EJ
C* - tt»
ap Il vient par suite
OE = i^^-JL(^l^pj^r{^^BinoL-^-^~L^
ru , .
— -T-T [(c -Ml) sin'ç H- (c — a) 8m'(f -t- a«)] 4"
-j- (c* — a*)c08*(f-ha)cos*a.
La suspension étant, comme nous le verrons touti Tlieure, disposée de telle manière que u varie très-peu avec 9 pour ctiaque position de la coulisse, nous considérons cette longueur comme constante. Pour des motifs que nous ferons connaître en temps voulu» Il faut que la moiyenne des valeurs de OE pour 9 =90® -h a et 9 — 270» + a soit indépendante
de Uf ce qui exige que
Ainsi donc : le rayon de la coulisse doit être égal à la longueur de la barre de l'excentrique.
( * ) Lt flèche étant prise poar axe des x, en plaçant Torigine en I, l'équation de l'arc BB' se réduit à
celle de JL est
X = jr tangf + a;
on a donc pour J
(C<— K«)C08l • X= EJ COS« = -î; : • rï
a(iiUng«-i-/»)
OU, en supposant cosc = i et négligeant n tangc devant /»,
c« — «« jr = •
TKANSFORMATIOIT d'UN JIOUTBHBNT GIRGULAIRB CONTINU, ETC. 1 15
Cette condition étant supposée remplie, nous aurons simplement
OB = /-t-r{ — smaH -. — COSajsin(»-ha)— y cosacos(f-f-a)
(4) ' ~^[(c + ii)sin"ip-f-(c-tt)sin»(TH-a)]
r» c* — tt»
H r -. COS*aCOS'(ç?-ha),
expression dont la dérivée par rapport au temps est la vitesse de la tige.
On reconnaît sans peine qu'il suffit de changer le signe de c pour que cette formule s'applique au cas où les barres sont croisées.
4i. Disposition la plus convenable pour le système de relevage. — On devra adopter la disposition qui réduira à son minimum l'influence du relevage sur la valeur de u, ou qui limitera autant que possible le mouvement oscillatoire du point E de la coulisse de part et d'autre de l'horizontale, quelle que soit la position du levier de commande.
On arriverait à ce résultat en s'imposanl la condition que^ le point d'articulation de la coulisse et de la bielle de relevage se meuve sur un arc de cercle, dont la corde soit parallèle à OE pour toutes les positions de la coulisse. En nous plaçant à ce point de vue, nous allons étudier successivement les deux modes de suspension qui sont le plus généralement adoptés.
I* La bielle de relevage est articulée à Vextrémité infé'rieure de la coulisse. — Proposons- nous de déterminer la nature du lieu géométrique sur lequel devrait se trouver le pointée pour que la bielle de suspension fût verticale dans chacune de ces positions moyennes.
Soient j; et 7* les coordonnées du point C; /' = CD la longueur de la bielle de suspension ; on a
X =: Ob^bb'= Ob — ic sine, j = r - B'^' = / ' - 1 c H- /# ) cos s,
Il6 QUATRIÈMB PAETIB. — CHAPITRE H.
expressions dans lesquelles il faudra remplacer 06, acsine, (c -+- u) cosc par les moyennes de leurs valeurs pour 9= 90*»+ «, 9 = 270*» H- a.
En se reportant aux équations (1) et (2), on trouve facilement
d'où, par l'élimination de u et en négligeant devant l'unité la petite fraction - — cos»«,
2(/-x)/=(/'-air-r)*.
équation d'une parabole dont Taxe est horizontal et dont les coordonnées du sommet sont x= /, jr= l'—^c, et le paramètre 2/. Au point de vue pratique, on devrait donc placer le point F au centre de courbure au sommet de la parabole» distant, comme on le sait, de ce sommet de la distance /; mais en général on prend FC plus petit que cette longueur, ce qui introduit dans l'expression de CE des termes d'une certaine importance dont on reconnaît l'influence fdcbeuse dans certaines distributions de machines à vapeur.
2^ La bielle de relei^age est articulée au milieu de la corde à la coulisse.
Dans ce cas, on a
L'élimination de u donne encore l'équation d'une parabole à axe horizontal dont le paramètre est 2/, et dont les coordonnées du sommet sont
Les observations faites plus haut relativement à la détermination du point F s'appliquent ici.
TtlIfSFOMATIOlt D DN ■OOTIMIin' GHCUtAIBB CORTlnD, ETC. 1 17
iS. Du mode de suspension de M. de Landsée. — Dans cette disposition la bielle de relevage est représentée par un panlIéloKrainine GG'G'G' {Jig. 85 et 86) dont deux cfités
Fij. 85.
opposés peuvent se déplacer autour de deux axes borizon- Uux F, F' compris dans le même plan vertical, et dont les
deux autres c6tés GG", G'G" restent par suite verticaux. Le levier FE permet d'opérer à volonté la déformation du parallélogramme.
Le milieu I de la coulisse est muni d'un bouton qui s'engige dans une glissière horizontale fixée au cdté GG'. En G" se trouve un contre-poids Q.
L'ordonnée verticale du point I éunt constante, on a, en la désignant par u„
«COS. = « L I- ^ COs'a C08'(? H- a)J = «„
d'où
«,['+ ^««'«cos'Cf-^")]-
ii8
§ II. — Coulisse renversée ou de Goock.
46. Celle coulisse BB' {fg. 87 ei 88} est, comme celle de Stepheoscn, articulée à deux barres d*excentrique égales AB, A'B^ ouvertes ou croisées, mais elle oppose sa convexilé à l'axe de rotation 0. Le milieu .1 de sa corde est articulé à une bielle IL mobile autour de Taxe L, et qui est disposée de telle manière, comme nous le verrons plus loin, que l'arc décrit par le point I pour une révolution jftiisse être considéré comme se confondant avec la direction OIE du mouvement alternatif.
La tige qui est animée de ce mouvement est articulée en E à une bielle EH, dont Tautre extrémité H est munie d*un cou-
Fîg. 87.
lisseau qui s'engage dans la coulisse. On peut faire varier à volonté sur la coulisse la position du coulisseau H au moyen
TlARSFOEMATIOlf B UN MOUYSIIBIIT CIBGCLAIEB CONTINU, BTG. 1 19
du levier coudé KFC, mobile autour de F, de la bielle CD articulée en C et D, à KF et HE, et d'un levier de commande ou d une vis sans fin, comme pour la coulisse Stephenson.
Fig. 88.
La théorie géométrique de la coulisse renversée est la même que celle de la coulisse droite, et son centre instantané se trouve au point de rencontre de LI avec la droite qui joint le point O à l'intersection des directions de AB, A'B\
Occupons-nous maintenant de la théorie analytique.
i7. Nous ne considérerons que le cas des barres ouvertes, celui des barres croisées s'en déduisant en changeante en — c dans les formules que nous allons établir*
Pour obtenir la valeur du sinus de l'angle d'inclinaison e de la corde BB' sur la verticale et celle de 01, il suffit évidemment de supposer ic =: o dans les formules (2] et (3) du n" 43, ce qui donne, en conservant les mêmes notations»
(1) 8t]lc = (cosa -H j siQajc08(f -4 a)H-— -j[8in*(f -t- a) — 8in*ç],
l 01 = r{ — 8ina+ - cosaj 8in(y-+-a)
^ -h /— -j [sin»v-t-sin'((p-+-aa)]
120 QUATRlkm PABTIB. — CHÂPITIB TI.
Soient maintenant
J rintersectîon de la bielle HE avec la corde BB' ; A, j les projections des points H et J sur OE; HE = /' la longueur de la bielle de traction HE; F rintersection de la coulisse avec OE; u la dislance IJ«
Nous aurons
OE = 0I-+- lA -h /lE = 01 -t- ly - Ay H- hE.
Or on a iy = usine, et comme l'obliquité de la bielle HE sur OE esi toujours très-faible» on peut prendre
Iy=HJ =
et
n vient par suite
I OE=r( — sinaH- ^ cosaj8in(f H- a)
(cosa-f- - 8ina)cos(9+ a) -h/-t-/'
^ '^ fa u* /i i\ r*
H- — ^^ ^- - ^j - — [(c-f-tt) 8in'y-t- {c-tt)8in'(?-+-aa)]
-+-- -y C08'aC08*(f-4-a).
Pour que la moyenne des valeurs de OE, pour 9 = 90" 4- a et f = 270** + Xf soit indépendante de la position de la coulisse, comme dans la coulisse de Stephenson, il faut que le coef&cient du terme en u* soit nul ou que
Donc :
Le rayon de la coulisse doit être égal à la longueur de la bielle de traction.
TtinSFOUÂTlON b'dN MOUYSMUIT GIEGULAIBB COimRU» BTG* 121
La formule (4) se réduit ainsi à la suivante :
OE
= r f — 8ina-f- ^cosaj 8iii(f -ha)
(cosa-h y sina J cosfv + a)
-+-/-♦- '' — T-} [(c H- a) ain*f -h (^ — a) 8in'(f -t- a«)] I r*
Des essais faits sur des modèles ont prouvé que la disposition la plus convenable consiste à placer le point de suspension comme nous l'avons supposé, c'est-à-dire au milieu Ide sa corde, et que, s'il se trouve en avant ou en arrière de ce point, il se produit dans le mouvement de la coulisse des irrégularités déterminant des vibrations assez fortes sur le coulisseau H, irrégularités qui sont presque insensibles quand la suspension est en L
L'analyse doit pouvoir conduire à ce résultat, mais il faudrait passer par des calculs trop compliqués pour que nous essayions de les aborder.
Pour que l'arc de cercle décrit par le milieu de la coulisse se confonde très-sensiblement avec la direction de OE, il faut que la bielle de suspension LI soit sufDsamment longue, et qu'elle soit verticale pour la moyenne position de I; l'abscisse de L ou la moyenne des valeurs de 01, pour f = go® 4- a, 9 = a7o** H- a, est ainsi
CI = / > 7 cosa,
ou approximativement
ou encore est égale à la longueur des barres d'excentrique diminuée de la /lèche de la coulisse.
48. On réduira, autant que possible, l'influence de la suspension sur la valeur de u, en s'arrangeant de manière que le
122 QCATRIÈMI PAETIB. — CHAPIT&B Tl.
mouvement vertical du point D soit très-raible; on satisfera à
cette condition en prenant CF suffisamment grand et en faisant
en sorte que la corde de Tare de cercle décrit parce point soit
DE horizontale. Soient i le rapport gpr» r la longueur CD, d la
projection du point D sur OE. Nous avons
Od=OE — Ed et, à très-peu près,
Ed = Vde* - Dd' = I y(F~^:^ = I (r - :^ ^) •
II vient donc pour Tabscisse x du point C, en prenant la moyenne valeur de OE fournie par Téquation (5),
Tordonnée du même point C est approximativement
En éliminant u entre ces deux équations, on obtient celle d'une parabole du second degré dont le paramètre est 2/% parabole qui, dans sa partie utile, devrait être remplacée par un arc de cercle de rayon /', tandis que dans la pratique on donne à CF une longueur inférieure à celle de ce rayon.
§ III. — De quelques autres coulisses,
49. Coulisse d'Jllan. — Supprimons tout le dispositif relatif à la suspension de la coulisse de Gooch, que nous supposerons droite; nous obtiendrons la coulisse d'Allan (Jig. 89 et 90), en supposant que son milieu I soit articulé à une tige LI articulée, d'autre part, en L au prolongement FL du levier FC de la tige de suspension de la bielle de traction HE.
Au moyen du levier CL on pourra à volonté, dans certaines
TllRSrOUIATIOR d'or MOUTUBHT Cll^OLlt» COHTlnn, ETC. 1X3.
limites, faire varier siiDullanément les positions de la coulisse et de la barre de traction.
La théorie géométrique de cette coulisse est la même que pour les deux précédentes.
. Occupons-nous maintenant de sa théorie analytique en
1^4 QUATElftlIB PAATIB. -~ GRAPITEI YI.
laissant de côté la suspension et conservant autant que possible les notations adoptées jusqu'à présent. Soient
J l'intersection de la coulisse avec l'horizontale OE; 6, A, d les projections horizontales de B, U, D ; tt = HI, i«' = IJ, u^z^EJ.
On a
La distance OJ sera donnée par la formule (3) du n® 43, en y remplaçant u par u\ ce qui donne
OJ
— sinaH ' — cosa |8in(f -ha) j-COSoLCOsif-hOi)
J7— -^ ' - 477 [(^ -*- «') 8»^'? -*- (^ - «')8in*(f -»- »«)]
nous avons, d'autre part, d'après la figure et la formule (a) du numéro précité, en y remplaçant u par «',
ru' / ^ . \ IV «'«' r ^ • / xl
= (cosa-t- ^8ina jC09(y-t-a)H — j- 1 i C08a8in(f -ha) |
-f--7y-Ji [sin'(f -t-aa)— 8in*<j»] C08'aC09'(y-t-a)|;
enfin, d'après la formule (4) du n** 47, en y remplaçant u par u'^.
AE
On a donc tous les éléments voulus pour obtenir
OE = OJ-hJ/n-/iE, et l'on trouve, réductions fartes, en éliminant de plus u" au
TIAHSFOUATION d'oN MOUTXKBZfT CIEGCLAIU CONTINU, BTG. ia5
moyen de l'équation (i),
0E = rf — 8ina-+- ^—^ — cosaj 8iii(f -f-a)
nif c (« — «'). 1 , - I COSa H i — 2 '- Bina I C08(f -*- a)
— j-T [(c-+-a)sin*f -h(c — a)sin'(y-i- aa)]
Pour que la moyenne valeur de OE, pour f == go^" + a et 9 = 270'' 4- a, soit indépendante de u et k% variables qui sont d'ailleurs fonctions Tune de l'autre, il faut que
Cherchons maintenant à exprimer u en fonction de u' pour la position moyenne des excentriques.
En menant DM parallèle à BB% on a
Supposons que les tiges de suspension LI et CD soient égales entre elles, et soit l' le rapport des bras de levier LF et FC. Quand I et H coïncident sur OE, le levier LC est horizontal et les tiges de suspension verticales. Si Ton fait tourner le levier LC autour de F, le centre instantané de BB' se trouve sur OE, ceux de LI et CD sont à l'inflni et celui de BE est en E; d'où il suit que les déplacements élémentaires de I et L sont égaux et verticaux et qu'il en est de même de ceux deC et D, et enfin que les ordonnées de I et D sont proportionnelles à LF et FC; de sorte que, en prenant D6? = DM, on a
DM = n' g = i'u\
126 QUATEltMB PAETIB. -~ CHAPITEB TI«
d'où
Si l'on porte cette valeur dans l'équation de condition (3 ), on trouve
relation à laquelle on devra satisfaire*
En posant maintenant, pour abréger, y = -t 7>» nous au<
rons u' ==yu, et la valeur (a) deviendra
0E = r ( — sinan v^— cos«j sin(f -Ha)
ru r ^ (i *~" *y ) T f^ C08«H ^— r — ^sina jcos(yH-a)-h/H-/' -
— -7— T [ (c -h- tt) sin*f 4- ( c — m) 8in*( f •+• aa ) ] 4 cl
'ACU
C0S'aC08*(f -ha).
Quant au système de relevage, on ne peut que recommander de donner aux tiges de suspension d'aussi grandes longueurs que possible.
51. Coulisse de Finck. — Dans cette disposition (Jig. gi et ga), la coulisse circulaire HB est flxée normalement à la barre AB d'un excentrique OA articulé en G à une tige LG mobile autour du point L. La tige oscillante, mobile suivant OE, est articulée en Eà une bielle EH dont l'autre extrémité H, munie d'un coulisseau, s'engage dans la coulisse.
On peut faire varier a volonté la position du coulisseau dans la coulisse, au moyen d'un système de relevage FCD dont F est l'axe de rotation, CD une tige articulée à la bielle et au levier CF comme dans les deux coulisses précédentes.
En prenant la tige GL suffisamment longue et déterminant le point L de manière que GL soit vertical pour la moyenne
TEANSFOtMATlON d'uH MOUTITBRT CIBCULAIEI CORTIHU, BTC. I27
des positions de la barre d'excentrique correspondant à 9 = o et 9 = 180% le point G décrira un arc de cercle qui se con*
Fig. 91.
fondra tres-sensiblement avec OE, de la môme manière que si 6 était guidé par une glissière, comme nous le supposerons dans ce qui suit.
Soient
P Tinclinaison de AG sur GO;
A, h' les projections du point H sur les directions de OE et AB ;
r = OA, a = AG, 6=:GB, /' = HE;
p le rayon de la coulisse ;
x = BA', r = HA', ii=HA.
Fig. 9».
Nous supposerons, saur à déterminer ultérieurement à
128 QIJATEltMB PAATIB. — CHAPITKK TI.
quelle condition il doit satisfaire pour qu'il en soit ainsi, que le mode de suspension est tel que u reste à peu près indé^ pendant de f .
Nous aurons d'abord
(i) 8inp=: - smtf.
Nous admettrons que - et ? sont d'assez petites fractions pour que Ton puisse écrire
« sin»p r' . ,
co8p = i- -^ =1- — , sinY
Cela posé, on a évidemment,
(3) OÇ = — r cosf -h (fl -t- ^ -+- jr) cosp -h/ sin P -+-/' — A-, •
En projetant la ligne brisée G A' H sur la verticale, on trouve ou, comme la flèche de la coulisse est toujours très-petite,
D'autre part, on a
j»=x(ap — «) = apx,
d'où
(5) x = ^= (//-HfeBinpl'^
^ ' ap apcos'P
En portant les valeurs (4) et (5) dans l'équation ( 3) et ayant égard au degré d'approximation adopté, on trouve, réductions faites,
OE = fl-+-A-+-/'— rco8f-+-tt (i-+- -) -sinfH — f j-A
TBAKSFOEMATION D'UN MOUYBlIBlfT GIRCULAIHB CONTINU, ETC. 129
Pour que la moyenne valeur de OE, pour o = o et 9 = i8o<>y soii indépendante de u^ il faut que
ei Ton a par suite
OE = /i -1-6-+- /'— /-cos? -Htt ( iH — I -sinç
La longueur u ne variera pas sensiblement avec 9 pour une position déterminée du point C» si le point D décrit un arc de cercle dont la corde soit horizontale; mais alors C se trouvera sur un lieu géométrique dont il convient de déterminer la nature.
DE
L'abscisse du point D est, en appelant i le rapport -n-rr)
Oc/ = OE~r/E=OE-/.AE dont la moyenne valeur entre 9 == o et 9 = 180",
sera Tabscisse du point C. Son ordonnée sera, en posant CD = r,
d'où, par l'élimination de u,
^ ' lit
équation d'une parabole dont Taxe est horizontal, dont le paramètre est 2^1 et dont les coordonnées du sommet sont
Cette parabole pourrait être remplacée dans sa partie utile m. • Q
l3o QUATElftMB PAKTIK. — CHAPfTlB VI.
par un arc de cercle de rayon l'i; mais, dans la pratique, on prend CF inférieur à la longueur de ce rayon.
52. Coulisse d* Heusinger de ff^aldegg. — Ceiie coulisse BH (Jig. 93 et 94)» ^om la concavité se trouve du côté de Taxe 0, est mobile autour de son milieu I, tandis que son extré-
Fîg. 93.
mité inférieure B est articulée a celle de la barre BA d'un excentrique OA ; OA' est une manivelle perpendiculaire à OA,
et A'B' sa bielle; l'extrémité B' de cette bielle est assujettie à parcourir uns glissière horizontale dont la direction passe par
TRAUSPORMATIOR d'oM MOUVKlIBlfT CIRCULAIRB CONTINU, ETC. l3l
le point 0. La tige verticale B'D est ûxée invariablement à la petite tête B' de la bielle A'B'; DK est une autre tige articulée en D à B'D et à une troisième tige KH terminée en H par un coulisseau qui s'engage dans la coulisse. On peut rapprocher ou éloigner à volonté H de I au moyen d'un système de relevage identique à ceux des trois dernières coulisses que nous avons étudiées. Sur le prolongement , au delà de K, de DK, se trouve l'articulation E de la tige oscillante dont le mouvement horizontal est guidé en conséquence.
Si nous supposons que, pour la position moyenne de la coulisse, dont la flèche est d'ailleurs supposée très-faible, la tangente en I soit verticale; toute corde partant du point I s*écartera peu de cette direction, ou la corde de l'arc décrit par un point de la coulisse pendant une révolution de Tarbre sera horizontale et pourra être considérée comme se confondant avec son arc.
L'application de l'analyse à cette coulisse conduisant à des calculs inextricables, nous nous contenterons de l'approximation géométrique suivante, en supposant, pour plus de simplicité, que les tiges AB, A' B' soient assez longues pour que l'on puisse en négliger les obliquités.
Soient
r =:r OA, R = OA' les longueurs de l'excentricité et de la manivelle ; 9 l'angle formé par OA' avec le prolongement de OB'; ic la corde de la coulisse; « la corde IH; 6) la vitesse angulaire autour du point 0.
La vitesse du point B étant
— 6>rcoSf,
celle de H est
u «rcosç-
Concevons maintenant que l'on imprime à tout le système une vitesse égale et contraire à celle a)R sinf de la tige DB' :
l32 QUATniÈMB PAITIB. — CHAPITRE Vf.
la vitesse du point H deviendra
(r-cosç — R sin^ j.
Le poini D étant ainsi supposé fixe, le centre instantané de KH se trouvera à Tintersection S de KD prolongé et de la verticale du point H; la vitesse du point K sera par suite
celle du point E
(m . \SK DE
et sa composante horizontale
h étant la hauteur verticale de E au-dessus de D.
Si maintenant nous restituons la vitesse de B'D supprimée par la pensée, la vit&sse réelle de la tige oscillante sera
flOVJ [rn „ , \SK /i „ .
-^ = « (^- cosy ^ R sm^j gjj 5j^ -^ «R sm^,
£' étant la projection de £ sur OB'.
Si J est l'intersection, avec la verticale de II, de la parallèle menée par D à KH et si Ton remarque que c/(p = o) dt^ l'équation précédente devient
Ht
COS<p
On peut intégrer approximativement cette équation en remplaçant HJ par sa valeur "k, qui correspond à la position moyenne de la coulisse, ce qui donne
(i) OE = -7 T smf — R ( I — -r J cosf -h consl.
Quant au mode de suspension qu'il convient d'adopter, nous nous reporterons aux considérations que nous avons exposées plus haut.
TKAHSFOEMATION B'uN MOUVEMENT GIRCULAfBE CORTIlfU, ETC. l33
§ IV. — Coulisse des machines des bâtiments à vapeur.
53. De la coulisse ordinaire des machines oscillantes. — Le mouvement alternatir, et relatif par rapport au cylindre, de la tige destinée à produire la distribution est généralement obtenu en employant la disposition suivante (Jig. gS] :
Fîg. 95.
OA' est un excentrique monté sur l'arbre 0» et dont la barre A'B' imprime un mouvement alternatif vertical transitoire à un châssis guidé en conséquence, et dont le plan est perpendiculaire à l'axe de rotation. Un maneton m adapté à ce châssis s'engage dans une coulisse dont le plan est perpendi*
l34 QUATftlÈttB PAETIB. ~~ CBJLPITRB Yl.
culaire à TaxeO, et qui ne peut se déplacer que parallèlement à la tige du piston au moyen de guides disposés suivant les génératrices du cylindre, et c'est à cette coulisse qu'est fixée la tige de distribution.
Soient
OA = R la longueur de la manivelle; 0' l'axe de rotation du cylindre; a la longueur 00';
0, p les angles AOO', AO'O ;
0', le point du plan mobile de la coulisse qui se trouvait en 0'
lorsque l'on avait 6 = o; a l'angle dit d'avance que forme OA' avec la perpendiculaire
en 0 à OA ; r= OA', / = A'B' les longueurs de l'excentricité et de la barre
d'excentrique; h la distance mB*i X, y les coordonnées 0'« m et mm' du point m par rapport aux
axes rectangulaires 0', A et 0', j.
Nous avons établi plus haut (40) les formules suivantes :
R'sin'O
cosp= I —
La relation indépendante de 9, qui existe entre x et j, sera réquation de la courbe qui doit affecter la coulisse pour que la transformation de mouvement proposée soit possible.
On a
x = 0'/ii'-0'0'o = (y/w.co8p--0'0;, / = Cm. sinp et, en négligeant Tobliquité de la barre d'excentrique ou les termes de l'ordre — t^» qui sont toujours très -petits,
O'/w = O'B'- B'/w = « — OB'— /< == « — /i - /-h rsin(ô -h a). D*autre part, la vitesse du point B' est
rcos(9H-a)~,
TEANSPOftHÀTION D'UV KOCTBHBNT CIRCULAIRK GORTINU, BTC. l35
et celle de 0«, qui en est la composante suivant O'A,
rC03(ô-+-a) cosp-rr-,
de sorte que Ton a
[0'(y. = rf C06(OH-a)COSp^
f =r sin(0-+-a)cosp — sinaH- / sin{0-4- a)sinft^r^ .
II vient, par suite, en négligeant l'intégrale de cette expres-
sion, qui est de Tordre de -; — zriy ^ a' -+- R'
( X = (fl — / — /<) C08P H- r sina,
( y = (a — /— /jjsinp — ■rsin(ÔH- a)siûp.
Si l'on néglige le second terme de x> qui est relativement petit, on a
X— raina = (« — /— /i)cosp, j= (o — /— A)sinp,
d'où
(3) (x-rsinaj^-h/'^l^-Z-^/i)',
équation qui représente un cercle dont le rayon est égal à la distance moyenne du maneton à l'axe 0' et dont le centre se trouve situé à la hauteur r sin a au-dessus de cet axe pour 6 = o. Si Ton voulait pousser l'approximation plus loin, il faudrait remplacer, dans l'équation
/ x — rsinaV ^
ya-i'-h) "^ [^/ — /— /, --rsin(Ô-»-a)]
S en Tonction de y par sa valeur approchée déduite de la relation
^) •-, — T = sinp=— ==•
Mais la courbe définie par l'équation finale n'est pas admis* sible, puisque sa forme dépend de l'angle a, tandis que la coulisse doit se prêter à la marche en arrière ^ ce qui exige que Ton déplace l'excentrique de i8o degrés par rapport à la manivelle ou que a soit augmenté de i8o degrés.
l36 QUATIIIÈIIB PARTIE. — GHAPITBB VI.
Le mode de transformation dont nous nous occupons est donc vicieux en principe, et ce n'est qu'au moyen d'un jeu convenable dans la coulisse et d'une faible amplitude du mouvement oscillatoire qu'il peut recevoir son application.
En laissant de côté cette imperfection, le mouvement alternatif du tiroir sera défini par la formule (i), qui devient, en remplaçant |3 par sa valeur en fonction de 0,
O'O; = r[sin(0-ha)-sina]
ou encore
( 0'(y, = r[sin(G-+-a)-sina] , RV
(6) *| -hi ^^ ^^ [sinGcosa-+-3cosôsina-i- jsinSôcosa
-f-^cos3ôsina— |sina].
51. Coulisse des machines oscillantes des bateaux à vapeur des lacs de la Suisse. — Dans les machines oscillantes de ces bateaux (yîg-.gG), Tadmission et l'échappement de la vapeur s'opèrent, respectivement pour l'une et l'autre face du piston, au moyen de deux tiroirs adaptés sur le cylindre, symétriquement situés par rapport au plan, parallèle à l'axe de rotation et passant par la tige du piston.
L'extrémité de la tige de chaque tiroir est articulée à l'une des extrémités d'un levier mobile autour d'un tourillon fixe au cylindre parallèlement à l'arbre moteur; l'autre extrémité est terminée par un coulisseau qui s'engage dans une coulisse perpendiculaire à l'arbre, maintenue latéralement par deux guides verticaux et à laquelle un excentrique, monté sur le même arbre, imprime un mouvement de translation alternatif. Le boulon d'articulation de chaque levier avec la tige du tiroir correspondant est nécessairement parallèle au tourillon du levier, et le bras de levier de cette articulation, ou sa distance au tourillon, est horizontal lorsque le cylindre prend la position verticale.
Pour éviter les flexions de la tige de chaque tiroir dues à la courbure de l'arc décrit par l'extrémité du levier, on emploie
TIARSPOKViTIOH D'uN HOUTBIENT CtlCULAlRK CONTinU, ITC. l37
une petite bielle intermédiaire, on allonge un peu l'oeil de la lige dans le sens de l'axe de la tige; néanmoins il convient de limiter les angles décrits à un nombre restreint de degrés.
Fig. 96.
D'après cette description, on voit que tous les organes de U distribution se meuvent parallèlement au plan de la coulisse, soit dans leur mouvement absolu, soit dans leur mouvement relatif par rapport au cylindre.
l38 QUATUtaE PART». — CBAPITftK VI.
Soient [fig. 97 )
0 l'axe de Tarbre ;
(y celui du cylindre; •
a la distance de ces axes;
R = OA le rayon de la manivelle ;
Q l'angle qu'il forme avec OO ;
rTexcentriciié;
a l'angle constant qu'elle fait avec la perpendiculaire à OA;
^ l'angle variable AOO' ;
fig- 97-
D la position du tourillon de l'un des tiroirs correspondant aux angles |3 et Q;
r = O'D le rayon de l'arc de cercle décrit par ce tourillon autour du point 0 ;
E la position du coullsseau;
T sa projection sur 00';
C la position du centre de la coulisse;
p = CE le rayon de la coulisse;
X l'angle fermé par 0' E avec le prolongement de O'D;
/' =DE la longueur de la tige qui relie le tourillon du tiroir au coulisseau ;
TftÀHSPOKVÀTION D'UN MOUVBlIBIfT GIH€ULAIBB CONTINU, ETC. 189
D„ E, les positions des points D et E, x, la valeur de % correspondant à d = o;
ôx = x« ~" X '^ (ipplacement angulaire éprouvé par le levier ED à partir de l'instant où la direction de la tige O'A coïncidait avec celle de 00', et qui a donné lieu au déplacement du tiroir.
£n négligeant l'obliquité de la barre de l'excentrique, le chemin décrit par la coulisse à partir de la position correspondant a d = o est
r[sina — sin(O-ha)].
Nous supposerons que pour 6 = o\e centre de la coulisse coïncide avec le point 0% de telle sorte que l'on ait
0'C = r[sina--sin(9-ha)], p = 0'E..
En joignant les points 0' et E, la figure donne, en remarquant que l'angle DO'D. est égal à (3,
âi'=r«H-/'>-har/'cosx,
O'E = p» H- O'C -+- aCCCT = p* -i- r" [Hin(9 -f- a) - sinat]» -h 2r[sin( ô -f-a) — sina] CT,
CT =:O'T~O'C = r[sin(0-4-a)-sina]-hrcos{P-f-A)-h/'cO9(x-P-A),
d'où, par l'élimination de O'E , et de CT,
p'= r'^- /"-H ar/'cosx -H r" [sin(0 -h a) — sinap
-Har[sin(0-+-a) — siûa][rco3{p-i-A)-+-/'cos(x — P — A)].
D'après ce que nous avons dit plus haut, dx ^^^^ ^^^^ ^^ petit angle, et nous pourrons en négliger les puissances supérieures à la seconde, en considérant, si l'on veut, cet écart
r r comme étant du même ordre de grandeur que^ et =•
Nous poserons donc
cosx = co3(x*-- ^X) = C09X« (' — -f- ) "^ ^XSinx, ,
cos(x - ?- A) = cos(x.- P - A) ^i- ^ j - ^Xsinx,.
l4o QUATRlftHB PARTIS. — CHAPITRE VI.
L'égalité précédente peut se décomposer dans les deux suivantes :
(i) p»=r»H-/'*-haR7'cosxo, -
-+-ar[sin{G-+-a)-sina][r{cosp-hA)H-/'cos(x«-p-A)
En ne conservant d'abord que les termes du premier ordre en r et dxt la dernière de ces équations donne
, . • r[sin(e-f-a)~8ina][rco8(P-i-A)-t-/^cos(x,-p-A)] ^^' ^^~ r'/'sinx. '
et, en portant cette valeur dans les termes du second ordre de la même équation, on trouve
[rcos(pH-A)-+-/'cos(x.-P— AI]» ,r-/û X • I X*^ ri'sïn'x^ ^L-.r»[8m{e-+-a:-sii
(4) I ii-cosx,[rcos(PH-A)+rcosfx,-g~A)]
Si la valeur (3) était sufQsamment approchée» le coefficient rcos(A -i-P)-f- /'cos(xo — P — A) ne variant qu'entre des limites assez rapprochées, la loi du mouvement relatif du tiroir par rapport au cylindre ne serait pas très-différente de celle qui résulte de l'emploi d'un simple excentrique, monté sur l'arbre d'une machine à cylindre fixe. On est donc naturellement conduit à chercher s'il ne serait pas possible de profiter de l'indétermination de quelques-unes des quantités qui entrent dans ce coefficient de [sin(0 -i- a) — sina]' de l'équation (4) pour annuler ce coefficient ou le transformer en un terme du troisième ordre.
Nous poserons donc
,cosy [rcos(^^A)-^rcos(x.^p~A)P (5) / i/'siirx.
TBllfSFORMATlON B'ÙN HOUVBVBNT GIRCULàIBB CONTINU, BTC. l4l
Avant de faire usage de cettç équation, dans laquelle il nous sera permis de négliger les termes du premier ordre en r, nous allons déterminer la condition qu'il faut remplir pour que le mouvement des coulisseaux soit possible dans une seule coulisse ou pour qu'ils ne tendent pas à passer l'un devant l'autre.
Si Ton désigne par 7 l'ordonnée du point £ par rapport à
00', on a
r = r sin(P -H A) - /'sin(x. - P - A).
En changeant {3 en — j3, on aura l'ordonnée de l'autre coulisseau changée de signe, puisque son sens positif est l'inverse de celui de y, 11 faut donc que la somme de ces deux expressions soit positive ou que
r sinA — /'8iii(x, — A) > o ou
rsinA— /'siii(x, — A)-h/'sin(x» — A)-^ -f-/'cos(x« — A)^X> o»
On satisfera à cette inégalité en posant
(6) rsinA~/'sin(x«-A) = /'cos(Xo--A)H,
H étant une constante du même ordre de grandeur que d^» et que l'on pourra prendre égale à la valeur absolue du minimum de cette variation ou à une valeur un peu plus grande. La formule (3) se réduit alors à
^/= —inr- rsin{9H-a) — sina]
X Icosf [rcosA-f- /'c03(x« — A)] — /'sinpcos(x« — A)H j ou, en éliminant V au moyen de l'équation (6),
, 1 • r V o Hcosfy.— A)cos(6-f-A)'l- . /« v . i {7) ^y=— — - oosPh lAfL-^j )L i [sin(0-+-a — sina].
En prenant
„ r r Hoosfy» — AH, . . H = :=r^r-T I H )^ (i H- sina),
on sera sûr que H sera supérieur au maximum — d%, d'où l'on
l4a QOATftiftHE PARTIS. — CHAPITRE Tl.
déduit, en ne conservant que les termes du second ordre,
/' - r , . xf '* i-f-sina .^ .^
\ H = rr-^-7 (n-sma) ih- ^ . ^ — ; C08(Ph-A)
(8); rsinA^ 'L R sinA smx, J
( X [sin(0-ha) -r sina],
I ^y ^ -- ^; [cosp -4- ^. ::;^^^ C08(X. - A) COT
(9)\ rsinAL rsmAcosxo J
( X [sin(ô -h A) — sina].
Si l'on néglige le terme H de Téquation (6), on a
TsinA— /'cos(?. — A),
et l'équation (5) donne
cos y cos' A (lo) 1 ^ acos& -H 2C0t(?. — A)8in6cos6 = o.
^ ' smAsin^X. — ^) ^T. / r r
En supposant cos^ == i et sln^ =^ o dans cette dernière, en
négligeant ainsi les termes de l'ordre ^ nous avons
comme première approximation
, , cos Y. cos' A
^ ' 8inA8in(x« — A) '
d'où
laiigx«-^-colA = o
et
de sorte que D«E« doit éti^e perpendiculaire à 00'.
Le dernier terme de l'équation (lo) s'annulant pour y^*^ =: 90'' + A, il en résulte, eu égard à l'expression de sin|3 (40), que cette valeur approchée ne diffère de la véritable valeur
de y que de termes de l'ordre —, — in» et qu'en la sub-
stltuant dans le terme en r' de l'équation (9) l'erreur défi* r* vient de l'ordre -^ — r- ^^ et peut être négligée sans inconvénient.
Il ne nous reste plus qu'à considérer les équations (12)
TRANSPORVATION d'oN MOCVEHBNT GIRCULàIRB COHTINU^ ETC. l43
et (6). Celle dernière devieni
^"""r ^[sm(ô-*-a)-sina]
'*'' '" r- /û X • i/" ' R'sin'ÔX = — ,, . [8111(0 -+- a — SinaJ ( I 5 ~ )
1 SIDA *• ^ ' -"Va fl'-j-RV
ella formule (6)
hi) r = rsinA.
Ainsi /' est égal à la perpendiculaire abaissée de E« sur 00', ce que l'on ne peul pas réaliser complélemenl à cause des dimensions que l'on esl obligé de donner aux coulisseaux.
Nous avons supposé jusqu'ici que d% esl une quanlité assez petite pour que l'on puisse en négliger le cube; on satisfera à celle condilion en posanl
rsinA
y étant une fonction que Ton se donnera a priori el qui, par exemple, ne devra pas dépasser |.
Si I esl la longueur du bras de levier qui esl articulé à la lige du liroîr, le chemin parcouru par celte lige sera représenlé par
(i5) d— -7-— [sinf 0 -+- a) — sina] (i — i — jsin'ÔK
expression plus simple que celle que nous avons obtenue pour la simple coulisse.
QUlTIllKE PARTIE.
