DE DEUX ROTATIONS CONCOURANTES
lion. Ses déplacements doivent donc être les mêmes, qu'on les déduise de la rotation o> autour de OA, ou de la rolationû autour de OC. Du point B abaissons sur OÀ et OC des perpendiculaires BE, BF. En vertu de la rotation OA, le point B se déplace perpendiculairement au plan du papier, en arrière de ce plan, d'une quantité égale à vilt x CE; en vertu de la rotation autour de OC, il se déplace, dans la même direction et dans le même sens, d'une quantité Qdt x BF, et nous avons l'égalité
«.>cBE = nxBF.
Hais la vitesse <i> est représenléesurla figure par la longueur OA de l'aie autour duquel s'effectue la rotation w. Le produit <»XBE, ou OAxBE, mesure Paire du parallélogramme OACB. Le produit OC xFB mesure le double de l'aire du triangle OCB, c'est-à-dire l'aire du même parallélogramme. Donc OAxBE=OCxFB.
Or
La rotation résultante de deux rotations concourantes est donc représentée en direction, en grandeur et en sens, par la diagonale OC du parallélogramme construit air les axes OA et OB des deux rotations données.
169. Ce théorème de cinématique fournit une démonstration d'un théorème de géométrie.
Prenons, dans le plan du parallélogramme OACB, un point M quelconque, que nous supposerons animé de
deux mouvements simultanés de rotation autour des axes OA et OB, avec des vitesses angulaires respectivement proportionnelles aux longueurs OA et OB. Le mouvement résultant du point H sera ucc rotation autour de l'axe OC, avec une
250 TIIÉOIIÈME DE VAP.1G.N0S.
vitesse angulaire proportionnelle 5 la longueur OC. D'ailleurs les déplacements du point M dans ces trois rotulions sont normaux au plan de la figure, et par suite le déplacement résultant est la somme algébrique des déplacements composants. Abaissons du point M les perpendiculaires Mm, M», Mj>. sur les eûtes du parallélogramme et la diagonale, nous aurons, en omettant le facteur dt, l'équation
OAxMm-j-OOxH'i^OCxH;!.
OrOAxM.ro est la mesure du double de la surface du triangle MOA; de mémeOB x Mh est le double du triangle MOB, et OC x Mp le double du triangle MOC. Le triangle MOC, fait sur la diagonale, est donc la somme (algébrique) de? triangles faits sur les côtés OA et OB ; ce théorème, connu en géométrie sous le nom de théorème de Varignon, sert en statique à établir la théorie des moments.
COMPOSITION DE DEUX ROTATIONS NON CONCLUANTES ET NON PARA] I LI.L-. ET COMPOSITION D'UNE ROTATION AÏEC DKE TRANSLATION QCELCOKQtE.
170 Soient OA, O'B, les axes de deux rotations qui ne sont ni parallèles, ni concourantes.
Parle point 0' menons une droite O'A', égale et parallèle t c OA, mais dirigée en sens contraire, puis ache- At vons le parallélogramme dont O'A i / \ et O'B la diagonale. Il suffira pour cela de »t / )B joindre BA', et de mener par les points 0'
\ l/j etBdes parallèles O'C, BC,aux côtés BA'.OX
o- nf / ^ ''S™ °'B étflnt la iiagonala du paroi
V"*AE/ lèlogranime construit sur les deu* t/HU» » y O'A', O'C, la rotation O'B est la résultant
*■ de deux rotations O'A' et O'C , et nous pou-
fie. ni. ïons su[,s[ituep à h rotation donnée l'en-
semble de ces deux nouvelles rotations,
Mais les deux rolalions OA, O'A', sont égales, parallèles et de sens opposés, l'onc (g 100; elles équivalent à une Ininsla-
