COMPOSANTES DE LA VITESSE D CK POINT D UN CORPS SOLIDE

329. La démonstration du g 203 peut encore être donnée sons la forme employée dans le g 185. La vitesse du point H {fig. 203) est égale à uX HP, et elle est dirigée perpendiculairement m plan qui passe par le point H el l'axe OA. Prenons sur l'axe une longueur OA— m, et joignons OM, MA. Le triangle OMA aura pour aire la moitié du produit OA x MP, ou-J»xMP, et la projection de la vitesse sur un axe, l'axe OZ, par exemple,' sera par conséquent égale au double de la projection du triangle OMA sur le plan XOY. Or les coordonnées du point A sont

* ff- •■; celles de H sont

La surface du triangle projeté sur le plan XOY a pour mesure, au signe près,

5 {py — q*)-

Donc, en doublant le résultat, et faisant abstraction provisoirement du signe,

dz

Tt=py-g*.

Les autres équations se déduisent de celle-là par permuta* tions tournantes. On détermine ensuite le signe par une hypothèse simple, en faisant coïncider, par exemple, l'axe de rotalion avec Taxe OX, et en cherchant le sens du déplacement d'un point du corps situé sur Taxe OY.

Au fond le problème qu'on vient de traiter ne fait qu'un avec celui du § 185, et il n'est pas surprenant que la même démonstration fasse connaître la solution pour tous deux. On a démontré (g 184) que l'accélération complémentaire, dans le mouvement relatif, est le double de la vitesse de f extrémité de la droite qui représente la vitesse relative, quand elle subit la rotation u> autour de Vaxe instantané du système de comparaison.

La recherche des composantes de l'accélération complémentaire revient donc à la recherche des composantes de la vitesse d'un point qui fait partie d'un système solide assujetti à tourner autour d'un certain axe, c'esl-à-dire au problème traité dans le paragraphe précédent.

330. La notion de vitesse dans le mouvement d'un point se déduit de la comparaison du mouvement donné avec le mouvement rectiligne et uniforme qui, à un certain instant, en diffère le moins possible. De même, la notion d'accélération résulte de la comparaison entre le mouvement du point et le

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mouvement parabolique, uniformément varié en projection, qui serre de plus prés le mouvement considéré. On peut aller plus loin et généraliser ces définitions : imaginons qu'à partir d'un certain instant, pris pour origine, les fonctions du temps qui expriment les coordonnées du point mobile par rapport à trois axes fixes, soient développables en séries convergentes, ordonnées suivant les exposants croissants du temps /. On pourra imaginer le mouvement d'un point qui serait réglé par ces mômes séries, réduites aux termes d'un ordre déterminé et des ordres inférieurs; les divers coefficients des puissances de 1 conservées, ou, ce qui revient au même, les diverses dérivées des coordonnées par rapport au temps, feront connaître les accélérations des divers ordres. L'accélération, telle qu'elle a été définie, peut être regardée comme une vilesse du second ordre; elle a pour composantes suivant les axes

On dira de même que les dérivées du ri™ ordre,

tCx <Py tt*x dp' dp ' Jl»'

considérées comme dirigées respectivement suivant les trots aies, sont les composantes de V accélération de Fordre n — 1, ou de la vitette de l'ordre n.

Les théorèmes démontrés pour l'accélération simple s'étendent, moyennant certaines modifications, aux accélérations d'ordre supérieur. Nous en donnerons un exemple.

Considérons le mouvement d'un point, que nous rapporterons, à partir de l'époque t=Q, à trois axes rectangulaires particuliers, savoir la tangente h la trajectoire, prise dans le sens du mouvement, la normale principale dirigée vers le centre de courbure de la trajectoire, et la binormale, ou la perpendiculaire au plan osculateur. Si l'on développe les valeurs de x, y, % suivant les puissances de t, on aura trois

DES ACCÉLÉRATIONS D'ORDRE SUPÉRIEUR AU PREMIER. 5l5

équations de la forme

z = ait + aj* + atp+ + *»<" +

y= V + V + + Mn +

* = <tf3+ 4-^* +

a, est la vitesse, 2at et 26, sont la composante tangentielle et la composante normale de l'accélération, et z est du 3"* ordre au moins, puisque, suivant la binormale, il n'y a pas de composantes d'accélération ni de vitesse. Les accélérations de Tordre n — 1 auront respectivement pour composantes suivant les axes

— =n(n — 1) 3.2.1xaa,

tt*u

— j = n(fi — 1) 3.2.1x6g,

— = n(n — 1) 3.2.1 Xr„,

de sorte que ces composantes s'obtiendront en multipliant les coefficients an, frn, cn par le produit Ix2x3x...xn.

Or ces coefficients peuvent être déterminés, par la considération du mouvement lui-même, en fonction de l'écart entre la position exacte du point au bout du temps l, et la position que lui assigneraient les termes d'ordre n — 1 , pris seuls, c'està-dire la position qu'aurait le point soumis à la vitesse et aux accélérations d'ordre n— 2 au plus, que possède le point donné» Les composantes de cet écart projeté sur les 3 axes sont, en effet,

l = x — aâ* — aj* — ajr' — a„i*»-i = anln -}-

yj = y — bit* — bif — bn i/« - • = bHl* + ,

Ç = z — r5*s — r4** — cH - if* - l = cHl* +

Divisant par t*> et faisant ensuite tendre t vers zéro, il vient, à la limite,

an = lim. ^ , ^ = lim .£, rm = lim. £,

THÊOrHE DtS ESIJHESACES

nom ( = 0. Quand, dans ces équations, on fait n = 2, on retrouve la méthode qui nous a servi (g 02) à déterminer l'accéléra lion du premier ordre.

Les accélérations d'ordre supérieur oui été l'objet des recherches de plusieurs géomètres moilernes, qui ont été conduits à généraliser les théories connues de l'accélération dam le mouvement relatif et dans le mouvement épicycloidal. Ces résultats ont un intérêt théorique incontestable, mais ils paraissent appartenir plutôt â la géométrie ou à l'analyse qu'à la mécanique, laquelle réclame seulement, en général, l'emploi des accélérations du premier ordre, les seules que nous ayons considérées.

RELATION ENTRE LES RATONS DE COURBDRE DES DEDX PROFILS EN PRISE (g 220).