r-r — —«*'<» sin K C08 a — P a sin a
di>
'^ \ V*?»— A«sin««y
On devra faire l'intégration pour chaque demi-oscillation ascendante et descen-
daote, correspondant respectivement au signe supérieur et au signe inférieur
<lo dernier terme du second membre ; les constantes introduites se détermineront
Joe ptr la double condition que a et -.- ont des valeurs connues au commence-
■itat de chaque demi-oscillation.
aOO QUÀTEiftHB PàMTIB. ~ CHàPITRB III.
écrire en vertu de la formule (9), selon les cas,
k et kx étant deux coefOcients connus.
77. Autre disposition.-- Dans certaines circonstances, motivées par des difficultés d'emplacement, on est obligé de placer la douille au-dessus de l'articulation D; on emploie alors la disposition représentée par layîg". 1 15, dans laquelle les tiges de
Fig. ii5.
même longueur BC, BC sont également inclinées sur les tiges AB, A'B, d'une manière Invariable, avec lesquelles elles sont respectivement reliées. Les bielles CD, CD déterminent uo losange BCDC. Nous ne nous arrèterqns pas à la recherche (qui ne présente d'ailleurs aucune difficulté) de l'écart proportionnel dans l'expression duquel doit entrer nécessairement l'angle CBA.
78. Des régulateurs isochrones. — Dans le régulateur à boules il y a, pour chaque valeur de a, une vitesse de régime déterminée cv; de sorte qu'il ne peut remplir l'objet
DBS RtGOLATBCmS* aOI
qu'on se propose que par approximation, à la condition que l'angle a varie peu en passant de l'ouverture complète à la fermeture de la vanne.
On comprend ainsi l'avantage, au moins au point de vue théorique, que doit présenter un régulateur disposé de manière que la vitesse angulaire de régime Wo soit indépendante de l'angle a. Les dispositifs de cette nature qui ont été imaginés par divers ingénieurs et constructeurs ont reçu le nom de régulateun isochrones*
Nous allons passer en revue les principaux types de ce genre de régulateurs.
79. Régulateurs paraboliques. — Concevons un dispositif tel que le centre de chaque boule soit assujetti à rester sur une courbe fixe, déterminée de manière que le poids et la force centrifuge de la boule se fassent constamment équilibre pour la vitesse cv,, quel que soit l'écart a; on obtiendra un régulateur isochrone. En effet, par suite d'une diminution de la résistance utile, w croîtra à partir de w^ et en même temps a à partir de a«; mais bientôt, par la fermeture graduelle de la vanne, w et par suite a atteindront chacun un maximum ; w^ « décroîtront, atteindront respectivement un minimum, et ainsi de suite; mais, sous Tinfluence du frottement ('), les oscillations de chaque boule sur sa courbe s'éteiddront rapidement» et, lorsqu'elle sera arrivée à l'état stationnaire, la vitesse du régulateur sera redevenue cv».
Soient x l'abscisse verticale d'un point de la courbe que doit décrire le centre A, mesurée à partir d'un point déterminé de l'axe de l'arbre; y l'ordonnée horizontale correspondante : le principe du travail virtuel donne
--ivlx(ijr-i-?dx=o, S
d'oùy en appelant C une constante.
wl
(*) Voir la Note, placée à la*fin de ce Chapitre, relatWe à Tinflaence que peut avoir le frottemeQt sur les mouvements oscillatoires.
302 QDlTSItMl PARTII. — CHXPITIK tll.
équattoD d'une parabole, comme on devait s'y auendre (deuxième Partie, n^îOT), dont te paramètre est -f^ei C l'abscisse du sommet dont on fliera la position comme on l'entendra.
C'est sur le principe que nous venons d'énoncer que sont basées les deux dispositions suivantes :
i" Régulateur de Franke. — C'est le premier régulateur parabolique qui ait été construit : il se compose de deux guides curvilignes (Jig. 1 16) MN, M'N', symétriques par rapport à l'axe
de l'arbre, correspondant respectivement à deux couples de galets C, C qui terminent les tiges des boules A, A' ; les axes des galets sont engagés dans deux reaêtres courbes pratiquées dans les extrémités de deux tiges CE, C £' qui vont en B s'ai^
DBS RÉGULÀTBORS*
liculer à Tarbre. Deux tringles i, V sont articulées à ces deux liges et supportent, également par articulation, la douille D. On voit que chacun des guides doit affecter la forme d'une parallèle à la parabole que doivent décrire les centres des boules» tracées à une distance de cette courbe égale à celle de ces centres aux circonférences de gorge des galets.
Cette disposition n'a pas eu de succès pratique, en raison de sa complication et des frottements des galets sur les guides et sur leurs axes, qui diminuent notablement la sensibilité du régulateur.
2* Régulateur à bras croisés. — M. Farcot a eu l'idée de remplacer la parabole par son cercle osculateur dans la position moyenne que doit occuper le centre de chaque boule, ce qui lui a permis d'éiablir un régulateur à très-peu près isochrone, d*une construction très-simple.
Soient (yîg-. 117 et 118)
Fîg. 117.
Fig. 118.
A, la position moyenne du centre de la boule A; S le sommet de la parabole ;
F son foyer déterminé par SF =
do4 QDATBltaB PAITIB. — GHàPITEB III.
A,B la normale en At limitée à Taxe de la courbe ;
H rintersection de la direction du rayon vecteur A«F avec la perpendiculaire en B en A,B ;
K celle de la perpendiculaire en H à A«H avec le prolongement de la normale qui est le centre de courbure de la paraboleenA«(^];
K' le centre de courbure de la même courbe correspondant à la position moyenne A'« du centre de la boule A', qui est le symétrique de K par rapport à BS.
Portons, à partir des points K et K' sur KA, K'A, deux Ion* gueurs égales KC> K'C, puis joignons C, C à un point D de l'axe.
On obtiendra un régulateur sensiblement isochrone, en supposant que KAo, K'A'« représentent deux tiges articulées en K et K' à une pièce KK' faisant corps avec l*arbre, que la douille D soit reliée, par articulations, à ces tiges par les tringles CD, CD.
Proposons-nous maintenant de déterminer les conditions relatives à la sensibilité du régulateur, en plaçant l'origine des coordonnées au milieu I de KK\
Supposons, pour plus de simplicité, comme cela a lieu d'ailleurs en général, que les tiges CD et KC aient une même longueur b, et conservons aux lettres P et /? la même signification qu'au n^ 75; nous aurons, pour l'équation du travail virtuel,
E w^Ydr- Vdx = rfc^rf.ID,
w étant l'une ou l'autre des vitesses angulaires de l'arbre pour lesquelles la vanne est sur le point de se déplacer. Posons (v = («;g(i + e), nous aurons, en négligeant le carré de e,
(lo) ?fvj e/rfr = ±^rf.ID.
Soit a l'angle formé par la normale A^K avec IS; de l'équation
(*) Voir mon Traité de Cinématique /lire, n** 57, p. 57.
DBS lÉGUULTBURS. ao5
on tire
(II) taiiga = -^ = -^/.
d'où
Hais on a
II»'
dx =r — !. cos'arfr.
ID = a 6cosa, d'où i/.ID = — a^8inarfa=— a6— ^ cos'a sina ^/,
et l'équation (lo) donne par suite
. pb cos'asina aP /
ou, en remplaçant y par sa valeur, en fonction de a, tirée de l'équation (n).
nous aurons donc
aP g
ôcos*a,;
COS'aJi
P aP
COS*a,y
Supposons que l'écart proportionnel - soit donné pour la
valeur moyenne ««de a; de la condition - = on
déduit la relation
L'écart proportionnel» pour une valeur quelconque de a, a par suite pour expression
I COS*a « 008* a/
mais, comme l'angle a — a« est toujours petit, on peut en négliger le carré, et cet écart prend la forme
i[l — 3 tonga,(a -«,)],
ce qui met bien en évidence la manière dont il varie avec a.
ao6 QUÀTRlftlIB PARTIS. — CHAPITRE III.
80. Régulateur isochrone à contre- poids de Mejrer ( * ). — Reportons-nous à la théorie du régulateur à boules (TS), en conservant les mêmes notations. Dans le régulateur dont nous nous occupons actuellement, la douille fait corps avec un manchon enveloppant Tarbre, et qui se termine inférieurement par un galet E (yî^. 119} s'appuyant sur l'une des branches EF d'un levier coudé EFG, mobile autour de l'axe F, à
l'extrémité duquel se trouve adapté un contre-poids Q. En raison de son faible diamètre, nous pourrons, sans erreur sensible, supposer que le galet E se réduit à son axe.
(*) On doit à M. Charbonnier {Bulletin de la Société industrielle de Mulhouse, 1843) ridée première de rendre constante la vitesse de régime d'une machine dans laquelle le travail utile est sujet à des variations; il proposait, pour arriver au but, l'emploi de contre-poids sans en définir le système. M. Mryer, de Mulhouse, séduit par l'argumentation de M. Meyer, à laquelle il avait d'abord été rebelle, résolut pratiquement le problème, dont, dans plusieurs cas particuliers, les éU-ments numériques furent déterminés par M. Charbonnier. Les résultats de l'observation vinrent ultérieurement justifier les calculs de ce modeste savant.
Nous aurions dû logiquement, au point de vue historique, commencer à exposer la théorie des régulateurs à contre-poids; mais nous avons pensé qu'en nous occupant d'abord des régulateurs paraboliques nous ferions comprendre plus facilement ce que l'on entend maintenant par régulateur isochrone (d'après Foucault).
DM RtGULATBURS. 207
Soient
E', G' les projections des points E, 6 sur l'horizontale du
point F ; m l'angle constant GFE;
jr et / les longueurs des bras de levier EF et GF; q le poids du manchon ; <p rangle EFE\
La condition qui doit être remplie pour que le régulateur soit isochrone est que la vitesse de régime soit indépendante de l'angle a> sans faire intervenir la résistance au déplacement de la douille.
Le principe du'travail virtuel > dans l'hypothèse de BC=CD=b, donne
(12) — /i'(v'sin«C08a — aPasma— 296 sma — Q--i — =0.
Or on a
EE'= BE'— BE = BE - DE - BD = A - aôcosa,
en posant h = BE' — DE, qui est une constante dont on pourra disposer ultérieurement. D'autre part EE'=: Ar tang^ ; nous avons donc la relation
(i3) X^tangf = A — a^cosoi,
d'où
( 1 3') rf«j) = -- sina ces* y dx.
Si l'on remarque que
GG'=/8in{/in-ç),
on a
ilb rf.GG'= /C08(m-H (f)d(f = --r-8inacos(y H- m)C0A'(f da,
et l'équation (12) devient
P Ib
(14) -û'fv'cosa — Pfl — çrft — Q -^-COS^f C08(y -i- m) = O.
Supposons maintenant que l'on dispose de A ou de la valeur moyenne «• de a en vue d'annuler l'angle 9 pour a = a$. Nous
ao8 QUATElftlIB PAETIB. — GHAPITRB III.
pourrons prendre k suffisamment grand pour que, lors des plus grandes valeurs de (a— ««]% l'angle f reste assez petit pour que Ton puisse posersin9 = tangf, cosf = i. L'équation (i4) devient alors
(i5) -a'w^cosa — Pa — ^.ô — Q-T-(cos/« -r
h — 'kbcù&a .
— sin/w
Cette équation sera satisfaite, quel que soit oe, en posant
= ,3 smm,
f P«-4-^0-h Q-r l C09/W — T siniw ]
et Ton pourra donner à Q, ç, m des valeurs telles que ces équations soient satisfaites pour une valeur déterminée de w\ le problème de l'isochronisme se trouvera ainsi résolu, du moins par approximation.
81. Régulateur isochrone de M, Tchébichef, — En nous reportantau régulateur à boules (75), supposons que la douille D (Jig* 1 20 ) soit au-dessus du point fixe B, et que BC, au lieu de
Fig. lao.
se trouver sur le prolongement de AB, fasse avec sa direction
un angle ABC = m. Admettons que la douille D ait un poids Q comparable à celui des boules. Rappelons-nous ces notations
DBS RÉGULATEURS» 209
AB = a, BC = b, CD = c, a étant Tangle que forme AB avec la verticale BD.
Il est facile de voir que l'équation du travail virtuel s'obtiendra (en faisant abstraction, bien entendu, comme plus haut, de la résistance au déplacement de la douille) en remplaçant, dans le troisième terme de l'équation (2) du n? 75, :p/i par — Q, et a par i8o*» — (a-t-m), ce qui donne
aflP . r coB(w-f-a) I . / *
sma-Hl I ■======= I sin(/w-ha)
COB(/yiH
Tz -rsinaa
Q go
Si nous posons nous pourrons écrire
Asina+I T-^- — |sin(/w-ha)
(.8) - = : L •^-co8'(/«-^«)J ^^
fV»
Soit, comme plus haut, a« la valeur de a qui correspond à la vitesse de régime (v«.
La condition imposée par l'isochronisme exigerait que l'on eût Y — 1=0, quel que soit a, ou a — «, = âa; mais cette condition, dans le cas actuel, ne peut être remplie que par approximation, en égalant à zéro les coefficients des quatre premières puissances de ia dans le développement de W — 1, en vue de donner des valeurs convenables aux constantes indéterminées A, B, Sj a*. M. Tchébichef a trouv^ ainsi
^(j=i,3ia7i, /Il = a, = 119*» 10'.
On peut disposer de W; dans certaines limites, en calculant en conséquence la transmission qui relie l'arbre de la machine à
celai du régulateur. Les deux premières des formules (17) don-
neront ainsi deux relations entre les indéterminées jr et awl.
ni. 14
aïO QUATRlÈn PARTIE. — CHÀPnRB III.
M. Tchébichef a vérifié» dans plusieurs cas particuliers, ses formules et a pu constater que son système condoisaifà l'iso* chronisme avec une approximation inattendue.
82. Régulateur isochrone à ressort de Foucault. — Foucault a cherché à obtenir l'isochronisme de la manière suivante : le losange {/ig. 121) articulé BCDC est relié à l'arbre
par son sommet inférieur B. Au sommet opposé se trouve la douille D; les côtés CD, CD' sont prolongés en CA, C'A' de longueurs égales à la leur, de manière que les centres des boules A, A' restent constamment dans le plan horizontal du point B. De part et d'autre de l'arbre, les boules sont reliées par un ressort à boudin, aboutissant aux extrémités des diamètres perpendiculaires au plan CDC^ et les deux ressorts sont complètement identiques.
Soit a^ la valeur de a correspondant à l'état naturel du ressort; la résistance opposée aux boules par le ressort, étant proportionnelle à son allongement (deuxième Partie, n** 189), peut être représentée par /r(sina — sina'), lorsque l'écartément CBD est devenu a, k étant une constante. L'équation du travail virtuel donne P
a-«''8inaC08arfa— a^fsinse — sina') COSada. = o
OU
sinaf - w'— Xj = — ksinct'.
BBS RÉGUIATBOES*
Si o' = o, cette équation sera satisfaite en posant
an
formule qui permettra de calculer le poids des boules pour une vitesse déterminée w^ connaissant Âr.
Mais» comme on est obligé de donner une certaine valeur à Fangie o^^ la condition de l'isochronisme ne peut être satisfaite que par approximation.
83. Régulateurs à boules conjuguées. — Ces régulateurs, qui sont dus à M. E. Rolland, sont formés de deux systèmes identiques de tringles articulées» à liaisons complètes, situés symétriquement par rapport à Taxe de l'arbre dans un môme plan méridien. Des masses sont calculées et disposées sur cer uines tringles, de telle façon que Ton puisse annuler les termes variables qui entrent dans l'expression de la vitesse de régime.
Nous nous bornerons ici à étudier la combinaison la plus simple à laquelle M. Rolland est arrivé :
BE {Jig. 12^) est un bras horizontal fixé en B à l'arbre;
Fig. 132.
B'E', B'E'' deux bras horizontaux égaux au précédent, adaptés à deux douilles B', B"" qui ont la faculté de glisser le long de l'arbre et dont l'une commande la vanne.
Les points E'^ et E' sont reliés par articulations en C et C par deux tringles CE'', CE' à un levier à angle droit CTEC
ai a QCATEIÈXB PAETIB. — OHAPITEB UI.
mobile autour d'un axe fixe projeté en E. Les longueurs WC, EC'\ EC sont égales.
Les points A, Ai sont les centres de deux sphères égales, situés à la même distance de E sur le prolongement de CE et sur EC\
Soient
P le poids de chaque boule;
a la longueur des tiges EB, E'B', E^'B'';
b celle des tiges E'C% CE, EC CE' ;
c la distance EA ou EAi;
0 l'angle formé par EAi avec la verticale ;
(v« la vitesse angulaire de régime.
On a
BB'^a^sine, BB'=: a^cosO.
Le travail virtuel de la force centrifuge des deux boules est
i (a-hc8inO)coo60<i9H '(a — ccoBB)c9lnBd9
le travail dû au poids des boules,
(b) Pc(cos0~sine)£/6.
Comme, en égalant à zéro la somme des deux expressions (a), {b)y il n'est pas possible d'obtenir pour w. une valeur indépendante de 6, on adapte respectivement aux deux bras B'^E'' et B' E' deux poids Q*" et Q' que nous chercherons à calculer de manière à satisfaire à cette condition. Leur somme de travail étant
(c) -Q''rf.BB''-hQ'rf.BB'=~a^(Q'co8Ô-+-Q'8inÔ)dO,
en faisant la somme des trois expressions (a), (b), (c) et égalant séparément à zéro les coefficients de sind et cos0, il vient
DBS RÉGULATBORS. ai 3
Le système peut donc être réalisé si — ^ a^i; dans le cas
de l'égalité, la portion AtC'EB' des tringles du régulateur deviendra inutile, et la vanne devra être commandée par la douille D''.
84. Régulateur pneumatique de Larivière.— Ce régulateur, qui sort complètement de la catégorie des régulateurs généralement employés, se compose d'une pompe à air à double effet E {fig. 123 et 124)9 naî^^ ^^ mouvement par l'arbre de la machine, dont les deux clapets d'aspiration et de refoulement s, s', dans l'atmosphère, sont placés à chacune des extrémités du corps de pompe.
L'aspiration a lieu dans un cylindre A par l'intermédiaire d'un tuyau Tqui, en se bifurquant près du corps de pompe, aboutit aux deux clapets d'aspiration. Le cylindre se termine a la partie supérieure par un cône qui laisse passer à son sommet, à frottement doux, la tige du piston B. A l'extrémité supérieure de la tige est adaptée une boule B', munie d'une embase cylindrique qui vient reposer sur la troncature horizontale du sommet du cône; son extrémité inférieure est articulée k la manivelle d'une tringle horizontale C qui, en tournant, ouvre plus ou moins la vanne.
Au moyen d'une petite roue D, cannelée sur le pourtour, faisant corps avec une vis adaptée à un registre, on peut faire variera volonté la section d'un oriflce qui établit une communication entre l'air atmosphérique et le dessus du piston.
Supposons que, la pompe arrivée à fond de course, la boule repose sur son siège, ce qui correspond à l'ouverture complète de la vanne. La pompe venant à se mouvoir, il se produira dans le cylindre une diminution de pression d'autant plus grande que la vitesse de la pompe sera plus considérable; bientôt le système de B et B' sera soulevé, et l'arbre C fera fermer plus ou moins la vanne; par suite de l'introduction de l'air par Toriflce réglé par la roue D, le système BB' retombera sur son siège, et ainsi de suite.
L'ouverture de la vanne sera d'autant plus rapidement restreinte que la vitesse de l'arbre sera plus considérable. La
3l4 QUÀTBltlIE PjLITII. — GBtPITII III.
roue D permet de régler l' introduction de l'air pour une vitesse moyenne déterminée, qui peut être ainsi maintenue sensi-
blement constante, lors même que la résisunce utile vientà varier.
DBS RÉGULITIURS. 3l5
La détente étant très-faible dans le tuyau T, nous pourrons en /aire abstraction et considérer Tair comme incompressible.
Soient
P la pression atmosphérique ; n le poids spécifique de Tair à cette pression; tù la vitesse angulaire de Tarbre de la machine; A la surface du piston de la pompe; a celle de l'orifice d'aspiration ; p la pression variable dans le cylindre; S la surface du piston B ; .
Q le poids du système BB' ; r le rayon de la manivelle de la pompe ; S l'angle dont cette manivelle a tourné à partir d'un point mort.
Nous négligerons l'obliquité de la bielle de la pompe et l'effort très-petit, par rapport à Q, nécessaire pour faire fonctionner la vanne.
La vitesse du piston de la pompe étant tùrslnO, celle de
l'air à son entrée dans le cylindre B est (ur - sinOf d'après l'équivalence des masses ou des volumes. On a donc
^g a* Il
d'où
„ «Vsin'9 A'
Soii maintenant z la hauteur à laquelle le piston s'est élevé à partir de sa position la plus basse, ou pour 6 = o. Il est clair que Ton a
d'où
iPz -»
fl — -jgj = ~î8m'6— I,
2l6 QUATEltMB PARm. — CRAPITHE Ht.
en posant poar abréger
nr'S A*
et remarquant que (ùdt = dB.
Pour que Tappareil puisse fonctionner, il faut que, pour une certaine valeur de G, on ait
^'sin'»>..
ce qui exige que &> soit au moins égal à la valeur ui, que nous prendrons maintenant pour vitesse angulaire minimum.
L'équation (a) ne sera donc applicable qu'à partir de la valeur ff^ de 9 donnée par
W 8inô', = 5,
dz pour laquelle le piston B tendra à se déplacer, la vitesse -j.
étant nulle.
Une première intégration donne
Le piston B sera sur le point de retomber pour la valeur 0^ de Q plus grande que &^ et plus petite que i8o degrés, donnée par l'équation
Enfin on a, pour déterminer l'amplitude totale z. de Foscillation,
if.= ;fâ-)"'î-«'"
~4^L ^ (Ô'.-e^Jsmae'.J.
Soient maintenant
fui la vitesse angulaire maximum; Q la vitesse angulaire moyenne;
BBS RÉGCIATBUaS. 317
- l'écart proportionnel maximum de (ù, qui est une donnée de
la question et dont nous supposerons la valeurau plus égale i \, de manière à pouvoir en négliger le carré;
9s et d, les valeurs de ff^ et 0', correspondant à oh;
h la hauteur à laquelle doit s'élever le piston B pour que la vanne soit fermée.
On devra s'arranger de manière que h=z Zi pour ca = u,. Nous avons, comme plus haut,
»»,= û(i-i- — ), (»=n{i-i-i), îîî =!-+-!, d'où
8ine. = .-i, co8«.= Y/^(.-^) = y^(i-^).
et
Si maintenant nous posons 0i = /, / étant du même
ordre que -9 nous aurons
d'où
ain aO, = sîn W- » cosaO^ «= — cos 4 /- • L'équation (i) donne la suivante :
qui permettra de déterminer Q , dès que l'on se sera donné r et une moyenne valeur de -•
ai8 QUATElftMl PlftTU. — CHAPITEB IH.
L'équation (c) donne, pour &> = ct^st
D'après cette formule, on voit que da doit peu différer de -« et l'on aura une première approximation en posant
et enfin une seconde approximation , en portant la valeur déduite de cette formule dans le second membre de l'équation. C'est ainsi que nous avons obtenu les valeurs suivantes :
e, = 6a« 44'oo% 0, = 78» 56'28',
(3) (7 = ^ 0, = 69'38'io', ô, = 86»32'3%
L'écart d, — 9i ayant à peu près la même valeur dans ces trois cas, soit environ 16 degrés, un déplacement angulaire égal se produit pendant la chute du piston; de sorte que l'appareil ne fonclionne, ou les étranglements dans l'admission ne se produisent, que pendant 7 ou 7 de chaque révolution. Ce résultat s'accorde très-bien avec l'observation, chaque oscillation étant en effet d'une très-courte durée.
La formule {d) donne maintenant
d'où l'on déduira la valeur qu'il faut donner à A.
85. Du mouvement d'une machine à partir du moment où le régulateur entre en fonction. — Reportons*nous au n^ 67f dont nous conserverons les notations.
Soient fT{6)de, ff(0)de le travail moteur et le travail
DBS RÉGULÀlBUftS. 219
résistant utile; l'équation du numéro précité» qui s'applique au mouvement régulier, peut se mettre sous la forme
^(.»»-«;) = ;F(0)riD-//(0)d9,
en négligeant le travail des résistances passives; on déduit de là
Supposons que la résistance utile éprouve une diminution et que /(9) se trouve remplacé par 9(9); f (9) pourra, par exemple, être égal au produit de/(9) par un facteur constant plus petit que l'unité, diminué d'une constante.
Soient Gih la valeur de ta correspondant au moment où la vanne est sur le point de se déplacer; 6^ la valeur correspondante de 9. Pour l'un des régulateurs à boules que nous avons étudiés (76), la fermeture relative correspondant à la vitesse
angulaire u est de la forme k {"= ; U k étant une con-
stante. On a donc, i partir du moment où u a atteint 6>s, en supposant, comme approximation, que le travail moteur soit proportionnel au débouché de la vanne,
On ne pourra pas, en général, intégrer cette équation; mais, si j— ^ est asçez petit pour qu'on puisse le négliger devant
toi
l'unité, elle se réduit à
et peut se mettre sous la forme
i^) ^+-r-^i^-^xt?(«)-F(9)] = o.
en appelant u' la valeur de a> pour laquelle la vande est complètement baissée.
230 QirATRlÈHI PABTIB. ~ CHAPITRE III.
L'équation ( 3) a pour intégrale
(4) »'»î = |«*^- '• £ tF(9)-ç(9)]e*(---'.)'
Si la résistance utile vient à augmenter, il suffira de remplacer dans cette formule 6>, par la valeur (î)i de (a pour laquelle la vanne est sur le point de se lever, et o)' par celle <u' qui correspond au débouché complet.
Considérons, par exemple, le cas d'une manivelle simple a double effet; on a, d'après le n® 69,
F(0)==^QRsinO, /(ô) = QR.
Supposons que Q ait été réduit à yQ, y étant une fraction,
nous aurons <p(9) = yOR, et, en posant a= ^ , J^ r» l'é-
quation (4) donne
(5) «»- «J==?^e*«-«r-((r^ «••--«?-•«••.)- 7 r ^-«••dol,
L'intégrale comprise dans cette formule n'étant pas réductible en fonctions simples, on voit que le problème que nous nous sommes proposé de résoudre présente, dans l'un des cas les plus élémentaires, des difficultés de calcul inextricables. Néanmoins il ne nous a pas paru inutile de poser la question.
(' ) En supposant que Ton ait constamment ¥{$)> f{0), le maximum que m atteindra sera inférieur à m", valeur pour laquelle, d'après l'équation (3),
--JT- est négatif; m décroîtra ensuite sans pouvoir atteindre la valeur m„ pour
laquelle -^r- est positif. On comprend ainsi comment, par l'elTet des résistances passives, que nous avons négligées, il s'établisse, après quelques périodes oscUlatoires de m, une vitesse de régime comprise entre les limites *», et •t".
DBS KtOULÂTIUmS. 321
NOTE
DS L'lIfFLCI50B , d'uni RfiSISTANGB GOIfSTANTB SUR LB HOUTBHBIIT OSCILLATOIRB d'uH COEPSy PRODUIT PAR UNE GAUSB PÉRIODIQUB.
1. Best à peu près impossible de se rendre compte, a priori ^ de l'effet produit par une rô^tance constante ou un moment constant sur un mou- Tement oscillatoire de translation ou de rotation autour d'un axe, d'un corps solide, dû à une cause périodique.
Supposons que le mouvement oscillatoire soit défini par une équation de la forme
M étant l'angle que forme le plan méridien d'un véhicule avec un plan vertical de direction fixe, A, B, /i, e étant des constantes, de même que^, qui représente le terme dû à la résistance, et que l'on devra prendre avec le signe — ou le signe +, selon que la vitesse sera positive ou négative. Si l'on choisit convenablement l'origine du temps, on peut supposer
fB i e = o; en remplaçant /i par /, j par --- /i', g par 7, l'équation ci -dessus
prend la forme plus simple
^=cos/±7.
• ffjf
Par la nature même du problème, la vitesse ^ sera nulle à certains
instants; si 7 était supérieur à l'unité, il arriverait un moment où le mouvement oscillatoire ne pourrait plus se continuer; laissons de côté ce cas, qui ne présente aucun intérêt, et posons 7 = cosa. Nous aurons
(1) -^ =COS/±COSa.
Nous pouvons, si l'on veut, considérer cette équation conune étant celle du mouvement d'un point oscillant suivant une ligne droite, s représentant le chemin parcouru.
QUATRiftMB PAETIB. — GHAPlTai HI.
2. Décrivons une circonférence d'un rayon quelconque OÂ, de centre 0, et soient
AOA', BOB' [fig. ia5 et 126) deux diamètres rectangulaires;
Fig. 196.
t l'angle que le rayon Om fait avec OA ;
I le nombre de circonférences que comprend cet angle;
a le point de la circonférence OA défini par Tangle aOA = a.
Nous rappellerons que Tangle f', immédiatement supérieur à /, et qui a
le même sinus, est
/'=(4»-+-i)tr-r
lorsque m se trouve entre A et B, et
quand m se trouve entre A' et B'.
Soit r« le temps au bout duquel le mobile atteint une position pour laquelle sa vitesse est nulle. Si Ton a cosf, > o, on doit prendre, tant que la vitesse ne change pas de signe ni de sens,
-^ = COSZ — COSa,
Dans le cas où cosr« serait négatif, il faudrait employer Téquation
-jy = C08/-4- COSa,
qui rentre dans la précédente, en y changeant r en r + ?r et j en — ^ ; nous sommes ainsi conduit à supposer co8/0> o, et à faire usage de réquation (a).
3. Si cosa =r cos/«, on ne voit pas a priori ce qui doit se passer. Il est clair que le mobile reste d*abord au repos pour t = t^. Quand on a sin % > 0,
BIS mteULATiURS. aa3
C08/ allant en diminuant, le mobile continue à rester au repos; oos/ devient ensuite négatif, et alors on doit prendre la formule (a'), qui ne sera toutefois applicable qu'à partir du moment où l'on aura — cos/>cosa, et c'est alors seulement que le mouvement oscillatoire continuera.
Lorsque sinf, < o, cos/ va en augmentant, et le mouvement a lieu sans délai.
L*équation (a) donne, en appelant Y la vitesse, .
(3) V = ^ = sin/ — sinf, — (/ — *,) cos«,
et, en mesurant le chemin parcouru s à partir du point correspondant à /=/,.
(4) s= — cos* -+- cosr, — (/ — /,) sinf, — cosaf -^^^j •
Comme pour / = /, le second membre de Téquation (a) est positif,
V croit à partir de zéro et est positif; il atteint son maximum lorsque eos/ = cosa, et enfin devient nul pour la racine f,, immédiatement supérieure à /, , de l'équation
(5) sin*j — sin/, — cosa{r^— /,) =r o.
De ce que V > o pour cosf = cosa, la position m, de m correspondant it = t^ ne peut se trouver qu'au delà du point a. Pour une même valeur de /, mais en faisant varier l'angle a, on a
^ =8ina(/-l.).
V croît donc avec a et atteint son maximum lorsque a = 90^ ; il suit de là que, généralement, t^ est inférieur à la valeur qui correspond à a= 90*. Car si, pour une certaine valeur de a , V est nul , pour une valeur plus grande, V est positif. Dans le cas limite on a sin/', = sinf,, et, en substituant cette valeur dans le second membre de l'équation (3), on obtient
--cos«(f', — /,), qui est effectivement négatif, comme cela devait être.
Première oscillation,
4. Prsmibr cas : sin/, > o [fig, ia5) , ce qui , avec la suppoûtion de cosf,> o, indique que le point ut, de la circonférence correspondant à l'angle /, se trouve sur ce premier quadrant AB , et est placé entre a et Â, puisque cos/, > cosa.
aa4 QUATElfcMB PAETIB. — GHAPITRB III.
Soient
m',, a' les symétriques de m, et a par rapport à B'B;
a', a** les symétriques de a' et a par rapport à ÂA'; m\ correspond à
(4/ + i)7r — <*, d'où il suit que m^ ne peut se trouver que sur
Tare aBn/^,
Si le mouvement oscillatoire continue immédiatement après que Ton a f = /(, il est défini par la condition (a'), pourvu que
— cos/, > cosa,
ce qui exige que la position m^ correspondant à i^ se trouve entre o' et m\. Il faut donc pour cela que t = a/ir -+- it —a = (ai -+- 1) ir — a rende V positif, ou que
(6) sina — sin/, — cosa [{ai -+- 1) ir — a — /,] > o.
Si l'on désigne, pour abréger, le premier membre de cette inégalité par ?, en faisant varier t^ depuis aiV jusqu'à a/fr + a, on a
-? = — cos/. H- cosa < o.
La fonction y de r, est donc décroissante et sera positive pour /, = ar« si
tanga > Tf — a ou a > 64*,
et négative pour /, = aiV -h a. Pour toutes les valeurs de a comprises
entre 64 et 90 degrés, il y a donc une valeur t\ ^ . .'^ 'qui annule 7,
et lorsque /, < ^', la condition est satisfaite.
On a pour
= aiir,
a/ir -4- a4®,
a/TT -t- 38%
a/ff -+- 70".
Lorsque l'on aura . ^ / * ou a < 64^, le mouvement s'arrêtera jusqu'au
moment où le point m viendra en a\ et c'est seulement à partir de ce moment que commencera la seconde oscillation.
5. Deuxième cas : sin/, < o {Jlg. ia6) , ce qui, avec cos/, > o, indique que m^ se trouve sur le quatrième quadrant, et, comme cos/, > cosa, il ne peut être situé qu'entre o^ et A. Dans le cas actuel, on a
DBS RtGULÂTBOES. 'À')t&
cette limite supérieure correspond au symétrique ///, de m^ par rapport àBB'.
Gomme Y est maximum en a, le point m^ ne peut se trouver que sur Parc aBit/^. S'il tombe entre m'^ et a\ on a ~ cosi > cosa, et le mouvement oscillatoire continue sans interruption; pour qu'il en soit ainsi,
il £iut que
I, > (ai -4- aj^r -4- ir — « = (a/-t- 3)7r — . a,
ou que cette limite, substituée à f , rende V positif, ou enfin que sin« — sinf^ — cosa[(ai-+- 3) ir — a — /p]>o.
En désignant par f le premier membre de cette inégalité, on a
-2 = — cosr. H- cosa,
qui eet négatif pour toutes les valeurs admissibles de /,, c'estrà'^lire pour
/i ^ I . l '^ ^ ^ ; par conséquent 7 est une fonction décroissante de %
eotre les deux limites ci-dessus.
Lorsque
!• f, ■= (a/-4- a)ir — -a,
ooa
f ==: asina — Trcosa,
et cette valeur sera positive si
tanga > - ou a > 57®3o'environ ;
!• /, = la/-t- a)7r,
t est positif si
tangoc -+- a > r ou a > 64*.
hm a compris entre 57* 3o' et 64 degrés, il y a donc une valeur
''• ^^^■^^'^~* de t. qui annule v, et pour /,</', le mouvement <(ai-+-a)T • ^ ^
osdUaloire n'éprouve pas d'interruption, comme pour « > 64*".
Lorsque
a = 57*3o', on a /; = ( a/ -^ a) tt - 57»3o',
6o', (ai -*- a)» — aa*,
64", (ai-4-a)w.
Si m, tombe entre B et ^t'^ on a — cost^ < cosa; le mouvement s'ar- III. i5
:i26 QUATRIÈME PART». — CHAPITRE III.
réte jusqu'au moment où — cosf = co8«, c'estnà-dire lorsque m est venu
en à. Cette circonstance se présente quand / = (2/ + 2) ^ -h - rend V positif, ou quand
I — sinf, — cosa I (a/ -H 2 ) ïT H ^ 1 > o.
Si le premier membre f de cette inégalité est une fonction décroissante
de /. entre ^ ^ ; . l , cette fonction est positive pour s = 90*
et négative pour a = o. Elle s'annule pour a = 40*" 3o' environ ; de sorte que m, se trouve entre a' et B pour les valeurs de a comprises entre 4o*3o'et 57» 3o'.
Pour a < 40'' 3o', m^ tombe entre a et B; cos/. est positif, mais inférieur à cosa ; il y a donc un temps d'arrêt jusqu'au moment où nt, ayant dépassé B, arrive en a\ et c'est seulement alors que commence la seconde oscillation.
En résumé, pour qu'il n'y ait pas d'interruption dans le mouvement,
il faut que a < 64'» 3o', ou * ^ y .
Osciilations successives,
6. Examinons maintenant ce qui se prodait à la fin de la seconde oscillation.
De la formule (a') on tire
(7) V= ^ = — sm/ + sm/, — cosa(/ — r,)
ou, en ayant égard à l'équation (5),
(8) V= — sinr-+-asin/, — sin/o — (« — ^)cosa.
t^ / ZT rx sin/, >o sinr>o a>64'* jt« ,^,
Premier cas ( >&. ia5) : .C ' -. «• S ' * ^-^ î en d'autres
