D-<A, + DS + CV

et ce plan P' sera parallèle au plan P, si l'on a les égalités de rapports

Aa + ry+Ci AU- Btf + Cm Ac + lU + Oi . I4) A Ô C *

ce qui donne deux équalions définissant les rapports de deux des coefficients A, B, C au troisième. Pour résoudre ces équations, appelons X la valeur commune des trou rapports. D viendra les trois équations

| i(n-J) + D/ + CJ = 0,

(5) kb + *[g — l) + Cm=Q,

( Ac + BA + C(a-1)=0,

équations qui feraient A, B, C nuls à la fois, si le tlétermimct de leurs coefficients n'était pas égal à zéro. On déterminera donc >. en posant l'équation

équation du troisième degré en X, qui donnera par conséquent toujours pour X une racine réelle. A celle racine réelle

correspondent les valeurs réelles des rapports = > =* qui fixent

la position du plan cherché. On voit que la solution ne dépend pas des quanlilés a, p, y, et qu'elle laisse aussi indéterminé! la quantité D, qui achève de fixer la position du plan P, de sorte que tous les plans parallèles à P jouissent de la même propriété que le plan P, résultat évident a priori.

319. La démonstration fait voir qu'il existe toujours unesério de plans P, tous parallèles, qui conservent leur parallélisme dans le transport de M en M'; mais, comme l'orientation du plan P est donnée par la résolution d'une équation du troisième degré, qui a, en général, une ou trois racines réelles, il semble qu'il puisse y avoir plus d'une solution. Il est facile de s'assurer qu'il n'en est rien, de sorte qu'on peut affirmer que l'équation (G) n'a qu'une racine réelle unique. En effet, si l'on pouvait attribuer à X trois valeurs réelles distinctes, à chacune correspondrait une série distincte de plans réels, et il y aurait dans le corps trois plans P, Q, R, qui, transportés de M en M', prendraient des positions parallèles F, Q*, R'. S'il en était ainsi, le corps pourrait être amené de M en M' par une simple translation, qui conserverait le parallélisme d'un plan quelconque lié avec lui. Dans ce cas, les formules de transformation (1) deviendraient simplement

ce qui revient à faire

ces valeurs particulières introduites dans l'équation (G) donnent

d'où l'on déduit seulement X= 1, racine triple. L'hypothèse des trois racines réelles n'est donc pas admissible. En résumé, l'équation (6) a une racine réelle unique, et deux racines imaginaires conjuguées; à celles-ci correspondent deux plans imaginaires , qui conservent leur parallélisme comme le plan P réel.

L'analyse complète ainsi le résultat obtenu par la géométrie.

500 M'U I.E MOi;VEMKST DUt SOUDE

Deux plans imaginaires conjugués se coupent suivant une droite réelle, laquelle doit conserver son parallélisme, comme les plans dont elle fail partie. Or il n'en est ainsi que pour les droites normales au planP; donc les plans imaginaires conjugués qui restent parallèles à eux-mêmes se coupent suivant des normales au plan réel.

32U. L'introduction des imaginaires en cinématique aété faite par M. Mannheim1. Étant données deux positions d'une même figure plane dans son plan, on reconnaît aisément qu'il etistl un point réel 0 commun à ces deux positions : c'est le point autour duquel on doit faire tourner l'une des figures pKf l'amener par une rotation unique à coïncider avec l'autre. Outre ce point réel, il y a deux points imaginaires qui restent fixes quand on déplace la figure dans son plan: ce sont lu points I et J, intersections communes de tous les cercles du plan avec la droite de l'infini. En effet, si l'on joint à la figure F un cercle C quelconque, ce cercle prendra dans (a seconde figure la posilîon C, et les deux cercles C et C prissent tous deux par les points I et J. Ces deux points restent donc Bm dans le déplacement de la figure. Dans l'espace, le dôplucenicni d'un solide peut être considéré comme entraînant une sphère arbitraire, et toutes les sphères ayant une circonférence commune dans le plan do l'infini, le mouvement du corps doit être regardé comme entraînant un glissement de cette circonférence imaginaire sur elle-même.

Ce sont là des considérations de géométrie paradoxale, dont il convient d'être très sobre en mécanique. L'imaginaire a ta lois spéciales, qui ne s'étendent pas au monde réel, cl qui, généralisées à tort, entraîneraient des conséquences inadmissibles. Nous nous contenterons de signaler le résultat suivant. Considérons le mouvement d'un point imaginaire déûuî dans un plan par les équations

- Conçrft de rAttocialioa fronçait* de WZ, ù Ijon, page Sî.

La vitesse totale v du point sera constamment mille , bien que le point ne soit pas immobile. On a en effet

et

g„rWtPï.

Il devait en être ainsi, en effet, pour un point qui parcourt la droite y=x^ — 1, droite le long de laquelle les dislances de deux points sont constamment nulles, droite perpendiculaire à elle-même, asymptote d'un cercle quelconque ayant l'origine pour centre, etc.

321. La méthode analytique que nous avons employée pour étudier le déplacement d'un solide dans l'espace, peut être appliquée aussi au problème du déplacement d'une ligure plane dans son plan. Proposons-nous de démontrer que quand une figure plane occupe successivement deux positions dans son plan, ces deux positions ont un point commun , à distance finie ou infinie.

Rapportons les points M de la figure à des axes rectangles OX, OY, entraînés dans son mouvement ; et rapportons les positions successives de la figure, ou de ces axes, à deux axes fixes O'X', O'Y', qui coïncident à un certain instant avec les axes mobiles OX, OY.

Le point M de la figure mobile a par rapport aux axes OX, OY les coordonnées x,y; par rapport aux axes fixes, il a les coordonnées x\%J; enfin, le point M se trouvait en (M) lorsque les axes YOX coïncidaient avec les axes Y'OT.

Appelons a et £ les coordonnées du point 0 par rapport

Fig. 310.