Mouvement relatif de deux planètes

Nous supposerons, pour simplifier le problême, que les planètes décrivent autour du soleil, d'un mouvement uniforme, et dans le même sens, des cercles concentriques et situés dans un même plan, et que le soleil occupe le centre commun de ces cercles.

Les vitesses des deux planètes sur leurs trajectoires sont liées entre elles par la troisième loi de Kepler : « Les carrés des temps des révolutions sont comme les cubes des grands axes, » ou ici, comme les cubes des rayons.

Soit donc S le soleil, supposé fixe (fig. 66) ; T une planète, la Terre, par exemple, à la distance ST=a, du soleil ; M une autre planète, à la distance SM=a\

Appelons t et V les temps que les planètes T et M mettent à faire le tour entier des cercles qui leur servent de trajectoire.

La vitesse de la planète T sera

-^~, et la vitesse de M, — ;-.

Or, en vertu de la loi de Kepler qui vient d'être citée 9 nous avons la proportion

Donc

Fig. CC.

et par suite

(xL

=îxÇ=îxJï;=1/î.

Les vitesses sont donc entre elles en raison inverse des racines carrées des rayons des orbites.

Supposons que les deux planètes partent ensemble d'une conjonction, c'est-à-dire des positions T et M, situées sur une même droite passant par le soleil, et du môme côté du soleil sur cette droite.

Au bout de la durée ^ d'une demi-révolulion, la terre parvient en Tâ, au point opposé de son orbite ; la planète M aura, pendant ce temps, décrit un certain arc, MMÂ, sur sa trajectoire; les arcs MM4, TT4> décrits dans le môme temps et chacun avec une vitesse uniforme, sont entre eux comme les vitesses des mobiles, c'est-à-dire comme \a csihfâ; on aura donc

arc MM, \fa