A LONGUE INFLEXION

Il viendra

xl=zm — acosO,

yt = n 4- a sin 0,

j,= -.»l + fl cos &',

yt= — n+asinP.

On a d'ailleurs

Entre ces sept équations, éliminons les variables xiy yt, x„ y19 0 et 6' ; l'équation finale, qui ne contiendra plus que x, y et des constantes, sera l'équation du lieu.

Ajoutons membre à membre les équations (5) et (5), puis les équations (4) et (6) ; il viendra, en remplaçant xl + xt et fft+ Jf» par leurs valeurs prises dans les équations (1) et (2) ,

a (cos 6' — cos0) =2ar, a (sin 6* 4- sin 0) = 2y.

On en déduit

2* cos 0* = hcos 0.

sin0/= -* — sin0.

Élevant au carré ces équations et ajoutant, il vient

ix* 4f/s 4 \ = -r+ «r + -(«COS0— ysin0) + l, a* a* a* 9 '

ce qui se réduit à

(8) ysin0 — *cos0 = - (xf-+*^*).

Des équations (3) (4) (5) et (6) on tire successivement:

x% — x,= — m -h rtcosô '— m + acos $=a (cos 0' -f- cos 0) — 2m = « ( h 2cos0 J — 2m = 2 I * — m + acos0 I

yà—yt= — n-ha$\n$' — n — asin0 = a (sin0' — sin0) — 2n = «^ — 2sinô)— 2n=2ri/— w— «sinol.

Substituons ces valeurs dans l'équation (7) ; nous obtenons l'équation suivante, en dmaanipar 4:

Remplaçant xcost— ysmOpar aa valeur tirée de l'éasaun

(8), il vient l'équation

en représentant par P, pour abréger, la fbnciiott entière de second degré qui figure dans le second membre.

Nous résoudrons les équations (8) et (9) par rapport à ni et cos a ; puis, élevant au carré et ajoutant, l'angle e sen éliminé :

18) «a»l — y»ln9 = — ^** + f>1,

9s8— «ïin9 = P,

Donc l'équation finale est

P étant uu polynôme du second degré en x et y, Pjf et Pc sont du troisième, et le polynôme que l'on obtient en développant les carrés est du sixième. La courbe est du sixième degré. Elle passe à l'origine, puisque * = 0, y~ 0 satisfont â l'équation. On sait d'ailleurs que ce point est un centre pour la courbe.