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A l'état ordinaire
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88. Du coin, — On donne généralement le nom de coin à un corps solide placé entre deux autres (A), (B) ou les deux parties d'un même corps, et qui, sous l'action de forces extérieures, sépare ou tend à séparer (A) de (B).
Le plus ordinairement la surface du coin présente un angle dièdre dont les faces sont en contact avec (A) et (B); en limitant le coin par trois plans, dont deux sont perpendiculaires et le troisième parallèle à Tarète de l'angle dièdre, on obtient un prisme ou coin triangulaire dont nous nous occuperons exclusivement dans ce qui suit : la face opposée à l'arête est la iéte du coin.
Le ciseau, le burin, le tranchant du rabot, les dents de la scie, les aspérités de la lime, et en général la plupart des outils ne sont autre chose que des coins.
Supposons qu'un effort P (y?gp. 1^7 )y vertical si l'on veut pour fixer les idées, agisse normalement à la tête AB pour séparer (A } et (B), et soient m, m! les points de contact du coin, avec ces deux corps, qui sont censés situés dans le plan passant par la direction de P mené perpendiculairement à i'aréie C, on voit que l'on est ramené à considérer ce qui se passe dans ce plan.
a39 QUATBlftMB PAmm. -- CHAPITM IT.
Soient
N, N' les réactions normales de (A), (B); /le coefficient de frottement;
y, S les angles formés par AC et CB, avec la perpendiculaire CI abaissée du point C sur AB.
Fig, 127.
Si le sommet C s'éloigne ou tend à s'éloigner de m, m\ les réactions tangentielles N/, N'/ seront dirigées comme Tîndique la figure.
Les conditions d'équilibre de translation établies pour les directions de AB et CI s'expriment par les équations
N/siny — Ncosy -f- N'cos^ — N'/sin^ = o, P — Nsiny — N/CO87 — N'sin^ — N'/cos^ = o;
d'où, en remarquant que 7 4- d est Tangle C,
P(co8^ — /sin^) (I— /')8inC-+-a/cosC'
P(co87~/8in7) (i--/»)smC-H2/cosC*
Pour que le coin ne tourne pas dans son plan» il faut que le moment des forces qui le sollicitent) par rapporta un point
CALCUL BBS BiSlSTAKCBS PA88IYBS DAKS LB8 MACBINBSy BTC. 233
quelconque, m par exemple» soit nul» ce qui établit certaines relations de position entre les points d'application de P, N» N', et que nous supposerons remplies.
Pour que les choses se passent comme nous l'avons sup* posé, il faut que les valeurs ci-dessus de N etN' soient positives, ou que
cos^— /8in^> o, CO87— /8in7>o ou encore, en désignant par a l'angle de frottement, que
d'où
Lorsque cette condition n'est pas remplie, le coin, au lieu d'écarter (A) et (B), tend à être repoussé, ce qui explique pourquoi on ne parvient pas à enfoncer un coin trop obtus.
Proposons-nous maintenant de déterminer la valeur que doit avoir l'effort P pour que le coin ne sorte pas ou que (A) et (B) ne se rapprochent pas. Les frottements étant dirigés en sens inverse de ceux du cas précédent, il nous sufQra de changer/en —/dans les formules (i) pour obtenir celles qui se rapportent au cas actuel, ce qui donne
K— P(cos^-+-/sitt^) "" (1— y^)8inC — a/cosC'
^, P(C087-^-/8in7) (i-/»)sinC-a/cosC*
Pour que ces deux valeurs soient positives, il faut que
(i— /')sinC — a/cosC>o, d'où C>aa.
Si cette condition n'est pas remplie, il faudra que P soit négatif, ou que Ton exerce un effort de traction sur le coin pour le dégager de (A) et (B).
Revenons au cas que nous avons examiné en premier lieu et proposons-nous de déterminer le coefBcient d'effet utile du coin.
234 QUATRltaiB PARTIE. — CHAPITRE JV.
Soient
A'B' la position qu'occupe la tête à la suite d'un déplacement
infiniment petit du coin, parallèle à CI; C la nouvelle position du sommet; d$ = AA' = BB'.
Le travail élémentaire dépensé est, en ayant égard à la première des équations (i),
coso — /sin^
Or récartement de (A) et (B} n'est dû qu'aux forces N, N', dont le travail total représente ainsi l'effet utile. En remarquant que les distances de A' CI à AC, de B'C à BC sont res> pectivement cbsiny, ^ssind, le travail élémentaire utile est
(Nsin7-hN'8in^) ds,
et en le divisant par l'expression ci-dessus^ après avoirexprîmé N' en fonction de N au moyen des équations (i), on obtient, pour le coefficient d'effet utile,
{ x\ — sinC— a/sinysin^ sinC-t-/[cosC — cos(7 — ^)] ^ ^ *"" (i-/')sinCH-a/co8C " (i -/^) sinC -h a/cosC
Si l'angle C est donné, v sera maximum quand l'un ou l'autre des angles y, i sera nul, c'est-à-dire quand le coin sera.r^ctangle. Le rendement sera minimum, au contraire, quand on
aura y = d = -» c'est-à-dire quand le coin sera isoscèle.
On reconnaît ainsi, comme nous l'avons annoncé au n^ 61, l'influence que peut avoir la forme de l'outil sur la quantité d'ouvrage exécutée pour une dépense de travail donnée.
89. applications à la presse à coin. — Nous nous borne* rons à donner une description sommaire de cette machine qui sert à comprimer certaines matières pour en réduire le volume.
La matière à comprimer M {fig. ia8) est placée entre un mur J et un plateau vertical faisant corps avec une poutre ho«
CILGDL nS ISSISTANCBS PASSITBS HARS US XACBISSS, KTC. ^35
rizontale.I, dont H représente le support. L'extrémité de cette poutre, opposée à J, esi taillée suivant l'inclinaison de l'bypoiénuse AB d'un coin rectangle ABC, dont l'un des cAiés
d'angle droit est vertical et s'appuie contre an obstacle K. On comprend qu'en exerçant un effort normal P sur la tète AB on puisse comprimer la masse U à un degré déterminé.
Soient Q la réaction de M sur la poutre 1, qui est liorizonule, égale
et contraire à l'effort de compression; N' la réaction normale du support H sur I ; /' le coefficient de Trottement correspondant.
En ce qui concerne le coin, nous conserverons les notations du numéro précédent.
En supposant S=o dans la première des formules (i), on trouve
[i - P] aiaC-i- if cosC
Si l'on remarque que la pièce I est en équilibre sous l'action de Q, N', N"/ et de deux forces égales et opposées i N, N/, on a
0 -f- N'/'-.-N/siDC - NcosC = o, N'-N/cfl8C-NsinC = o; d'où, en ayant' égard à la valeur ci-dessus de N, P - n (i-/')tangC-Ka/
'^ -^ j-fUaiC-f(f^ tangC)'
a36 QiATRlfcMB PARTIS. — CHÂFITRB IT.
formule qui fait connaître l'effort que I*on doit exercer sur la tête en coin pour vaincre une résistance à la compression déterminée.
