IV

veut avoir P >/*«, on comprimera de l'air une fois pour toutes dans R et une pompe commandée par la machine introduira dans ce réservoir la quantité d'air enlevée à chaque double course par R'.

Nous admettrons : i° que la température t des toiles supérieures du piston et de l'air situé au-dessus de lui reste constante et qu'elle est égale à la température de l'air des réservoirs R, R'; 2 que la température T de l'air au-dessous du piston est constante et égale à celle des toiles métalliques inférieures; 3° que, à chaque instant, la pression a la même valeur p sur les deux faces du piston.

Soient

lia le poids spécifique de l'air à c° sous la pression atmosphérique/?»;

12, H la section et la hauteur du cylindre;

z le chemin parcouru par le piston à partir du moment où il était en contact avec le fond inférieur du cylindre.

En exprimant que la somme des poids de l'air qui se trouvent en contact avec le» deux faces du piston est la même qu'au commencement de la course, on a

n„ n(H-*)/> n, aHP .

n, £izp

d'où

Pa !-*-«' Pa IH-«* '

formule qui fera connaître la hauteur à laquelle doit s'élever le piston pour que la pression atteigne une valeur donnée. La hauteur h, pour laquelle la soupape s' sera sur le point de s'ouvrir, sera donnée par la formule (1), en y faisant /j = P', d'où

/ ^ a H(i-haT)/ P\

(*> h = g ( T -o rpf

On peut négliger le très-petit chemin qui est parcouru par le piston dans sa course descendante jusqu'au moment où la soupape s' se ferme. Les poids d'air contenus dans le cylindre res-

DES MACHINES A AIR CHAUD. /p5

pectivemeni au .commencement et à la fin de sa course ascendante étant

n,. n HP n, nHP'

Ta i+«^ ~P a i-*-»t' la différence ou le poids d air qui est entré dans R' est

& ÛH (2! *!—\

îl a \l -h at I -t- aT/

et son volume à la pression P' et à la température /

") Y = - (p - ES)-

Pour que la machine fonctionne, il faut que cette quantité

soit positive ou que P> ^ P'.

Dans la p*ariie de la course descendante pour laquelle s reste fermée, on a, en appelant z r le chemin parcouru par le piston,

n„ a (H — z')p n a ciz'p n, au?'

Pa I-+" aT Pa !-*"«' 7 Pa I "+- *T'

d'où

Si h' représente la valeur de z' au moment où la soupape s est sur le point de se fermer, on a

A partir de cet instant, le cylindre se remplira d'air froid jus qu'à la fin de sa course.

Proposons-nous maintenant de calculer les quantités de chaleur fournies par le foyer et le piston et celles qui sont enlevées par le réfrigérant.

Lorsque le piston s'élève de dz, le poids de l'air qui se trouve au-dessous du piston se trouve augmenté de

x ' p a I -t- aT '

quantité qui représente le poids de la tranche fluide qui, en

traversant le piston, a été portée, sous la pression p, de la température t a à la température T. En désignant par c la chaleur spécifique de l'air sous une pression constante, la quantité de chaleur enlevée par cette tranche au piston est

rf 7 = c(T-0 5fi û-*---

Pa H-«f

En intégrant entre z = o et z = H, on a, pour la quantité de chaleur fournie par le piston dans sa course ascendante,

(7) 7 = ~ -^f^HP'.

w ' J p a i -+■ aT

Par suite de l'introduction de la tranche dont le poids est donné par l'expression (6) et qui occupe le volume

le volume Hz du gaz situé sous le piston a éprouvé une variation et est devenu V; mais on a évidemment

Hz -+- Citlz = U H — dpz ,

d'où, pour la variation de volume,

Cette variation, sans changement de température, correspond à une certaine quantité de chaleur que le foyer seul a dû fournir et qui a pour valeur

(U-na)/i Hz

A étant l'équivalent mécanique de la chaleur.

Si Ton remplace dans cette expression z par sa valeur (i), que l'on intègre entre les limites zéro et H, on trouve, pour la quantité de chaleur fournie par le foyer dans l'oscillation ascendante du piston,

#o\ n nH(i + «T)/ D , D1 . P'\

( 8 ) O" Aa(T^ ( P P ~ Pl0gnéP W'

Cette quantité étant toujours négative, on en conclut que l'air, loin de recevoir de la chaleur, en restitue au fond du cylindre, ou, si Ton veut, au foyer.

Considérons la course descendante : lorsque le piston descend de dz' ', le poids de l'air qui se trouve au-dessous de lui augmente de la quantité

IU n ^( H — Z ')P

Ta IH- «T

qui représente le poids de la tranche d'air qui a traversé le piston et dont le volume est

Si V est ce qu'est devenu le volume de la masse d'air sous le piston correspondant à la hauteur z', on a

fl(H-z')+^(H-z') = V'+^(H-2')/?,

d'où

V — n (H - *') = n (z' - H) dp.

La quantité de chaleur empruntée au foyer pour produire celle variation de volume à température constante est, par suite,

<lQ = j(z'-\\)clp.

Si l'on remplace z' par sa valeur déduite de la formule (i) que l'on intègre entre les limites z' = o, z = R pour lesquelles p = P', p = P, on trouve, pour la quantité de chaleur fournie par le foyer pendant la course descendante,

, . -, nH(n-aT)/ TV n nM . P'\ nH /n , m

(9) Q a«(t-o \ g p p) " f "ÂT ( } '

La somme des deux quantités (8) et (9) ou la quantité totale de chaleur fournie par le foyer dans une oscillation complète du piston est donc

(9) Q + Q ' = Ai(¥=T) [p (l + aT) - p/ (I + a ' )llog nép r

Pour produire un travail extérieur, on peut faire agir l'air de R' à pleine pression dans un cylindre dont réch&ppemenl serait mis en communication avec R; la température ne changera pas et restera égale à t dans la période de pleine pression ; mais elle s'abaissera et deviendra t, pendant l'échappement, lorsque la pression passera brusquement de P' à P.

Pour déterminer la température t, nous remarquerons que i kilogramme d'air produit, dans cette dernière période, un travail

p(L t ,E i-PL-V

\/'a l -*" a7 Pa l+*tj

L'air n'ayant pu recevoir des corps environnants une quantité appréciable de chaleur, pendant la durée très-courte de l'échappement, le travail précédent doit être considéré comme étant produit aux dépens de la chaleur sensible de l'air; on a donc, en désignant par c' la chaleur spécifique de ce fluide sous volume constant,

d'où, en se rappelant que

c étant la chaleur spécifique sous pression constante,

c / en posant y = — = i .4 1 .

Si les pressions sont presque égales, on a sensiblement z = t, et l'abaissement de température est presque nul; dans le cas de P' = 2P, ce qui est un cas limite, on trouve

Pour que la vapeur d'eau contenue dans l'air ne soit pas

réduite en glace qui viendrait se déposer dans l!échappement, il faut que t>o ou que

L'abaissement de température serait encore plus rapide si Ton détendait l'air sans perle ni gain de chaleur, comme il est facile de le reconnaître ; il convient donc de s'en tenir à la pleine pression.

L'équivalent thermique du travail mécanique produit parla machine est, en ayant égard à la formule (3),

( l0 (P'-P)V gH (p , p) /P i +a 1 \.

d'où, en divisant par la valeur (9), pour le rendement thermique,

(,2) ^O-nrâ)

lognép. p

Le maximum, par rapporta P', du travail utile ou de l'expression (12) correspond à

P' = P . lL±H et a pour valeur

iiHP / • /i + a/V