BEPRÉSEKTATIOM D'UN MOUVEMENT DASS L*ESPACE

44. Le mouvement d'un point dans l'espace est entièrement défini quand on connaît les projections de ce mouvement, faites sur trois directions fixes parallèlement à des plans donnés. Voici comment on procède pour donner cette définition d'un mouvement.

Par un point 0 de l'espace on mène trois droites fues OX, OY, OZ, non contenues dans un seul et même plan ; ces trois droites sont deux if

à deux dans un même plan, de sorte *>> ?'

que le choix arbitraire de ces trois axes v/lj 5- j

définit à la fois (rois droites 0X,0Y,0Z, j \ j

el trois plans YOZ, ZOX, XOY qu'on ap- \k M"~*'

pelle plans coordonnée. **%- tf'

Par un point quelconque M de l'es- y pace, menons trois plans, l'un parallèle Pig K,

à YOZ.'l'autreà ZOX, le troisième à XOY.

Le premier plan coupe l'axe OX en un point m, qui est la projection (parallèlement au plan fixe YOZ) du point M sur la

54 PROJECTIONS DIT mouveïest

droite OX. Il coupe les plans ZOX, XOY, suivant les droites wija', ron", respectivement parallèles à OZ et à OY. • Le second plan coupe Taxe OY en un point m', projection de M sur OY, parallèlement à ZOX; il coupe les plans XOY, YOZ, suivant les droiles m'y!*, m'[x, parallèles respectivement à OX et à OZ. Enfin, il coupe le premier plan suivant la droite M/', parallèle à Taxe OZ.

Le troisième plan coupe Taxe OZ au point ro\ projection de M sur OZ parallèlement à XOY ; il coupe les plans YOZ, ZOX, suivant les droites ro'V> r»V> respectivement parallèles à OY et à OX; et enfin, il rencontre les deux premiers plans suivant les droites M/, Mja, respectivement parallèles à OY et àOX.

Le solide compris sous ces trois plans et sous les trois plans fixes est un parallélépipède, et le point M, dans cette figure, est le sommet opposé à Vorigine 0. Les sommets tn, m', m*, situés sur les arêtes aboutissant au point 0, sont les projections du point M sur les axes ; les autres sommets p., j/, {/ , sont les projections du point M sur les trois plans fixes, parallèlement aux axes OX, OY, OZ, qui forment les intersections mutuelles de ces trois plans.

Si, à un instant donné, on fait connailre les distances Om, Oro', Om", de l'origine aux projections sur les trois axes d'un même point M de l'espace, on pourra en déduire la position correspondante de ce point. Il suffit pour cela d'achever le parallélépipède en menant par m, m'f m" des plans respectivement parallèles aux plans coordonnés. Ces trois plans se couperont en un point unique, qui sera le point cherché.

De môme, si l'on donnait les projections p/, p." du point M sur deux plans coordonnés, on obtiendrait le point M en menant par jjl' et y." des droites y! M, n" M, respectivement parallèles à OY et OZ : l'intersection de ces deux droites donne le point cherché. La position du point M est donc définie par ses projections sur deux plans coordonnés, tandis qu'elle ne peut être définie que par ses projections sur trois axes coordonnés. Hais il y a généralement avantage à employer en mécanique la

SUR TROIS AXES COORDONNÉS. 5j

triple projection sur les axes plutôt que la double projection sur les plans.

Non -seulement on ramène ainsi tous les mouvements à des mouvements rectilignes, mais encore les positions des projections m, m', m" du point M sur les axes sont complètement indépendantes les unes des autres, tandis que les projections yf, \f sur deux des plans coordonnés sont assujetties à une condition pour qu'elles correspondent à un point de l'espace, car elles doivent être toutes deux situées dans un plan parallèle au troisième plan coordonné1.

Remarquons encore que les distances Om, Om', Om", peuvent entrer dans les calculs avec l'un des signes -f- et — , suivant qu'elles sont portées sur les axes d'un côté ou de l'autre de l'origine 0; grâce h cette convention, à chaque point M de l'espace correspond une valeur bien déterminée, en grandeur et en signe, des trois distances Om, Om', Om" ; ces trois distances données en grandeur et en signe font donc connaître la position du point M sans aucune ambiguïté.

On désigne ordinairement par x la longueur Om, prise avec son signe et comptée sur l'axe OX; par y la longueur Om, prise sur l'axe OY, et par % la longueur Om", prise sur l'axe OZ . Ce sont les trois coordonnées du point mobile. Le mouvement du point M dans l'espace est entièrement défini si Ton donne les valeurs successives de x, de y et de % en fonction du temps t.

Quand le mouvement a lieu dans un plan, on peut prendre ce plan pour plan des XOY et y mener deux droites OX, OY, qui seront deux des axes coordonnés. Le troisième axe OZ sera dirigé en dehors du plan, et comme le point mobile ne sort pas de ce plan, sa coordonnée % sera constamment nulle. Il n'y a donc, dans ce cas particulier, que deux coordonnées variables, x et y, et il suffit pour définir le mouvement de donner leurs valeurs successives en fonction du temps t.

1 C'est la condition que l'on rencontre en géométrie descriptive , et en vertu de laquelle les projections d'un môme point, dans toute épure, doivent être situées m une même perpendiculaire i la liane de terre.