DANS SON PLAN
autour duquel il faut faire tourner la figure dont le point a
fait partie, pour l'amener dans la seconde position. Le point
a décrit dans cette rotation
un arc de cercle qui Ta- ,~- — ^ ^' ^
mène en 6 et l'on a Oa =06. / \/
L'angle aOb est l'angle / ^^ll*^^** î
dont la figure a tourné. \ jS^^^
Soit 0' le second centre \ / V' de rotation, celui autour x -^ ' \
duquel il faut faire tour- ,' ^ -^:
ner le point b pour l'aine- \ ° ;
ncr dans sa troisième po- \ /
sition en c. Si Ton se donne les trois positions n 543
a, b, c d'un même point,
et les deux centres 0 et 0' qui rattachent a à 6, cl b h c, on peut en déduire le troisième centre 0", qui rattache c h a.
En effet, projetons b sur 00' au point I, et prenons le point P symétrique de b par rapport à 00'. On aura0P=06=0a; si donc on joint al\ et qu'on prenne le milieu K de cette droite, OK sera perpendiculaire à la base aV du triangle isoscèle aOP. De même joignons Pc, et prenons le milieu L de cette droite; la droite O'L sera perpendiculaire sur Pc. Les deux droites OK, O'L se coupent en un point 0", qui sera le troisième centre cherché. Car il résulte de la construction qu'on a (fa= 0T=0"c; on voit de plus que l'angle aO"c est double de l'angle 00"0', de sorte que, dans le passage de la figure (c) à la figure (a), les distances des points au centre 0* restent les mêmes, et les angles décrits par les divers rayons (fc sont tous égaux entre eux ; le point 0" est donc le centre autour duquel la troisième rotation doit s'effectuer.
Le point P est à la fois le point symétrique des trois points a, 6, c, par rapport aux trois côtés du triangle OO'O"; or les points a, 6, c sont les trois positions successives d'un même point quelconque de la figure mobile, et l'ensemble des points P qui correspondent à chaque point de cette figure,
508 SIR LE Hmm DTJN SOUDE DAKS L'ESPACE.
constitue la ligure symétrique dos trois positions (a), [b], (c). On arrive dune a ce beau théorème de M. Stephanos :
Étant données trois positions successives d'une mimt figure plane dans son plan, ces trois positions peuvent être considt'rée* comme tes images d'une même figure (P), nue dans les trois miroirs représentés par les droites 00', 00*, 0*0, qui joignent deux à deux les centres de rotation servant a passer d'une position à une autre.
Si l'on donne aux trois positions de la ligure mobile les numéros
les centres de rotation pourront recevoir les numéros
et les droites de jonction 00' O'C**, 0"0 les numéros
On voit qu'à la ligure l correspond le côté 51. 12 du triante à la ligure 2 te coté 12.-23, à la figure 3 le côté 23.51.
La même Ihéorie a été élendue par l'auteur aux déplacements d'un solide dans l'espace.
525. M. Chastes a démontré, dans le mémoire qui fait suite a son Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en géométrie, que, lorsqu'une ligure de forme quelconque éprouve un déplacement infiniment petit, les plans normaux aux trajectoires des points de celle ligure enveloppent une seconde ligure qui est corrélative de la première. Ce théorème résulte de ce que l'équation du plan normal à l'élément rectiligne décrit par un point ne contient qu'au premier degré les coordonnées de ce point, condition nécessaire et suffisante pour que les deux ligures soient corrélatives, c'est-à-dire pour que toul plan de l'une corresponde à un point de l'autre, toute droite à une droite, tout point à un plan. Ce théorème se trouve généralisé dans le même mémoire, H s'applique à un déplacement fini quelconque, pourvu qu'on substitue aux plans normaux aux trajectoires des divers points. les plans élevés perpendiculairement au milieu des droite j qui joignent les deux positions extrêmes d'un même point' !
MOUVEMENT ÉPICYCLOÏDAL PLAN.
MOUVEMEKT ÉPICYCLOÏDAL PLAN (g 194).
326. Considérons un point quelconque M d'une circonférence A MB, de diamètre arbitraire AB=a, tangente en A aux courbes PQ et RS ; soit MAB = a. La distance MA = p sera égale à a cos a, et le rayon de courbure p de l'épicycloïde engendrée pnr le point M, quand la courbe PQ roule sur RS en entraînant la circonférence, est donné par la formule
a1 cos1 a
p— Kcosa acosa — Kcosa a — K
Il est facile de voir, d'après cette équation, que le lieu des centres de courbure C des épicycloîdes décrites par les points M de la circonférence AB est une circonférence ACD.
En effet t
AC = MC-AM = p — a cos a
= (^K-fl)C0Sl
Ka
cos a,
et le point C est la projection, sur la droite MA prolongée, d'un
Ka
point fixe D pris sur AN à la distance AD= »«
Ces deux circonférences AB, AD sont réciproques, c'est-àdire que, si Ton considère les épicycloîdes engendrées par les divers points de la circonférence AD roulant sur PQ avec la courbe RS, les centres de courbure de ces courbes seront situés sur la circonférence AMB. En effet, MC est 80*4 bien le rayon de courbure de l'épicycloïde décrite par M qoand AB est mobile, que le rayoo de courbure de l'épicycloiéb décrite par C quand AB reste fixe et que AD subit
MOUVEMENT ÉHCÏCIOÏDAL PUS.
le mouvement. Ou peut d'ailleurs vérifier celle réciprocité par les formules. Soi!
Le rayon de courbure p' de l'épicycloùte décrite par ls point C sera égal à
et l'équation du lieu des centres de courbure sera par conséquent
. , ta /a*—Za\
ce qui ramène au cercle AMB.
327. Cherchons encore quel est, fi un inalant donné, lo lieu (les centres de courbure C des.épicycloîdes décrites a cet instant par les divers points H d'une droite LL' liée à la figure mobile.
Soient MAB = a,p = AM les coordonnées polaires du point H. L'équation de la droite sera
a étant la distance AP de la ng.su.
droite au pôle, et f, l'angle PAB de la perpendiculaire à la droite avec l'axe polaire A.B. Le point C aura pour coordonnées polaires
MOUVEMENT ÊPICYCLOÏDAL PLAN. 511
d'ailleurs,
r p — Kcosa
Donc,
7>K co«« a
p — Kcosa
Éliminant p, il vient pour l'équation polaire du licv
Kcosa X 77 — r
COS(p-a)
— cosa
cos(p-a)
Revenons aux coordonnées rectangles, en prenant pour axe des x la tangente AX, et pour axe des y la normale AN. On aura
y x , x scosfj-f wsinS cosa=-» sina = — , cos(p-a) = y »
y «cosM-ysinp
r ar aKy .
( ^ — *-? - K~) ar — K^ (*cosp + ysinp)
Vrcosp + ysinp r/ r v i* i » r/
ou bien, en chassant le dénominateur,
ar* — Ky (scos p -f- y sin p) = aKy ;
ou enfin
«!** + y1) — Ky (arcos p -f- y sin p) = aKy,
équation d'une courbe du second ordre qui passe au point A, et qui touche Taxe AX en ce point.
328. La démonstration donnée § 196 peut être simplifiée par l'emploi de l'analyse. Prenons pour axes coordonnés (fig. 195) les droites AK, AN; soient et et (J les coordonnées du point M; celles du point C, qui est silué avec le point M sur une droite passant par l'origine A, pourront être représentées par — Xa, — X{), X étant le coefficient angulaire de la droite MC, et le
