IV. i
<p l'angle «10 formé par la normale en a. avec Ox;
p 0t p les rayons de courbure en a avant et après la déformation
due à la pression p ; X, 1' les dilatations au même point a, suivant la méridienne et
le parallèle; £ le coefficient d'élasticité de la matière.
Nous désignerons par la caractéristique <$ les déplacements résultant de l'action de la pression p sur l'enveloppe, et nous négligerons, comme on le fait d'habitude, les puissances, supérieures à la première, des termes affectés de celte caractéristique.
On a
Deux molécules primitivement situées sur un même parallèle de la surface moyenne devant évidemment se trouver après la déformation sur un même parallèle, on a, pour la dilatation transversale,
, . ., dx d\'x d§x àdx
x ' dx dx dx
D'autre pari
§ llx
tangyfy,
$*P $'?£ cos^ __ $dx ~ ot.p ~~ ds ~ dx ~~ dx
cos<j>
d'où, en vertu de la relation (a),
d\' v (2) > = -^--Htang<pfy.
Considérons maintenant l'élément de volume [aa'bb\ a! ol"$'$") déterminé parles deux plans méridiens Oab 9 Oa' b', et par les deux cônes de révolution autour de Ox 9 normaux à la surface moyenne en a et (3, d<f étant l'angle compris sous a' a",
Le glissement est nul dans les facettes ab, a'b', puisque les parallèles restent des parallèles après la déformation. Le glissement dans la facette a ba! b' est compris dans le plan
vertical Oa'a, et donne lieu à une composante suivant la normale la.
Soient A, G les composantes élastiques par unité de surface, dues à l'action de la masse Oa'a" sur la facette a' a", suivant la méridienne et la normale; elles seront considérées comme positives ou négatives selon que la direction de la première sera ou non comprise dans l'angle 9 et que celle de la seconde ne rencontrera pas ou rencontrera Oj; B la composante élastique, également rapportée à l'unité de surface, normale aux facettes ab f a' b', considérée comme positive ou négative, selon que sa direction traverse ou ne traverse pas l'angle dO.
On a
Les tractions élémentaires égales à Beds, agissant sur les facettes ab f a'b', donnent lieu à une résultante
dirigée suivant le rayon du parallèle, allant de a vers l'axe, et dont la projection sur la méridienne est
Be dsdQ cos» = Be dxdB.
Les actions normales aux facettes a' a", (3' (3"
A e xdQ , — A e xdQ — e dQ dX x
donnent la composante
— e dQ dAxy
suivant la méridienne.
Enfin, suivant la même direction, la force de glissement
— (je Q xdQ—c 9 d9dGa:
dans la facette B'B"a pour composante
Ge xdod9.
On a donc pour l'équilibre
— e n dQdAx -h e 9 BdxdQ h- Ge ■+- dQdy = o ,
d'où
dk.r ... G r/<p
Considérons maintenant la portion de l'enveloppe déterminée par le cône de révolution autour de Oy, qui a pour génératrice la' a". Chaque élément rf&> du bord conique du segment étant sollicité par les forces — Grfw, — À.ck>, toutes les forces semblables ont une résultante verticale
— (G cosq> -4- A siny) iTtxe Q ,
qui doit être égale et opposée à celle/*7r# 2 des pressions; on a
donc
— (G cos<p -4- Asin<p)27T* .r = irpx*
d'où
px
(3) G = — EX tang© h-
v ' OT 2* COS<p
L'équation [b) devient, par suite,
/ /\ d\x , [ px . \ r/cp
II est clair qu'il ne se produit pas de flexion dans les facettes ab, a'b'.
Le moment du couple résistant à la flexion, dans la facette
«V, est
Ee>/\ i \ - • ( \ X£ fë m
La face $'$" donne un moment égal au précédent changé de signe, augmenté de sa différentielle par rapport à s, d'où le moment résultant
De toutes les forces qui sollicitent l'élément de volume considéré, la composante de glissement, dans la facette (3' (3", donne seule un moment
(6-') Ge xdQds
par rapport à Taxe projeté en a.
Concevons maintenant que l'on divise l'enveloppe par des
DBS CHAUDIÈRES JL TAPEUR. 229
surfaces équidistantes, infiniment voisines les unes des autres, et parallèles à ses surfaces limites, et considérons les portions de ces surfaces comprises dans l'élément de volume
En allant de l'intérieur vers l'extérieur, ou de a" (3* en a' (3', les pressions normales sur ces portions de surface vont en diminuant graduellement de p à zéro. Il doit résulter de là des inégalités dans les dilatations des couches déterminées par les surfaces dans le sens des parallèles, et qui donneront généralement lieu à deux couples identiques perpendiculaires aux plans Ob, Ob' et dont les axes seront les méridiennes moyennes des traces de la surface moyenne. Désignons par Oïie 9 ds le moment de chacun des couples développés dans les facettes ab, a! b'.
La théorie mathématique de l'élasticité pourrait seule faire connaître la loi de la variation de OÏL avec x ; mais, comme elle ne peut être d'aucune utilité dans la question actuelle, nous sommes obligé d'avoir recours à d'autres considérations.
Il paraît assez logique de supposer que chacune des surfaces tracées dans l'épaisseur de l'enveloppe est soumise à une pression normale uniforme, comme les deux extrêmes de ces surfaces qui limitent l'enveloppe, et alors 3ÎL devra être considéré comme une constante que les conditions relatives au mode de fixation des bords de la pièce permettront de déterminer. Chacun des couples DXLe ds se décompose en deux autres, tfïLe^ds sin <p, Oïl e 9 dscosy, dont les axes sont respectivement parallèle et perpendiculaire à 01. Pour les deux facettes opposées, les couples Dïle 9 dss\n<p se détruisent; les deux autres couples se réduisent au couple 3ïle dQ ds cosy> dont l'axe est parallèle à la droite projetée en a.
Il nous reste donc à exprimer que la somme des deux expressions (c) et (<?') et de Nldôdscosy est nulle, ce qui donne
(5) d.x^-l^-^iGx-Oïlcostfds.
En y remplaçant par -2* G par sa valeur (3), cette équa-
a3o SIXIÈME PARTIE. CHAPITRE III.
lion, jointe aux formules (2) et (4), permettra de déterminer les inconnues du problème a, a', 69.
