CHAPITRE Vn
TRANSFORMATION D'UN MOUVEMENT RECTIUGNE ALTERNATIF EN CIRCULAIRE ALTERNATIF.
55. Système du balancier et du parallélogramme de Watt. — La disposition dont nous allons nous occuper [fig. 98} a pour objet de transmettre au balancier le mouvement aller-
nalirdu piston dans certaines machines à vapeur, notamment celles dites de Watt, de Cornwal et de Woolf. Soient (/g. 98}
OAt l'axe de Qgure du balancier dans sa position horizontale;
0 la projection de l'axe horizontal de roution sur le plan vertical passant par OA,;
0A„ OA, les positions extrêmes de l'axe dij balancier, symétriquement placées par rapport à O'A,;
tiàuspomâtiou d'uh noutibbiit ibctilushb altbbhatip, etc. i^S yy' la verticale suivant laquelle doil se mouvoir la lige du piston.
On s'arrange de manière que la droite^' passe à égale distance du point A, et de la corde A, Ai de l'arc total décrit par l'eitrémilé du balancier. La lige du piston est reliée, par une irliculalion, au sommet B, d'un parallélogramme à sommets articulés, formé par les trois tiges A.B„ B.C,, CD, el par l'axe
Flfl. 99.
de fîgure OA. du balancier, et dont A,B,CiD„ A,B>CtDiSoni les positions extrêmes et ABCD une position quelconque. Od voit facilement que A, Ai = B, B, est la course du piston. Le sommet B étant assujetti à parcourir la droite jy', la figure du parallélogramme est k chaque insUni complélement déierminée, el le point C décrit une courbe qu'il est facile de construire par points. L'épure montre que cette courbe diffère peu d'un cercle passant par les trois points C„ C„ C, et qui, en vertu de l'égalité des trapèzes B,B,C,C., B,B,C.Ct, a son
l46 QUATRlftHS PiLftTIS. — CHAPITRE TH.
centre situé à un certain point O' de l'horizontale B«Gt. SI l'on admet, pour un instant, que ces deux lignes se confondent, il suffira, pour assurer te mouvement rectiligne du point B, d'assujettir le point C à se mouvoir sur le cercle C»CiCs, ce qu'on réalisera au moyen d'une tige ou contre-balancier O^C^Bvticixlée d'une part à ce dernier point et de l'autre au centre 0', supposé fixe, du cercle ci-dessus; mais, comme ce cercle ne se confond pas rigoureusement avec la courbe qui serait tracée par le point C, le point B ne décrit pas exactement la droite yy, mais une courbe très-allongée, dite à longue inflexion, qui difTère très-peu de la verticale, comme nous le reconnaîtrons plus loin, ce qui par cela même ne donne lieu à aucun inconvénient sérieux dans la pratique.
Théorie géométrique. — On peut construire très-facilement par points la courbe à longue inflexion, en remarquant que, si Ton mène la parallèle OH à CD jusqu'à sa rencontre H avec BC prolongé, le point H, situé à une distance constante de C, se meut constamment sur la circonférence décrite du point O comme centre avec un rayon égal à CD. Les extrémités de l'arc qu'il parcourt sont les points d'intersection Ho et H| de cette circonférence avec les directions B«Co etBiCi ou B2C3, le second de ces points se trouvant évidemment sur la direction de B«Co. On voit ainsi que la courbe décrite par le point B fait partie du lieu géométrique engendré par un point déterminé d'une droite dont deux autres points Q et YL s^ap-puient constamment sur deux circonférences données.
On aura donc autant de points que l'on voudra de cette courbe en marquant trois points 6, c, h sur l'arête d'une bande de papier, tels que Ton ait bc = BC, ch = CH, puis en faisant mouvoir cette bande sur la figure de manière que les points h et c restent constamment sur les arcs respectifs Hi Hf, Cid; les positions successives que prendra le point b appartiendront à la courbe à longue inflexion.
Le centre instantané S de la droite BH se trouve évidemment au point d'intersection des directions des droites O'G et OH, et l'on obtient géométriquement la normale, au point B, de la courbe à longue inflexion, en menant la droite BS.
TEARSFO&MàTION d'un VOUTBHBIIT HECTIUGNIS ÀLTBBNATIF, ETC. l^']
Le centre instantané T de CD est, de même, le point de rencontre de O'C et OA.
Cela posé, cherchons à déterminer la vitesse angulaire &> du balancier, connaissant la vitesse V du piston ou du point B.
La vitesse angulaire instantanée autour du point S étant
V se
;Tp9 la vitesse du point G est Y ^9 et la vitesse angulaire
se on
insuntanée autour de ï, V ^ ' ^^ ou V gjTTgU» ^^ maison du parallélisme des droites CD et OS. On déduit de là,
pour la vitesse du point D, V ^jr > et pour la vitesse angulaire autour du point 0,
«=^» d'où V = »SB,
résultat très-simple qu'il est facile de traduire en langage ordinaire.
La droite qui joint les points 0 et B rencontre le côté CD en un point J, fixe sur ce côté pour tous les déplacements du balancier, qui décrit une courbe semblable à celle du point B et semblablement placée, et qui par conséquent se confond sensiblement avec la verticale. Cela résulte de ce que, les triangles ABO, DJO étant semblables, DJ est constant, et que OJ est proportionnel à OB. Le parallélogramme permet donc au balancier d'imprimer un mouvement vertical à une tige articulée au point J de CD, dont la vitesse est à Y dans le rapport de OJ à OB., Cette tige sert ordinairement à mettre en jeu la pompe du condenseur dite à air^ dans les machines de Watt, et le piston de la détente des machines de Woolf.
Théorie analytique, — Prenons le point Bo pour origine des coordonnées et les directions respectives de BoO' et de Bo j pour axes des/r et j.
Soient
X et y les coordonnées du point B; L=:OA la longueur du balancier; r=:0'C celle du contre-balancier; r , / les longueurs des côtés AB, BC ;
l48 QUATIIÈMB PARTIE. — CHAPITRB TH.
9, ^, 9' les angles qui forment respectivement O'C avec 0' Ci,
BHavec H,B,, OH avec H, H,; I la projection du point 0 sur la direction de B,C«; 6 = B«I, c = 01 les coordonnées de ce point prises en valeur
absolue; d l'angle A,OA,;
h la demi-course du piston ou — !— î.
On a
En projetant les lignes brisées O'CB, BHOI sur l'horizontale et la verticale, on trouve les relations
r — / — .r = rcosy— /cos^^, ^= rsin^p-h/siiiAp, x-f-ô = Lco8^|/ — r'cos^p', j= Lsin>|< — r'siny' -hc;
d'où, par l'élimination de f et de 9',
y -h x^ — 2r(Lsin^!*-*- r)-t-ix(ô — Lco8>I*)
-h- L* — aL^co8^{»— aLcsin^ji-f- //'-f-c*=r".
Ces deux équations doivent être satisfaites par x=^o, j=:o, ce qui a lieu identiquement pour la première; mais, pour qu'il en soit de même pour la seconde, il faut que
ce qui d'ailleurs est visible sur la figure. Les mêmes équations peuvent se mettre sous la forme
^-'-+- x'— a7(c -+- Lsin>j;)-+- aLc8in*^ -+- 4L6sin' -7=0.
Pour que ces équations soient vérifiées par x^o, y = ±: Lsind, ^ =±d, il faut que l'on ait
(a) L(L-2/)cOS»- = r(r~/);
TBllfSFOItHÂTION d'oH aOUTBIBIfT RBGTILlGlfS âLTBRNàTIP, BTG. i49
et
(3) ^=Lcos'^;
d*où, en vertu de la formule (i).
•'=i/c'-L*8in'^
La figure conduit directement d'ailleurs, sans dirQcuIté, aux valeurs (P) et (y) de r et r'.
En portant ces valeurs dans les équations (a), on obtient les suivantes :
j'-+-x=— a//siii>I^ y\ /"cos^p-i- L(L— a/) ces'- 1
— 4L(L — a/) cos'-sin*- — o,
7*-i- JT* -h aLxfcos' cos^») — a/(c-H Lsiû>|>)
-t-aLr8in>^-4- 4L*cos'-8in - =o, \ ^ a a '
d'où, par soustraction,
- (L— /) I Lcos* /cos^p ) -4-Lr8in+ -4- 4 Lcos* - sin* - (L— /)
Nous allons maintenant supposer que x est suffisamment petit pour que Ton puisse en négliger les puissances supérieures à la première ainsi que les produits de cette variable par des termes de l'ordre des angles ^ et à^ qui sont généralement petits.
En mettant en évidence le carré àey— Isin^ dans la première des équations {d), les calculs résultant de la substitution de la valeur (e) de 7 ne sont pas très-compliqués et l'on
l5o QUATRIÈME PlftTIE. — CHAPITU YII.
arrive au résultat suivant :
On voit ainsi que l'écart x est du quatrième ordre, tandis qu'il
serait du second ordre si la tige du piston était directement
ce articulée au balancier. Comme - est nul pour i^^^o^ la
courbe à longue inflexion est tangente à B«/.
L'expression précédente peut approximativement se mettre sous la forme
Son maximum par rapport à y correspond à très-peu près à vj^«= -- et a pour valeur
mais nous prendrons tout simplement
en nous arrêtant aux termes du quatrième ordre.
Si /= — > c'est-à-dire si V articulation C est au milieu du a
balancier^ le mouvement rectiligne sera assuré aux termes
du cinquième ordre près.
Le maximum de a:' par rapport à / correspond à /= ^ et a pour valeur
et il n'est ainsi que la fraction g7 de ce qu'il serait si la tige
du piston était articulée directement au balancier. Si, par exemple, d = ^, cette fraction est inférieure à 777;.
TlAinrOHATIOK b'dh IOUTBIIIHT BICTILICRK ILTBIIUTIF, ITC. l5l
L'eipression (e) peut mainienant, aux termes du quatrième ordre près, se réduire à la suivante :
LcBit.-{. + 4L(L-0ain'| j- /, /v, n
(^)/- .-.IL-Osln-J. =L.inj.[.^(v)^"--^]i
d'où, pour la vitesse du piston,
56. Observation, — Pour appliquer le système de Watt aux machines des bateaux, il est nécessaire de restreindre autant que possible l'espace occupé par le mécanisme. C'est pourquoi {fg. loo) on place le balancier au-dessous de la tige en lixaut l'axe de l'articulation du contre- balancier sur le cylindre.
Fig. 100.
On peut supprimer( /ïgr. loi) le parallélogramme, en arllculintles extrémités A et Cdu balancier et du contre-balancier i une tringle, en un point I de laquelle on articule la tige du
l53 QUATBltalB PARTIE. CHAPITRE YI1.
piston. On reconnatt, en effet, en se reportant à la théorie géométrique donnée plus haut, que la courbe décrite par le point I appartient à la catégorie des courbes à longue inflexion.
Fig. 101.
57. Système articulé de M. Peaùcellier. — La disposition suivante permet d'opérer rigoureusement la transformation dont nous nous occupons.
Fig. 102.
Deux tiges égales {/ig. 102) OA, OB partent de l'axe de rotation 0; une seule, OA par exemple, fait corps avec l'arbre. De chacune de leurs extrémités partent deux tringles égales de
TKAHSFOMATION d'uR VODTBaBNT RKGTILIGNB ILTBRlVÂTlFy BTG. l53
manière à former un losange articulé ACBD. Le sommet C le plus voisin du point 0 est articulé à un contre-balan* cier O'G qui l'oblige à rester sur un cercle passant par le point 0'. Le sommet opposé ï>, auquel on articule la tige du piston, décrit, lorsque Tarbre tourne, une droite DE perpendiculaire à 00'. En effet, si Ton remarque que les points 0, C, D sont en ligne droite, et que C et D se trouvent sur un cercle ayant A pour centre, on a
oc.od = oa'-âc\
mais, si F est le second point d'intersection de la direction de 0(y avec le cercle décrit par le sommet C, les triangles semblables OCF, ODE donnent
OC.OD = OF.OE; d'où, en vertu de la relation précédente,
/M? Ôâ"--Âc'
OE = — jrs = const.,
OP
ce qu'il fallait démontrer. 11 paratt à peu près impossible d'établir explicitement la relation qui existe entre la vitesse de la tige et la vitesse angulaire de OA ou OB.
QOATmiftai PISTIK. — CHAPrntK tiii.
