COURBES ROULANTES
255. Soient MN, PQ, deux courbes solides, mobiles dans leur plan, lune MN, autour du point 0, l'autre PQ, autour du point 0\ Nous supposerons que ces deux courbes agissent Tune et Tau Ire par contact direct, comme une came
sur un mari eau , et nous ° if Ny(* A' r\ °'
nous proposerons de déter- Fig 2C4
miner la condition nécessaire et suffisante pour quelles roulent l'une sur l'autre dans leur mouvement relatif.
Il faut et il suffit pour cela que le point de contact A ne sorte pas de la ligne des centres 00', car alors l'arc de glissement sera constamment nul. Le rapport des vitesses angulaires sera égal à chaque instant au rapport des segments OA, AO, de sorte que ce rapport sera variable, le point A n'étant pas fixe sur la ligne 00'.
Les courbes roulantes appartiennent, en général, à la classe B du premier genre de la classification de Willis.
Soit A le point de contact des deux courbes à un instant donné.
Prenons sur les deux courbes deux points B et C tels, que l'arc AB soit égal à Parc AC. Rapportons la courbe AB au pôle
398 COURCES
0 et à Taxe polaire OA, et faisons d'une manière générale r= OB, 0 = BOA. De même rapportons la courbe AC au pôle 0' et à l'axe polaire CAf en posant OT = i* et CCA = 0.
Nous regarderons 0' comme une fonction de 0 telle, que Tare AB soit égal en longueur à Tare AC. Quand on fait tourner la courbe MX d'un angle 0 autour du point O dans le sens de la flèche Q, et la courbe PQ d'un angle 0' autour du point O*, dans le sens de la flèche /% il faut que les deux points B et C viennent se confondre en un point A' de la ligne des centres, et de plus, que les deux courbes soient encore tangentes en ce point. Ces deux conditions s'expriment par les égalités
en appelant 2a la distance constante 00', et
d$ de'
dr dr*
En effet r -r- est la tangente trigonométrique de l'angle
OBNque fait la courbe MN avec le rayon vecteur OB: ? -r%
J * dr
est de même la tangente de l'angle QCO', et l'égalité précédente exprime que ces deux angles sont supplémentaires, ce qui assure le contact des deux courbes lorsque les points B et C viennent se réunir au point A'.
Le rapport des vitesses angulaires des deux courbes à l'instant où elles ont le point A' pour point de contact, est donmpar le rapport inverse des segments 0A', 0' A', ou parle rapport desrayons vecteurs r, r\ Les équations précédentes le démontrent; en effet, de la première équation on tire en difïérentiant
rd6=r/d0'9
et par suite
d± dV
On voit aussi que les deux équations, supposées vérifiées pour tous les points conjugués, B et C, des deux courbes, assurent l'égalité des arcs AB, AC. En effet, l'arc AB a pour différentielle
et Tare AC
^dr'+r-'dO*,
)/di'* + r'*dQ'*,
Ces deux différentielles sont égales ; par suite les deux arcs ne diffèrent que d'une constante, et cette constante est nulle, puisque les deux arcs s'annulent ensemble pour 0=O.
Étant donnée l'équation r=F(0) de la courbe MN, on obtiendra réquationr/ = /,(ô') de la courbe roulante conjuguée, au moyen des deux équations :
r'^zïa — r,
db> = r-de = cr±—
r' la — r
dd.
256. Applications. — Ellipses roulantes. — Considérons deux ellipses égales, MN, PQ, tangentes Tune à l'autre au point A, sommet commun de leurs grands axes.
Faisons tourner l'ellipse MN autour de son foyer 0, et l'ellipse PQ autour de son foyer 0/ ; les deux courbes MN et PQ auront la propriété d'être des courbes roulantes. Il est facile de le reconnaître par la simple géométrie. Soient F et F' les seconds foyers des deux courbes. Prenons sur la première un point B quelconque, et déterminons sur la seconde un point C
Fig. «65.
tel, que Tare AC soit égal à Tare AB. Les points G etB seront symétriques par rapport à la tangente AI menée aux deux ellipses au point A. Joignons 0B9 FB, (PC, PC. Nous aurons OC =FB; donc CKC 4- OB=FB 4- OB, quantité constante, égale au grand axe AH de l'ellipse v ou à la distance, 00"= Sa, des centres de rotation. La condition r + r*= 2a est donc remplie. Les deui courbes seront d'ailleurs tangentes lorsque les points B et Cr seront réunis en un seul. En effet, menons la tangente BT; elle fait des angles égaux avec les droites FB, BO menées aux foyers de la courbe; donc l'angle FBT est le supplément de l'angle OBT. Hais FBT est, en vertu de la symétrie, égal à l'ai* gle O'CT . Donc les angles OBT, OTCT sont supplémentaire», ce qui vérifie la seconde condition.
Soit c la demi-excentricité des ellipses. Le rapport des vitesses angulaires des deux courbes autour des points 0 et V
variera entre les limites 7^7 = , lorsqu'elles sont dans
(TA a + c1 ^
la position représentée par la figure, et , lorsque le contact a lieu entre les points H et H'. Chaque courbe a fait alors une demi-révolution autour de son point fixe.
Onremarquera que, tant que les rayons successifsOB, OB', OB' sont croissants, la courbe MN peut pousser la courbe PQ en tournant dans le sens de la flèche/; lorsque au contraire le point de contact a dépassé le sommet II, les rayons OB't,OB"t sont décroissants, et par suite la courbe MN serait sans action sur la courbe PQ, et ce serait celle-ci qui devrait pousser la première. Pour assurer néanmoins la transmission de l'ellipse S1N à l'ellipse PQ, il suffit de garnir de dents d'engrenage la demiellipse ABâ II, et la demi-ellipse AQII'.
Quand Tune des ellipses fait un tour entier, l'autre fait également un tour entier; le rapport moyen des vitesses angulaires pour un nombre entier de. tours est donc égal à l'unité.
