deuxième Partie» en y faisant -7- = o» donnent la solution de
al
cette question; mais cette solution peut recevoir une simplification notable en procédant de la manière suivante :
Supposons, pour fixer les idées, que le mouvement de la tige considérée soit vertical, qu'elle s'élève sous l'action d'un système de forces ou de leur résultante appliquée en B
Fig. lig.
ISS
{fig. 129), et dont nous appellerons X, Y les composantes horizontale et verticale.
Soient
2 / la distance des deux couples de guides. A, Ai et A', A', ;
16 l'épaisseur de la tige ;
0 le milieu de la portion de son axe de figure comprise entre
AA|, A A, î
or, jr les distances du point 0 à Y et X ;
/ le coefficient de glissement que nous supposerons le même pour les quatre appuis; toutefois, nous représenterons par/' ce môme coefficient pour A% A',, pour faciliter la discussion, comme nous le verrons ci-après.
CALCUL DBS RftSISTAMCBS PAUITB8 BANS LBS MAGHINB&y BTG. zSy
Admettons, sauf vérification ultérieure, que la tige s'appuie contre les guides A, A' situés du même côté de Taxe de la pièce, et dont nous désignerons par N, N' les réactions nor* maies. Nous aurons pour les conditions d'équilibre de la tige, en prenant le point 0 pour centre des moments.
d'où
X = N-+-N', Y=N/-hN'/,
(N-N')/- (N/H-N'/)e-+-Yx-X7=o;
Pour que les choses se passent comme nous l'avons supposé, il faut qu'après avoir supposé/' =/ on obtienne pour N et N' des valeurs positives; et, s'il en est ainsi, la première des équations précédentes fera connaître la relation qui doit exis* ter entre X et Y pour que le mouvement de la tige soit uniforme- Mais supposons, par exemple, que l'on obtienne pour N' une valeur négative, il faudra faire une autre hypothèse sur le choix des guides qui doivent fonctionner; celle qui offre la plus grande probabilité de réussir consistée substituer A'i à A'; mais on voit de suite que les formules (2) s'appliqueront au cas actuel» en y remplaçant N' par — N', et comme le frottement ne change pas de sens, /' par — /, excepté dans les termes en e, parce que le moment de N'/' change de signe. Si l'une des valeurs de N, N' était négative, on essayerait les deux autres hypothèses, dont l'une naturellement doit réussir.
91. Fis à filet rectangulaire. — Nous admettrons, pour fixer les idéesj que Técrou est fixe et que l'axe de la vis est vertical. Nous supposerons que la vis est sollicitée par une force Q, dirigée suivant son axe (^g. i3o), et, pour ne pas avoir i tenir compte de frottements latéraux, que cette force et le
238 QUATIltlIK PART». ^ CHAPITRB IT«
frottement sont maintenus en équilibre par un couple (F, de bras de levier a, perpendiculaire à l'axe ci- dessus.
Soient
r le rayon du cylindre de l'hélice moyenne du filet;
/ Tinclinaison de l'hélice sur un plan perpendiculaire à Taxe;
/ le coefficient et a l'angle de frottement de la vis sur l'écrou.
La saillie du filet étant relativement très-faible, on peut, sans erreur appréciable, supposer que les réactions normales de l'écrou sur ce filet se réduisent à des forces réparties sur rhélice moyenne. Nous considérerons, dans ce qui suit, le moment Fa comme positif ou négatif selon qu'il tendra à faire descendre ou remonter la vis.
Désignons par N la réaction normale de l'écrou sur la vis correspondant a un élément de l'hélice moyenne.
1" Supposons d'abord que Q tende à faire descendre ou fasse descendre la vis d'un mouvement uniforme. Dans ce cas, c'est la partie inférieure du filet de l'écrou qui réagit sur le filet de la vis, et à l'inspection de la ^g. i3o on voit que les conditions d'équilibre de translation de la vis parallèlement à Taxe et de rotation autour de cet axe s'expriment par
Q = 2N (C08I -hfsïni) = (008/ -H /sin/) 2N, Fa = 2N(/c08i — sini) r== r{/c08l -sill/)2N ;
CALCUL DBS RÉSISTANCES PASSIVES DANS LSS HACRINBS, ETC. aSg
d'où, par Félîmination de IV,
Si i<l«9 le couple devra tendre à produire le mouvement;
Si { = a, la force Q fera équilibre au frottement;
Enfln» si i^a, il faudra appliquer à la vis un couple ten-dant à s'opposer à un mouvement de descente.
2<» Supposons maintenant que la vis ait une résistance à vaincre (c'est ce qui arrive notamment quand on serre une vis dans du bois ou du métal); nous devrons, dans ce qui précède, changer Q en — Q etN en -— N, puisque c'est la partie supérieure du filet de l'écrou qui réagit, et enfin /en — /, puisque le frottement ne change pas de sens. On trouve ainsi
(a) Fa=:Qr r-*^^ . . = Qrlang(a-*- / .
^ ' 008/— /sin/ °^ '
Pour que Ton puisse serrer la vis, il faut que Fa]>o ou
Pour 1^ go*— a le serrage sera impossible.
La formule relative au dévissage s'obtiendra en changeant /en —/dans la précédente.
On arriverait à des résultats semblables a ceux que nous venons d'obtenir en supposant la vis fixe et l'écrou mobile sollicité par la force Q et le couple (F, — F).
92. Fis à filet triangulaire. — Conservons les notations du numéro précédent en considérant le premier cas que nous avons examiné.
Soient (^/f. i3i)
mz la verticale du point m du filet où s'exerce la réaction normale N ;
my la perpendiculaire abaissée de ce point sur Taxe de la vis;
mx la portion de l'horizontale perpendiculaire à my située en sens inverse du mouvement de rotation de la vis;
a4o QUATElftai PAftt». ^ CHAPITIB IV.
X l'inclinaison du profil du filet sur my;
a, f^, y les angles formés par N avec nur, my, mz^
En exprimant que la direction de N est normale à mx^ my^
on a
008 a 008/ + cos78inf = o,
cospcosX -H COS7 sinX = o ;
d'ailleurs
d'où
OOS'a H- COS'p H- 008*7 = I ,
V^i 4- tang'/ -H taDg'7
— tangi /mâng'i -♦- tang'X
Les équations d'équilibre de translation et de rotation sont par suite
Q= 1 (Ncos7-h
N/8ini) = iy.
langV + tang
= -t-/8inA
Fa=r2(N/cosi d'où
= I fcOBi^
tang/
V^i -h tang'/-4-tang'>
iN,
F — O /<^Q^^V' "^ tang*/ H- tang*X — tang/ /siniYi -♦- tang'i -h tang'X -h i
Cette équation se discutera de la même manière que i'équa-
CALCUL DSS RÉSISTANCES PASSIVES DANS LES 11 ACHlIf ES, ETC. 2^ I
lion (i) du numéro précédent à laquelle elle conduit d'ailleurs, en supposant X == o.
93. Frottement des tourillons sur leurs coussinets. — La considération du mouvement d'un tourillon sur son coussinet se ramène à celle d'une section faite par un plan perpendiculaire aux génératrices.
Soient ijig.i^n)
Fig. i3a.
C le centre du coussinet;
0 la position du centre du tourillon lorsque l'arbre est au repos, le tourillon reposant, par son point le plus bas m, sur son coussinet;
p le rayon Omdu tourillon.
Dès que, sous l'action de la force motrice, l'arbre se met en mouvement, de la gauche vers la droite, par exemple, le tourillon roule à droite sur le coussinet jusqu'au moment où sa réaction tangentielle atteint son maximum, c'est-à-dire la valeur du frottement de glissement.
Soient maintenant
Ot la position que prend alors le centre du tourillon;
mt son point de contact avec le coussinet;
F la résultante des forces qui agissent sur le tourillon, estimée
dans le plan de la flgure, et qui passe nécessairement par
le point /7ii; N la réaction normale du coussinet en /n, ;
A l'interseclion de la direction de F avec la yeriicale du
point 0 ; y l'angle connu mAm,; 9 l'angle inconnu mCmi.
On a, d'après la figure, en se rappelant que Tangle Cmi A esi égal à l'angle de frottement a,
et, pour rétendue du roulement,
mm^r= p(7-f a);
comme on a Fr:^ N v/i-t-/', le moment du frottement, pris en valeur absolue, a pour expression
N/p = Fp~L^,.
Les mêmes considérations s'appliquent au frottement de l'œil d'une poulie sur un tourillon fixe.
94. Équilibre des forces appliquées au treuil en ayant égard au frottement. — Pour fixer les idées, nous supposerons que l'axe du treuil est horizontal et que la résistance à vaincre Q est verticale.
Soient (/g-. 1 33)
Fig. i33.
P la puissance censée comprise dans un plan perpendiculaire à l'axe;
