COS/,>0 C

termes, m^ tombe entre a' et n/^.

Soient r, le temps au bout duquel se termine la seconde oscillation et m^ la position correspondante de m. On a

(9) — sin/, -hsin/, — (/, — r,)cosa = o.

Si, dans l'équation (8), on fait / = /, -^ ur, on trouve

V= a(8in/, — sinr.) — (/,-»- air — /,) cosa ;

DBS RfiGULATBCRS. 227

d'où| en vertu de la relation (5),

V = acosa.(/, — ^, — «) <o.

Le point m, se trouve ainsi au-dessous de m,, et, à fortiori y d'après ce qoe Ton a vu plus haut, m^ est compris entre a et la symétrique m\ de m,; la quatrième oscillation succède donc immédiatement à la troisième.

Les points m,, nt^, . . . s'approchant de plus en plus de a"^ il arrivera un moment où m^^ se trouvera entre a'* et tf^ et il y aura un arrêt en aT entre la 27^^^ et la ( v'-^ i)'^^ oscillation; mais, à partir de ce moment, le mouvement prendra un caractère périodique, et il y aura un arrêt constant entre une oscillation de rang pair et la suivante.

Deuxième cas : Des conditions précédentes, ^^^ * ^ ^î ^*" ' ^ ^ sont

^ * cos/,>o cos/, <o

Ifls seules qui subsistent; en d'autres termes, m^ tombe en deçà de a\ et

il y a un arrêt en ce point; mais à partir de là tout devient périodique.

Les oscillations seront donc toutes périodiques et séparées l'une de Tautre

par un arrêt constant.

Teoisiâmb cas : . *'^ ou < S?"" 3o', où ijlg. 126) le point m, tombe

entre a' et n/^.

Les circonstances se produiront de la même manière que dans le premier cas, c'est-à-dire qu'au bout d'un certain temps les oscillations de rang pair ooounençant à partir de af seront identiques et séparées des oscillations de rang impair par un arrêt constant.

QuATiiÉiiB CAS : Des conditions précédentes, les suivantes seules subsistent:

cos/,>o, sin/, <o.

n y a un arrêt entre la première et la seconde oscillation , puis les choses se passent comme dans le premier cas.

Des oscillations périodiques,

7. Nous sommes, par ce qui précède, ramené aux oscillations qui ont pour point de départ a', a' ou a"*. Nous choisirons le dernier de ces {K)int8.

Beprenons l'équation (5), en y supposant /, = aiV — a; si nous posons /, = a/ff -H jp, nous aurons

sinjr — X cosjt = a cosa — sina,

2a8 quâteièmb fkwru. — gbâpitrb m.

d'où Ton déduit les résultats suivants :

lO»,

ao*,

ao»,

io4"ao',

ia8«3o'.

iSg-So',

Pour que la seconde oscillation succède immédiatement à la première, il faut que l'on ait x > ir — a, ce qui n'a lieu qu'à partir de a = 60*. Audessous de cet angle, on a, pour la durée de l'arrêt ir — a — x , entre la première>et la seconde oscillation,

i5o° pour

a = lo*.

lai*

ao*»,

La seconde oscillation est identique à la première, et ainsi de suite.

Pour calculer la durée de la seconde oscillation lorsque oc>5o*, nous appliquerons l'équation (9), qui donne, en y faisant r, = a/ir + s et t^ = aiir-+-x,

8in2-i-s00Sa=r sinjr + xcosa,

pour a = 6o*, «=i38" »— x( durée de l'oscillation) = 9*3o' 70^ 160** ( » ) a%

La dernière des valeurs de s — x étant négative, les premières oscillations de rang pair n'existent plus à partir de a = 80®, comme pour a = 90^, cas pour lequel le mouvement est continu.

Les arrêts entre les oscillations de rang impair et celles de rang pair, mesurées par ir — 2-f-(tr — a) =27r — (a -4- a), sont :

pour a = 60", i6a*,

Pour a = So"", l'arrêt entre deux oscillations consécutives est

ir — x-hir — « = 91".

DBS RtGULATKURS. 22g

Ainsi, aa bout d'un certain temps, qui pourra ôtre très-long si a est très-voisin de 90 degrés, le mouvement devient périodique; mais deux périodes consécutives sont séparées par un arrêt constant.

En résumé :

i"* An bout d'un certain temps, dépendant des conditions initiales du mouvement, et qui sera d'autant plus long que a différera de moins de 90 degrés, le mouvement devient périodique;

2"* Au-dessous d'une valeur a^ de a comprise entre 5o et 60 degrés, deux osdllalions sont identiques, mais sont séparées par un arrêt constant;

3** Dans les antres cas, on a une série de groupes de deux oscillations consécutives non identiques; deux groupes successifs sont séparés par un arrêt constant, qui devient nul lorsque a atteint 90 degrés.

Ces différents résultats sont en désaccord avec ce principe a priori posé par Laplace : Vétat d*un système matériel dans lequel les influences des conditions initiales du mouvement ont disparu par suite des résistances développées dans ce mout^ement est périodique comme les forces qui soliicitent ce système. •

La périodicité, telle qu'elle est comprise dans cet énoncé, ne peut avoir lieu que si les résistances sont des fonctions impaires de la vitesse.