T ; =COS0.A
et enfin
iK\ ***** < ljC * A A/1
(5 — r^ = -j-&r — COS0.A0.
«a* de
Les formules (4) et (5) permettront ainsi d'exprimer d s et A0 en fonctions de S, et S 9 .
Soient maintenant
(0, 0') le centre de la directrice ;
(A, A') l'extrémité extérieure du petit axe de la courbe moyenne de la section ;
(M', M) (M", M) deux points de cette ligne symétrique par rapport à (OA, O'A');
OM, une section normale à la directrice infiniment voisine de OA' et faisant avec cette dernière l'angle rfcp.
N 4 , T*, S*les composantes élastiques par unité de surface développées dans les sections projetées verticalement suivant M'C, M"C, et limitées par les plans OM, OM»; la première de ces composantes est normale aux mêmes faces, la seconde est dirigée vers le point C, et la troisième est perpendiculaire au plan vertical de projection.
D'après ce que nous avons vu plus haut, N a a la même va-
leur pour deux éléments correspondants des deux faces OM, OM t .
En exprimant que la somme des projections, sur une perpendiculaire à OA, des forces que sollicite le volume (M'M", MMi) est nulle, on trouve
Concevons maintenant dans le volume précédent un élément déterminé par la face a'a\ correspondant au point M', normale au plan vertical OM, et par une face semblable aa t infiniment voisine de la précédente, et soit P' le centre de courbure en M' de la courbe moyenne ; on a
a?' a' = dB = — •
La face a'a\ et son opposée aa t sont respectivement sollicitées par les forces normales — N a edo-, N a erf<7. Les composantes normales aux faces projetées en a'a\ , aa { sont
— N ô e ( r H- x) dy , N b e ( r h- x) dy H *-ij — dvdv,
et les composantes tangentielles correspondantes
— T b e[r-ï- x)dy, T ô e(r H- x)dy -+- ^ dvdy.
ad
Enfin la pression p donne la composante p(r-+- x)dyd<j 9 que Ton peut considérer comme dirigée suivant M'P'.
En exprimant que les sommes des projections des forces qui sollicitent l'élément de volume, sur P'a', et la normale à la face a'd l sont nulles, on trouve, après avoir supprimé le facteur commun dady,
dT, (r -+- x) __ p, . N A (r-t-.r)
dS è (r + x) + T b (r + x) = q .
dn p '
mais on a Na = Ed*, et ces équations deviennent par suite, en
ayant égard à la valeur (2) de N„,
^*)Efr + *)^
( 7 ) Er/fr-4-x)^ . T,(rH-.r) = q
Les moments des couples élastiques développés dans les faces a' d x9 aa { ayant respectivement pour valeurs
US
x)dv, — (r-h^)-^H ; — dtj 7
il vient, en prenant les moments de Taxe projeté en M',
OU
v ' îîè^ ' p * v '
Nous avons ainsi les cinq équations différentielles du premier ordre (4), (5), (6), (7), (8) entre les inconnues S r , A0, <$„ i v T*, en y considérant d r comme une constante. Les cinq constantes introduites par l'intégration, en admettant qu'elle puisse se faire, se détermineront par les conditions A0 = o, Ti = o pour Q = o, 6 = t:, et, vu la forme de l'équation (5), par cette autre condition que d x reste fini pour x — o. La formule (3) permettra ensuite de déterminer S r . Si l'on met chacune des inconnues 8 Xf A0, § a , d v Ta sous la
forme u £- et que l'on pose
k étant une constante, les équations (2), (3) et (8) deviendront indépendantes de —-? de sorte qu'il en sera de même
de A*.
On voit ainsi que l'accroissement relatif du rayon r varie
proportionnellement à la pression effective et en raison inverse de l'épaisseur du tube.
Dans les manomètres-étalons, le tube est très-aplati dans le sens de A' A", et le rapport du petit axe du profil à r n'atteint pas tj. Si donc, comme approximation, on néglige devant
l'unité - et — > qui est aussi une petite fractionnes équations
établies plus haut, que nous désignerons par les mêmes chiffres, mais affectés d'un accent, deviendront
dx$„
djr
— cosô
Erf».
Ee 2 d
et l'on voit ainsi que tous les éléments de la question sont indépendants de r.
Pour nous faire une idée de la sensibilité du manomètre, assimilons son profil à un rectangle, dont le petit et le long côté auraient respectivement pour longueurs 20 et 26.
Pour chacun des petits côtés, on a jr= b, = 90 , p = 00 , rf<7 = — dx. Les équations (5') et (7') sont vérifiées par ô x = const., ce qui nous suffit. Désignant par jx cette constante, la partie de l'intégrale de l'équation (3') relative aux deux petits côtés aura pour valeur
Ja
a?dx = jf*tf\
Pour le long côté extérieur, on a x = a, a = y> = o, p = ao ;
d'où
dy
(7") S r = const.
v 12 df b
Des équations (6") et (S") on tire, en se rappelant que Ton a Ta rr o, A0 = o pour y — o,
— wtfï**')
C étant une constante arbitraire.
Mais on peut considérer sans grande erreur le mode d'agencement de deux côtés consécutifs comme réalisant un encastrement; de sorte que Ton a A0 = o pour y = b, par suite
et l'équation (5") donne enfin, en désignant par C une autre constante arbitraire,
et, comme on doit avoir $ x = p. pour j = 6, il vient
Si nous considérons le long côté intérieur, la valeur de <$, s'obtiendra en changeant dans la précédente a en — a. Pour une même ordonnée, la somme de ces deux dilatations étant égale à a /a, la portion de l'intégrale de la formule (3') donnée iv. 14
par les deux longs côlés est
a*ti I dy = 4na*b.
Il vient donc
l* r =ipà'(b + Ç)
Il nous reste maintenant à calculer fx. Supposons à cet effet que M' et M" viennent respectivement en B' et B"; r étant censé très-grand par rapport à a, on peut considérer les plans OM, OMi comme étant parallèles. Les actions élastiques normales en B et B' ayant pour valeur Ererfcp^, on a, en exprimant que leur résultante est égale à celle des pressions élémentaires,
iprbdf — lErep,
d'où
pb
D'ailleurs on a
<* = ÊV
I = ia 2 b -+- ~dr\
par suite
Ainsi la longueur des petits côtés n'a aucune influence sur la variation <5 r ; par suite, la stabilité de l'instrument sera d'autant plus grande que le grand axe du profil sera lui-même plus grand.
Cherchons maintenant à tenir compte de l'influence delà température sur le jeu du manomètre. Les surfaces intérieure et extérieure du tube se trouvant respectivement aux températures / et t a de l'eau de la chaudière et de l'air ambiant, sa
température moyenne est ; mais l'influence de la dila-
tation sur l'instrument est due seulement à l'excès
que nous désignerons par r. En appelant <x le coefficient de dilatation du métal qui constitue le tube, m et n deux coefficients censés connus dépendant des éléments dont nous nous
DBS CHAUDIÈRES A VAPEUR. 211
sommes occupé plus haut, nous pourrons poser
$ r = mp -h ar, $ t = np h- ar.
Soient / et ^ la longueur et l'angle au centre du tube à l'état naturel, c'est-à-dire à la température t et sous une pression effective nulle; l'angle ty pourra être supérieur à 277 si la courbe directrice du tube affecte la forme d'une hélice d'un faible pas; d* la réduction relative que subit ty lorsque la chaudière est mise en pression ; nous aurons
d'où, en négligeant le carré des termes affectés de la caractéristique S,
Soient [fig. 108)
Fig. 108.
C le centre de l'arc de cercle directeur à l'état naturel ;
B l'extrémité de cet arc ;
A sa naissance ;
C, B' les positions que prennent les points C et B sous l'action de la pression p.
Joignons BB' et abaissons les perpendiculaires BF et CÇr sur
C'B'; nous avons
CC' = r$ r7 r(i -h * r ) = C'B' = C'G -+- GF -h FB' = r$ r co$^ +r-h FB',
d'où
FB' = arsin'^ r ;
puis d'x)ù
FB = CG - CB cos GCB = rS r sinty - r+* + ;
tangBB'C =
sin-J/ — ^ £
2Sin 2 -
BB'=rW4sin 4 |^-H(^sin^-^(y (îl ) î .
Si Ton néglige l'influence de la température, l'angle BB'C, comme le rapport ~* est indépendant de la pression; le lieu
Or
géométrique des points B' est sensiblement une droite pour l'étendue considérée. Pour plus de simplicité, plaçons-nous dans cette hypothèse.
Dans les manomètres-étalons, l'axe de l'aiguille se trouve en un point I de CA très-voisin de A; une manivelle ID' vient s'articuler en une bielle D'B'. Si B' se déplace, le centre instantané de rotation de la bielle se trouve à l'intersection Kde la direction de ID' et de la perpendiculaire élevée en B'à BB', et uneconstruction graphique permet de déterminer le déplacement de l'aiguille; mais nous laisserons là ces détails, qui nous ont déjà conduit plus loin que nous ne le désirerions.
44. Des épreuves des chaudières. — Pour s'assurer de la bonne construction et de la qualité des matériaux employés, on fait subir une épreuve préalable aux chaudières en les soumettant à une pression supérieure au maximum qu'elles doivent supporter, maximum dont le chiffre est indiqué sur une rondelle en cuivre fixée, sur une partie apparente du générateur, par trois clous à tête noyée qui reçoivent l'empreinte d'un poinçon administratif.
D'après le décret du 9.5 janvier i865, la pression d'épreuve intérieure est le double de la pression effective, qui est la différence entre la pression maximum qui doit être autorisée et la pression atmosphérique, lorsque le maximum est compris
entre 7 et 6 kilogrammes par centimètre carré de surface. Si la pression effective est inférieure à 7 kilogramme ou supérieure à 6 kilogrammes, la charge d'épreuve est de 7 kilogramme ou de 6 kilogrammes. Quant aux motifs qui ont amené ces deux restrictions, on serait très-embarrassé de les donner.
Le numéro du timbre indique le chiffre de la pression intérieure exprimée en kilogrammes par centimètre carré. Autrefois (ordonnance du 12 mai 184 3) ce chiffre exprimait le nombre d'atmosphères. Cette innovation n'est pas heureuse; le praticien apprécie mieux la pression exprimée en atmosphères que son expression en kilogrammes par centimètre carré.
L'épreuve se fait en refoulant par une pompe de l'eau dans la chaudière et est terminée quand la pression d'épreuve est atteinte ; cette pression est indiquée soit par un manomètre, soit par une soupape chargée en conséquence.
L'épreuve est très-utile pour faire apparaître les imperfections dans l'assemblage des feuilles de tôle, que l'on rectifie par un maltage, et pour donner aux parties adjacentes au clouage leur forme définitive.
On comprend pourquoi, au point de vue de la sécurité, on prend un liquide incompressible pour obtenir la pression d'épreuve ; la moindre fissure fait immédiatement tomber la pression, et, en cas de rupture, on n'a pas à redouter les effets de détente ou de production de vapeur qui se produiraient si l'on employait un gaz ou si l'on vaporisait un liquide.
45. Catégories des chaudières. — Il est évident que les conséquences d'une explosion doivent être d'autant plus graves, toutes choses égales d'ailleurs, que le volume de la chaudière et la pression intérieure sont plus considérables. Aussi a-t-on cru devoir classer les générateurs en trois catégories, soumises chacune à des règles spéciales en vue de limiter les désastres qui peuvent entraîner une explosion.
Soient V le volume d'une chaudière estimé en mètres cubes; n le numéro du timbre exprimé en kilogrammes.
D'après le décret du 25 janvier i865, les chaudières de la première catégorie sont définies par la condition
2l4 SIXIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
elles doivent être placées en dehors de toute maison d'habitation et de tout atelier surmonté d'étages, et à un minimum de distance de 3 mètres des maisons d'habitation. Si cette distance est comprise entre 3 et 10 mètres, le prolongement de Taxe de la chaudière ne doit pas rencontrer la maison ou ne peut rencontrer un mur de la maison que sous un angle inférieur à i5 degrés. Lorsque les conditions précédentes ne sont pas remplies, on est tenu d'établir un mur de défense d'un mètre d'épaisseur au moins, distant de o m ,3o du fourneau et du mur de la maison voisine. La hauteur de ce mur sera de i mètre au-dessus du fourneau, lorsque la distance sera comprise entre o m ,3o et 3 mètres, et en proportion sans pouvoir excéder i mètres, si la distance est supérieure à 3 mètres. Les limites 3 mètres et io mètres sont réduites de moitié lorsque la partie supérieure de la chaudière est à i mètre en contre-bas du sol du côté de la maison voisine. Une chaudière appartient à la seconde catégorie lorsque
Elle peut être placée dans un atelier, pourvu qu'il ne fasse pas partie d'une maison habitée par le manufacturier, sa famille et ses employés. Le fourneau doit être situé à une distance minimum de i mètre des maisons des tiers.
Lorsque
la chaudière est de la troisième catégorie et n'est assujettie qu'à la condition que son fourneau soit distant de o m ,5oau moins des maisons des tiers.
Les fourneaux des chaudières de la deuxième et de la troisième catégorie doivent être respectivement séparés des maisons d'habitation appartenant à des tiers par des intervalles de i mètre eto m ,5o.
La classification ci-dessus est-elle logique? Non. En effet, une chaudière en fonction n'est qu'un réservoir de chaleur, chaleur qui peut se transformer plus ou moins rapidement en travail ou en force vive. Le danger que la chaudière présente
DES CHAUDIÈRES A TAPEUR. 2l5
doit donc êlre en raison de ce travail, qui n'est pas représenté par V( /i 4- i); cette expression n'est en effet que proportionnelle au travail que développerait la vapeur à la pression n -h i, agissant sur un piston qui engendrerait le volume V. Soient
U le volume occupé par l'eau ; W = V — U le volume occupé par la vapeur ; / la température dans la chaudière;
p t le poids spécifique de la vapeur saturée à cette température ; c la chaleur spécifique de l'eau à t°.
La quantité de chaleur renfermée dans la chaudière est
U/iooo k * -4- Wp,(6o6,5 h- o,3o5/).
En raison de la pression atmosphérique, si /=ioo°, la chaudière ne présentera pas de danger; de sorte que la quantité de chaleur disponible pour produire des dégâts ne peut êlre que
ioooU(/-ioo°)-f-W6o6,5(p f -p 100 )-+-Wo,3o5(^/- ioop 100 ).
Si Ton se borne au terme principal de cette expression, devant lequel les autres sont très-petits, elle se réduit à
et Ton obtiendra le travail correspondant exprimé en chevaux
425 kgm
en la multipliant par -— - ~— ? ce qui donne
567° U(T— ioo).
Quoique, en général, il n'y ait qu'une faible partie de ce travail employé à détruire, la catégorie d'une chaudière doit être logiquemerttdéfinie par la valeur numérique de U (/ — ioo), ou tout simplement par Y [t — ioo), en négligeant W devant V. Nous proposerions en conséquence la classification suivante :
i re catégorie V(T-ioo) >65o;
2 e catégorie V(T - ioo)i< 65 °fi
3 e catégorie V(T — ioo) < 220.
2l6 SIXIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
Les machines locomobiles ne peuvent fonctionner qu'a 5 mètres des maisons d'habitation.
Les locomotives doivent être munies d'un permis de circu lation délivré par les préfets des départements.
§ V. — De la résistance des chaudières.
46. Résistance d'un cylindre creux soumis à des pressions uniformes extérieure et intérieure. — Soient
D le rayon moyen de l'enveloppe cylindrique ;
e son épaisseur;
P, P' les pressions intérieure et extérieure, rapportées à l'unité
de surface, auxquelles elles sont soumises.
i° Tendance à la rupture suivant un parallèle, lorsque le cylindre est fermé aux deux bouts. — Concevons une section perpendiculaire à l'axe de la pièce et soit F l'effort maximum que l'on veut faire supporter par unité de surface à cette seclion; la résistance totale longitudinale sera
r' j T(D -h cf - (D - ef\ = Y'nVe.
et doit être égale à la résultante de pressions exercées sur l'axe des deux fonds de la capacité, ce qui donne, en supposant que P>P', pour fixer les idées,
T'nVe = P ^ (D - ef - P' - t (D +- e) 7 4 4
ou
formule d'où l'on déduira e, et qui pourra s'appliquer à
tous les cas, notamment au calcul des épaisseurs des âmes des
armes à feu.
Mais, dans les applications aux générateurs à vapeur, les
e P ± P' rapports ^> — =^r~ sonl toujours assez petits pour que l'on
puisse les négliger devant l'unité ; de sorte qu'il suffit de
BBS CHAUDIÈRES À VAPEUR. 217
s'en tenir à la formule approximative
4r'c=(P-P')D, d'où
Si la pression extérieure était supérieure à la pression intérieure, il suffirait évidemment d'intervertir P et P', et de supposer que F est relatif à la compression de la matière, au lieu de l'être à la traction.
2 Tendance à la rupture suivant un plan méridien, dans V hypothèse où le cylindre est très-long par rapport à son diamètre. — Supposons que la capacité soit suffisamment longue pour que Ton puisse considérer comme négligeable l'influence, sur sa déformation, des conditions relatives à ses extrémités, soit des fonds qui la terminent s'il s'agit d'une chaudière ou d'un bouilleur, soit du mode d'assujettissement des tubes dans les fonds du foyer et de la boîte à fumée dans le cas d'une chaudière tubulaire.
Appelons T la tension maximum élastique que doit développer la matière dans une section méridienne. Si cette matière a été laminée ou étirée, la limite supérieure de T' sera supérieure ou inférieure à celle de T, selon que le laminage sera parallèle ou perpendiculaire aux génératrices du cylindre.
Comme toutes les molécules de l'enveloppe situées primitivement dans un même plan méridien restent dans ce plan lors de la mise en pression, il ne se produit dans la pièce aucun effet de flexion, et, comme elle reste cylindrique, il n'y a pas de glissement dans les sections méridiennes et parallèles.
Soit N l'intensité des résultantes élastiques normales dans les sections faites, par un plan méridien, dans l'épaisseur d'un tronçon de la capacité limité par deux parallèles distants l'un de l'autre de i mètre.
On a, en supposant P > P' ,
Comme il faut que N soit au plus égal à Te, on pourra
2l8 SIXIÈME TARTIE. — CHAPITRE III.
prendre
ezz <iV -i- P-+-P'
ou tout simplement
attendu que — — est toujours une petite fraction.
Dans le cas oii Ton aurait P < P', on intervertirait Tordre de P et P' dans celte formule, et T serait alors relatif à la rupture par écrasement au lieu de l'être à l'extension.
Quelles que soient les circonstances qui se présentent, le maximum 2.T est toujours bien inférieur à celui 4T' ; de sorte que, pour avoir toute la sécurité voulue, l'épaisseur e devra être calculée au moyen de la formule (2).
On fait encore usage de celte même formule dans les applications, lors même que la longueur de la pièce n'est pas trèsgrande par rapport à son diamètre; l'expérience a démontré, en effet, qu'elle donnait encore, dans ce cas, des résultats satisfaisants. Nous verrons plus loin comment on peut traiter complètement la question, en faisant entrer en ligne de compte les efforts de glissement développés dans chaque section méridienne, efforts qui croissent à mesure que l'on s'éloigne du milieu de cette section où ils sont nuls.
Supposons qu'il s'agisse d'un tube de chaudière tubulaire, et soit n le nombre d'atmosphères représentant la pression extérieure; on devra, dans la formule
(P-P')D e= a r ' supposer
F = io333.w, P = io333, d'où
, n . io333 . D
Cette dernière formule s'appliquera encore au cas des tubes à circulation d'eau de la chaudière de M. Guillemin, dont nous nous occuperons plus tard, en supposant que T se rapportée la traction et non à la compression.
DES CHAUDIÈRES A VAPEUR. 2ig
Pour les tubes en fer, on pourra prendre, pour avoir une
grande sécurité,
d'où, en estimant e en millimètres et D en mètres,
Pour les tubes en laiton, nous prendrons
r = io 6 x 2, d'où
47. Épaisseur que doit avoir un corps cylindrique ou un bouilleur, en ayant égard à la clouure. — Soient d la distance des axes de deux rivets consécutifs; A le diamètre des rivets.
En mettant la chaudière en pression, il tend à se former un vide entre la tête intérieure des rivets et la tôle, qui n'exerce en définitive des pressions que sur la tête extérieure ; on peut, sans erreur sensible, considérer ces pressions comme étant uniformément réparties sur la circonférence de la tête extérieure.
Considérons comme isolé le tronçon déterminé parles sections de la chaudière passant par les axes de deux rivets consécutifs.
En négligeant^ devant l'unité, on reconnaît, en raisonnant
comme plus haut, que la résultante des pressions intérieure et extérieure, sur une section méridienne du tronçon, suffisamment éloignée de la ligne de rivets, est
io333(/ï — i) -d.
Cette force, en raison du vide dont nous avons parlé plus haut, fait équilibre à la résultante élastique Te(d — A), développée dans la section méridienne du tronçon passant par les axes des rivets et qui, toutes choses égales d'ailleurs, fatigue plus que toutes les autres sections méridiennes. Il faut donc que Ton ait
Te (d -■ A) = io333 [n — i) -d,
//X io333 , x D
Pour obtenir une sécurité convenable, il faut attribuer au
A rapport -. sa valeur maximum -}, ce qui donne
48. Chaudières en tôle de fer. — En faisant seulement travailler la matière à raison de 3 kilogrammes par millimètre carré pour avoir une grande sécurité, nous poserons r=io € x6; et, en évaluant e en millimètres et forçant le chiffre des dixièmes, on trouve
D'après l'ordonnance du 22 mai 1843, abrogée par le décret du 25 janvier i865, on devait employer la formule
(6') <?= i,8(*-i)Dh-3,
qui ne diffère de la précédente que par l'introduction de la constante 3 ('). Celte constante a été introduite en vue de l'usure, et de reculer l'époque d'une réparation importante, en prévision des fuites qui corrodent rapidement la tôle; mais on a reconnu par expérience qu'il n'y avait pas lieu d'en tenir compte.
49. Chaudières en tôle d'acier. — L'idée de substituer la tôle d'acier à celle de fer, dans la construction des chaudières, est récente, et la pratique n'a pas encore dit son dernier mot sur cette innovation, qui a principalement reçu son application dans les locomotives.
La résistance à la rupture de l'acier, de qualité convenable, est, il est vrai, supérieure au double de celle des fers puddlés, les seuls qui, à notre avis, pour des motifs qui ne doivent pas trouver place ici, sont les seuls que Ton doive employer.
(') D'après la même ordonnance, l'épaisseur de la tôle ne devrait pas dépasser i5 millimètres, mesure très-sage, attendu qu'au delà d'une certaine épaisseur il arrive généralement que la soudure des éléments du milieu laisse à désirer, ce qui rend la tôle défectueuse.
De sorte que, à la rigueur, la substitution de l'acier au fer pourrait conduire à une économie de 5o pour ioo sur le poids; mais, comme la tôle d'acier coûte au moins le double de la tôle de fer, on voit qu'il ne peut y avoir aucune différence sensible au point de vue de la dépense première.
D'autre part, la différence de poids pour une machine fixe ne signifie rien; à plus forte raison pour les locomotives qui doivent avoir un poids déterminé; peu importe donc que, dans ce dernier cas, on reporte le poids sur la chaudière otr le châssis, etc.
Il ne paraît pas d'ailleurs, jusqu'à ce jour, que l'on ait pu obtenir une grande régularité dans la quantité des tôles en acier (nécessairement puddlées); cette appréciation est conforme aux dires de certains machinistes des compagnies de chemins de fer qui, en constatant certains accidents dont quelques-uns de leurs camarades ont été victimes, ont qualifié d'explosibles les chaudières en tôles d'acier.
Nous pensons, en conséquence, qu'il y a lieu d'en rester à l'ancien système en tôle de fer.
50. Chaudières en cuivre rouge. — Ces chaudières sont maintenant très-rarement employées et encore ne le sontelles que dans quelques petites industries spéciales, n'exigeant que des régénérateurs de peu de volume.
Ici on peut supposer I 1 — 4« IO % el l° n a > au ^ eu de ' a f° r ~ mule (6),
51. Cisaillement. — Le glissement de la tôle doit atteindre son maximum en ses points de contact avec les rivets sur la ligne de leurs axes.
Considérons la portion d'une feuille de tôle limitée par son bord et par deux sections transversales de la chaudière tangentes à un rivet, à partir de leurs points de contact; désignons par a la distance minimum du rivet au bord de la feuille, et estimons, comme on le fait d'habitude, à {T l'effort maximum que l'on doit faire supporter à la matière dans sa tendance au glissement.
La résultante de la résistance au glissement dans les deux sections sera
comme elle est égale à io333 (n — i) d f il vient
r*(- -r-sA^ io333(/i-i)5rf
ou
— ha
Si Ton remplace le second membre de cette équation par l'épaisseur e à laquelle il est au plus égal, on ne peut obtenir pour a qu'une valeur un peu forte, ce qui augmente la sécurité. On a ainsi
11 convient ici (12) d'estimer d à son maximum 2,5A, ce qui donne
(9) ar=A ir' soita = 2î
mais, comme on prend généralement a = A, on n'a pas à redouter de rupture par cisaillement, ce qui d'ailleurs est conforme aux faits observés.
Nous n'avons pas à nous arrêter aux conditions de résistance relatives aux rivets des bords circulaires des viroles; car il est visible, d'après ce que nous avons vu plus haut, qu'elles conduiraient à une épaisseur inférieure à celle qui est donnée par la formule (4)«
5%. Diamètre des rivets. — Lorsque la chaudière est mise en pression, les axes de deux trous correspondants se déplacent légèrement dans le plan transversal de la chaudière, et la queue des rivets ne s'appuie pour ainsi dire contre la tôle que
vers deux sommets opposés en diagonale A et A' (Jig. 109).
Fig. 109.
1 !" YM
Les tôles superposées sont sollicitées respectivement par deux forces de directions contraires, q, — q, égales à
io333(« — i)-d,
agissant suivant leurs milieux; en A, A', le rivet exerce sur les tôles deux efforts opposés Q, — Q, égaux entre eux, en raison de la symétrie. Les deux couples (Q, — Q), [q, — q) se font équilibre; mais, le premier ayant un bras de levier doublede celui du second, on a
Q = ?= io333(/?-i)^.
Soit Y" l'effort maximum que Ton devrait faire subir, par extension, à une pièce formée de la matière du rivet; pour nous trouver dans les mêmes conditions relativement au cisaillement, nous estimerons à -fT" l'effort tranchant maximum par unité de surface, et nous aurons
A 2 £ „„ io333 , , ,
OU
5rf-A
io333(* — 1) D ,£.
r(rf-A) 2 r" ;
on pourra (48) remplacer le coefficient de ™ par l'épaisseur e, à laquelle il est au plus égal ; de sorte qu'il vient
Pour ne pas s'exposer à obtenir pour A une valeur trop faible,
il convient, dans cette formule, d'estimer le rapport -r-à son maximum ?,,5, ce qui donne
Comme on prend toujours pour les rivets des fers d'une qualité supérieure à celle des tôles, ainsi qu'on Ta fait remarquer plus haut, nous obtiendrons pour A une valeur plus forte que faible, en supposant r = r", d'où
La formule
(ia) A= i,3 . e
donnerait des résultats se rapprochant plus des chiffres admis en pratique pour les différentes épaisseurs de tôle de fer. Pour les chaudières en acier, T" est inférieur à T, et il sera
bon de supposer ^ = -> d'où
53. Remarque relative aux chaudières sphériques. — On a employé autrefois des chaudières sphériques en tôle de fer et de cuivre, composées de tronçons de fuseaux rivés entre eux.
Une sphère creuse, homogène, soumise à des pressions intérieure et extérieure, ne pouvant se rompre que suivant un grand cercle, son épaisseur doit être calculée d'après la formule (i), qui donne un résultat peu différent de la moitié de celui qui résulte de l'application de la formule (2).
Il résulte de cette considération que l'excès de l'épaisseur sur la constance d'usure, si on l'admet, d'une chaudière sphérique, doit être moitié moindre que pour une chaudière cylindrique de même diamètre et soumise à la même pression intérieure.
54. Cuissards. — L'épaisseur des cuissards en tôle est celle d'un corps cylindrique de même diamètre, soumis à la même pression intérieure.
DBS CHAUDIÈRES A VAPEUR.
55. Equilibre d* élasticité d'une enveloppe très-mince limitée par deux surfaces de révolution équidistantes soumises chacune à une pression uniforme. — En raison de la petitesse supposée de l'épaisseur e« de l'enveloppe, on peut admettre que l'enveloppe est soumise à l'action de la différence p des pressions extérieure et intérieure, uniformément répartie sur la surface moyenne ou équidistante des deux surfaces limites.
Soient [Jig. no)
Fig. no.
G A+rfA
0/ Taxe de révolution, censé vertical pour fixer les idées;
Je sommet de la surface moyenne ;
Oab ou Oa! b' deux sections méridiennes de cette surface faisant entre elles un angle infiniment petit d9;
0a(3 le plan bissecteur de cet angle ;
Ox la tangente en à la section qu'il détermine dans la surface moyenne;
x, y les coordonnées du point a de celte section à l'état naturel ;
x -h dx 9 y -*-dy celles du point (3 de la même courbe infiniment voisin de a;
a(3 = ds ;
