement élémentaire d'un point A, et en une rotation Q autour d'un axe passant par ce point A (g 158). Si la translation est normale à la rotation, les deux mouvements se composent en une seule rotation égale et parallèle à la rotation primitive □ (g 167).
Si la translation est oblique à la rotation, on peut décomposer la translation en deux nouvelles translations, l'une paiallèleà la rotation, l'autre normale; celle-ci, composée avec la rotation Q, donne une rotation égale autour d'un axe parallèle, de sorte que le mouvement élémentaire est ramené à une rotation et à une translation parallèle, c'est-à-dire enfin au mouvement hélicoïdal (g 170}.
Dans toutes ces transformations, la rotation primitive Û n'est altérée ni en grandeur ni en direction.
On peut, au lieu de composer la rotation fJ avec la composante de la translation qui lui est normale, substituer à la translalion un couple de rotations (u, u>') autour de deux axes
AXE LNSTAKTANÉ GLISSANT. 253
parallèles, dont l'un rencontre Taxe de la rotation 0 ; les deux rotations concourantes, o> et 0, peuvent se composer en une seule Qf (§ 168); et le mouvement élémentaire du solide est ramené à deux rotations a>\ ff, autour de deux axes non concourants.
Ces deux axes sont des droites conjuguées (§157); chacune est située à la fois dans les plans normaux menés aux trajectoires des points de l'autre.
173. Supposons qu'on définisse, à un certain instant, le mouvement élémentaire d'un système solide par la vitesse de translation OP d'un point 0, appartenant à ce système, et par la grandeur et la direction OR de Taxe de la rotation instantanée autour d'un axe passant par ce même point. On mène par le point 0 des axes rectangulaires OX, OY, OZ, suivant lesquels on peut décomposer les mouvements élémentaires ainsi définis ; projetons OP et OR parallèlement aux axes ; soient V et Û la vitesse OP et la rotation OR ; a, ($, v, les angles p. m
que OP fait avec les trois axes, et
X, jx, v, les angles de OR avec les mêmes axes. Appelons enfin w, vy tu, les composantes de V suivant les axes, et p, ç, r, les composantes de Û ; en sorte qu'on ait
u = O/i = V cos a, /?=0a= Qcosi, 9 = nm = V cos p, q = si = û cos /x, t0=fllP = VcOSyf r=/R = Qcosv.
Remarquons en pissont qu'au lieu de donner V, û et leurs directions, on peut donner les six composantes u, v, w, p, qy r; ce qui revient à décomposer le mouvement élémentaire du solide en trois translations parallèles aux axes coordonnés, et en trois rotations autour des mCmes axes.
Proposons-nous de déterminer l'axe instantané glissant.
On sait d'abord qu'il est parallèle à OR (g 172). Décomposons la translation OP en deux composantes OF, FP, en abaissant du point P la perpendiculaire sur OR. La droite OF sera
TA I ETatïI5ATI05 A5UYTIQCB
la vitesse de translation, on de glissement, dans le mouvement hélicoïdal ; elle est égale an produit de Y par le cosinus de l'angle de OP avec OR ; le cosinus de cet angle est égal à
€01 m COI à + CM p COS /t -f- €08 7 €08 Vfc
ou à
donc la vitesse du glissement est égale &
vjj + rq + wr,
elle fait avec les axes les mêmes angles X, n, v, que la rotation donnée.
Pour trouver la position de Paie glissant, on pourrait composer la rotation Û = OR avec la translation normale PF (g 1 70) . Mais on arrive plus simplement par la marche suivante au résultat cherché.
Considérons un point quelconque M du système solide, et soient g, y, z ses coordonnées ; cherchons quelles variations ces coordonnées éprouvent par suite des six mouvements élémentaires subis simultanément par le solide. Il suffit pour cela de considérer successivement ces six mouvements, de déterminer les variations correspondantes des coordonnées, et de faire la somme algébrique des résultats ainsi obtenus.
La vitesse u augmente, pendant le temps df , la coordonnée! de udt sans rien changer à y ni à z.
De môme , la vitesse v augmente y de vdt sans altérer x ni z;
Et la vitesse u? augmente z de wdt sans altérer x ni y.
Chacune des rotations p, q, r, altère à la fois deux coordonnées, en laissant sa valeur à celle qui est parallèle à l'a&« autour duquel celte rolation s'opère.
Ainsi p altère y et z sans altérer x ; q altère x et z sans alti rer y, et r altère x et y sans altérer z.
Pour évaluer les variations de y et de z dues à la rolatio p, projetons le point M sur le plan YÛZ (fig. 175); la ruk*
