SPIRALE LOGARITHMIQUE

257. Soit MN une spirale logarithmique ayant pour pôle lo point 0, et représentée par l'équation

flrt

r=ae .

La courbe roulante conjuguée est ° la même spirale PQ, inversement placée, et représentée par l'équation R* m

— mV t* = ae

La condition r-\-r* = 2a sera remplie si Ton prend pour 0 et 0* des valeurs satisfaisant à l'équation

ml —ml'

On a d'ailleurs , en différentiant les équations des deux courbes,

dr=mae dO, donc <*0= — e ,

ma

df^—mae dQ', dV = e = — e •

ma ma

Multiplions la première par

mft

la seconde par

il viendra

r=ac

V=.ae :

rdO— — , m

DoncrdO=rW, et les conditions du roulement sont toutes deux remplies.

UtC. COIJJGXOJ. 26

Fig. Î67.

On a utilisé cette propriété de la logarithmique dans le dispositif suivant.

0 et 0', centres de rotation, sont les centres des deux carrés égaux BCDE, Afgh, partagés chacun en quatre carrés plus petits par des droites menées parallèlement aux côtés par le centre de la figure. On trace un arc de spirale logarithmique du point A, milieu de côté BE, au point B ; un autre arc, du point A au point E, et de même sur les trois autres côtés. On en fait autant sur les quatre côtés du carré 0*. Enfin, on fait en sorte que le sommet A du carré 0' coïncide à l'origine du mouvement avec le milieu A du côté BE. Les deux courbes égales AB, \b auront, comme on vient de le démontrer, la propriété de rouler Tune sur l'autre, et les points b et B viendront se réunir en un seul point de la ligne OO7. Le rapport des vilesses angulaires qui était, au départ, égala

^7-r, ou à -=, sera devenu, lorsque les deux figures auront dé-

crit un angle de 45°, égal à — = ^2.

Ce sont les deux limites du rapport, qui est égal, en moyenne, à l'unité pur chaque huitième de tour.

COURBES DÉniVÊES,