TRAJECTOIRE

core, pour que le mouvement du point soit entièrement connu, que l'on sache à quel instant s'effectue le passage du mobile aux divers points géométriques delà trajectoire. Supposons, par exemple, que la ligne MN soit la trajectoire d'un point mobile, et qu'à un moment qneln^--"^" conque le mobile ait été observé au V^ point À; qu'une seconde après il ait

/été observé en B ; qu'une seconde plus tard il ait été vu en C ; qu'an bout de trois secondes, il ait passé au point F'E' *' L>, et ainsi de suite de seconde en se-

conde ; la position du mobile sur la trajectoire sera connue, et la loi du mouvement sera définie approximativement, par le tableau des espaces successivement parcourus, AB, BC, CD,... pendant les intervalles de temps qui se sont écoulés d'une observation à l'observation suivante. On peu! prendre ces intervalles assez petits, pour que l'approximation soit équivalente, au point de -vue pratique, à la connaissance complète de la loi cherchée.

Tur exemple, si MN est un chemin de fer, et que les points A, B, C, D, en soient les stations successives, le mouvement des trains qui parcourent la ligne dans un sens ou dans l'autre est en général suffisamment défini par les lahleaux donnant l'heure du passage du train à ces diverses stations. 8. Supposons qu'un mobile parcoure une trajectoire donnée MN ; on définit son mouvement de la manière suivante : on commence par choisir arbitrairement sur la trajectoire un point géométrique fixe 0, qui sert d'ori-

. fc--*-" Qtne-> e* ° Par'ir duquel on compte les

' V"^ longueurs des arcs de la courbe; la

/ position d'un point quelconque A de la

"' ligne MN est déterminée par la lon-

' gueur de l'arc OA. On convient de plus

de distinguer par les signes H- ou — les arcs portés à partir de l'origine 0 dans un sens ou dans l'autre; les arcs positifs .eront comptés par exemple dans le sensOA, et les arcs né-

ÉQUATION DU MOUVEMEKT. 9

gatifs dans le sens OM. Une longueur affectée de l'un des signes 4- ou — définit donc un point de la courbe et un seul. Appelons d'une manière générale * un arc variable issu du point 0. A chaque position du mobile sur la ligne MN correspond une valeur particulière de «, positive ou négative; le mouvement sera entièrement déterminé si l'on donne les valeurs successives que prend cet arc variable s dans la suite des temps, ou, pour parler le langage de l'analyse, si Von exprime Tare s en fonction du temps t.

Le mouvement d'un point sur sa trajectoire, supposée connue, s'exprime donc analytiquement par une équation de la forme

et la nature de ce mouvement est entièrement déterminée par la forme de la fonction/*.

9. Prenons pour exemple un mouvement circulaire, dont la loi soit exprimée par la relation

s = at, (1)

a étant un nombre constant que l'on suppose connu. Soit C le centre du cercle qui sert de trajectoire au mobile, 0 l'origine des arcs, que l'on comptera positivement dans le sens OA, et négativement dans le sens opposé. Si l'on fait t = 0, l'équation (1) donne * = 0, ce qui correspond au point 0 lui-môme. On voit donc que pour t = 0, ou comme on dit, à V origine des temps, le mobile est au point 0, ou à V origine des arcs. Si Ton donne à t des valeurs positives croissantes, et que le nombre a soit positif, * sera positif, et ira croissant. Le mobile se déplace donc sur la circonférence dans le sens OA. Cherchons le moment du passage du mobile au point B, seconde extrémité du diamètre mené par le point 0. Désignons par R le rayon du cercle, et soit x le rapport de la circonférence au diamètre. L'arc OAB, qui est

égal à une demi-circonférence, aura pour longueur Rxx; la durée (' du trajet du mobile de 0 en B sera donc donnée par l'équation

On en déduit

Le mobile, après avoir passé au point B, parcourt la demicirconférence BDO, et revient passer au point 0; la valeur particulière du temps, I", pour laquelle a lieu ce second passage, sera donnée par l'équation

c'est-à-dire

On voit que I" est double de (', de sorte que le mobile met autant de temps à aller de B en 0 qu'il en a mis à aller de 0 en B. A partir du retour au point 0, le mobile fera une seconde fois le tour du cercle, en y mettant autant de temps qu'il BO a mis à faire le premier tour, et ainsi de suite indéfiniment, tes valeurs négatives de/ correspondraient aux tours qui auraient précédé celui que nous avons regardé tout a l'heure comme le premier; enfin si a était un nombre négatif, le mouvement du mobile s'effectuerait dans le sens OD, au Heu du sens OA, que nous avons regardé comme le sens positif.

Proposons-nous de déterminer le nombre a par l'observation du mouvement; nous évaluerons à l'aide d'un chronomètre le temps T que le mobile met à parcourir la circonférence entière OABDO, et nous aurons l'égalité

UNIFORME

Substituons cette valeur de a dans l'équation du mouvement, il viendra

ou bien encore

*jiB"~f

Cetle équation n'est autre chose qu'une proportion, ou une égalité de rapports : les arcs s et 2icR sont entre eux comme les temps t et T que le mobile met à les parcourir; en temps égaux, le mobile parcourt donc des arcs égaux, ce qu'on exprime en disant que le mouvement est unifome.