SUR LE MOUVEMENT D'UN SOLIDE DANS L'ESPACE

31 7. Le mouvement élémentaire le plus général d'un solide est un mouvement hélicoïdal (g 159). Cette proposition peut êlre regardée comme un corollaire d'un théorème que nous allons démontrer.

Étant données dans V espace deux positions d'un même *o-

M SUn LE MOUVEMENT UTS SOUDE

Iule, on petit toujours amener le corps de l'une de tes posi-

Honi à Vautre par un déplacement hélicoïdal.

Soient H et M' les deux positions du corps. Considérons dans le corps M un point quelconque A, qui aura son homologue en A' dans le corps M'. Imaginons pour le corps une troisième position, que nous obtiendrons en donnant à tous les points de M' une translation égale ù A'A. Ce mouvement ■mènera le corps dans une position M*, qui a avec M le point commun k.

Pour amener le corps M dans la position M', on peut donc l'amener d'abord dans la position intermédiaire M", puis le Faire passer de M* en M' au moyen d'une translation unique ÀA'. Le premier de ces deux déplacements est un déplacement conique, qui peut être opéré par une rotation unique autour d'une droite AL menée par le point A.

Coupons le corps H par un plan P normal à AL, et soit F la ligure obtenue par cette section. Le mouvement du corps est entièrement défini par le mouvement de ta figure F, qui passe en F dans la position M", puis qui vient prendre la position F' quand le corps vient en H'. Dans ce» deux mouvements le plan P conserve ton parallélisme. En effet, la rotation autour de AL ne produit qu'un glissement du plan P sur luimême, puisqu'il est normal à l'axe, et la translation AA' n'altère le parallélisme d'aucun plan attaché au corps H*. Donc les deux figures F et F' sont dans des plans parallèles. Projetons la seconde figure sur le plan de la première ; elle y formera une nouvelle figure F", qui peut être regardée comme une autre position de la figure F dans le plan P. On prut faire coïncider la figure F avec F" par une rotation unique autour d'un point 0 du plan P; puis on amènera la figure mobile en F' par une translation le long de la normale OC au plan P menée par ce point 0. En définitive, on fait passer le corps de M en M' par une rotation autour «le la droite 00', et une translation le long de cette même droite, et, si l'on imagine que ces deux mouvements sont simultanés et tous deux uniformes, ils donneront par leur coexistence un mou-

veinent hélicoïdal ayant pour axe 00', et servant h faire passer le corps de la première à sa seconde position.

318. On voit que la démonstration repose sur ce fait que, deux positions, M et M', d'un même corps étant données dans l'espace, on peut toujours trouver un plan P lié au corps M qui, transporté en F avec le corps M', reste parallèle à sa position primitive: cette proposition étant très importante, nous en donnerons ici une démonstration analytique.

Rapportons les divers points du corps M à trois axes coordonnés OX, OY, OZ, que nous pouvons supposer rectangulaires, bien que cette condition ne soit pas essentielle à la démonstration. Rapportons aux mêmes axes les points du corps M' et cherchons quelles relations lient entre elles les coordonnées x', y\ z' des points de M' aux coordonnées a\ y, % des points homologues de M. Si nous imaginons que le corps M, en passant en M', entraine avec lui les axes coordonnés , toul point A du corps conservera ses coordonnées xy i/, z par rapport aux axes mobiles ; ainsi on peut regarder x, y, z comme les coordonnées du point A par rapport aux axes OT, OT, O'Z' liés à la position M', et x\ y\ z' comme les coordonnées du même point par rapport aux axes primitifs OX, OY, OZ. On passe donc de (x, y, z) à (x\ yf, z') parles formules de la transformation des coordonnées , et Ton peut poser, par suite, les trois équations

y=ï + fx*+gy>+htr,

dans lesquelles a, (î, y, û, 6, c,... /, m, n sont des quantités connues.

Cela posé, cherchons à déterminer un plan P tel, que, lié au corps M et entraîné avec lui dans la position M', ce plan reste parallèle à lui-même. Soit

(*) A* + By + C* = D

l'équation de ce plan, A, 6, C étant des coefficients inconnut

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