CHAPITRE IL

TRAN^VRHATION DU MOUVEMENT REGTUIGNE CONTINU EN RBCTUJGNE CONTINU.

5. Poulie fixe. — Lorsque l'on ne veul transformer que la direction du mouvement ei non sa vitesse, on emploie la poulie fixe (fig. i4), qui consiste en une roue mobile dans une chape autour d'un axe Qxé, tantôt à la roue, untAt à la chape qui est accrochée en un point fixe.

' La jante de la roue est creusée en gorge pour recevoir une corde kabh qui embrasse un certain arcaÂ. Si l'extrémité A de la corde s'éloigne de a d'une certaine longueur dans la direction de Aa, B se rapproche de b de la même longueur, de sorte que la direction seule du mouvement est changée.

Si P et Q sont les efforts moteur et résistant, dirigés suivant ak, AB, il faut pour l'équilibre, en vertu soit du principe du travail virtuel appliqué à la corde, soit du théorème des moments appliqué à l'axe, que l'on ait P~Q, en négli> géant toutefois le frottement de la poulie sur son axe.

Cette égalité n'est d'ailleurs qu'une vérification d'un théorème plus général relatif à l'équilibre d'un Gl en contact avec une courbe Oxe (deuxième Partie, n' 86).

12 QUÀTMfcllB PAMTIB. — CHAPlTkB II.

Lorsque les deux cordons Aa, Bb sont parallèles, la corde embrasse )a moiiié de la circonférence, et les mouvements des deux cordons sont parallèles et de sens contraires.

On peut transformer l'un dans l'autre deux mouvements reclilignes ayant la même vitesse, dont les directions AB, CD ne sont pas comprises dans le même plan de la manière suivante : on joindra deux points B et C de ces directions, on disposera ensuite deux poulies dont les gorges seront respeetivemeat tangentes à AB et BC, BC et CD ; on fera enfin passer sur ces deux poulies une corde dont les deux cordons extrêmes seront dirigés suivant AB et CD, ei il est clair que la transformation sera opérée.

6. Lorsque l'on veut modiQer à la fois la direction et la vitesse du mouvement, on emploie la poulie mobile ou les mou/les.

Dans la poulie mobile (/g. i5) une des extréqiilés A de la

fie- >5.

corde est attachée à un crochet; la poulie repose sur la corde et à sa chape se trouve ordinairement suspendu un poids Q, qu'il s'agit d'élever en exerçant suivant 6B un ceruin effort P.

' TRAlVSFORXATIOlf BU MOUYJBMBNT ftSCTILIGNB GOIfTIKC, BTG. l3

Pour qu'il y ait équilibre de la corde sur la poulie, il faut que la tension T de Aa soit égale à P; et enfin, en négligeant les résistances passives^ il faut, pour que la poulie soit en équi* libre, que Q soit égal et opposé à la résultante de ces deux forces, et, par suite, que la bissectrice de l'angle formé par les deux cordons, ou dé celui 2a formé par les rayons Oa, 06, soit verticale. On a ainsi la relation

Q = aP sina.

Soit dY le déplacement élémentaire que subit Q lorsque B6 s'allonge de ia; le principe du travail virtuel donne

d'où, en vertu de la relation précédente.

asm a

mais dY ne peut s'exprimer en fonction de a et de sa variation que si le cordon B6 est assujetti à certaines conditions.

(') On éprouTe généralement quelques difficultés à établir directement cette relation, et par suite à Térifier le principe du traTail virtuel sur la poulie mobile. Ces difficultés ne sont qu'apparentes, comme nous allotas le Toir.

Soient {J!g. i6)

B un point déterminé de la corde, correspondant à la longueur S = Aa&B mesurée k partir du point fixe A. Nous supposerons la force P appliquée au point b;

Ax, kx rhorizontale et la verticale du point A;

x^X les coordonnées de B par rapport à ces axes ;

Y = 01 l'ordonnée verticale do centre O de la poulie ;

l4 QCâTRIÈMB partie. — CHAPITRI II.

par exemple, comme celle de passer par un point fixe ou sur une poulie fixe.

Lorsque les cordons sont parallèles ou que a = 90, on a

ce qui est visible a priori.

7. Une mou/le se compose de deux systèmes^ formés chacun de poulies réunies dans une même chape : la chape de l'un des systèmes est fixe; à celle de l'autre est accroché un poids Q qu'il s'agit d'élever au moyen d'une corde dont le

J et c les milieux de la corde et de l'arc aè; R le rayon de la poulie ;

On a

aOc = cOb = xKa — a.

L'angle ai(pi formé par Ax et B3 est aassi égal à a. La figure donne

(1) j' ^ (« — «') sîn a.

(2) * ^- (tt-t- K')co8a-+- aKsina.

(3) S i^a-t-tt'-f-aRa.

( 4 ) Y -T- R cos a :=^ tt sin oe

Pour un déplacement infiniment petit du cordon, on a les Tariations ôi^ :^ (^tt — J«' ) sin a -f- ( £1 — m' ) cos a ^a, $x -- ( ^M -H ^u' ) cos a -- («-T- «') sinaJa-h aRcosa^a. Le déplacement de B, suivant ^6, a par suite pour expression $9 = Sx cos a — ^ sin a — Su (cos' a - - sin' «) -+- Su' — 2 « sin a cos a ^a -t- s R cos" a Sft ; mais, S restant constant, l'équation (3) donne

Su' — — Su — aR^a.

Portant cette Taleur dans l'expression de Se, on trouve

Sv ~ — 2 sin a {Su sin a -H u cos« Ja 4- R sinaJa), -—'- 2 sin a.cT (usina — Rcosa), oUf en vertu de l'équation (4),

^a = - - 2 sin a ^Y, ce qui n'est autre chose que l'équation (2) du texte.

TEARWOHNATIOH 00 IDUTUIIIT IBCTIlIfiHI CORTIHU, BTC. 13

brin libre, suivant lequel s'exerce l'effort P, correspond à une des poulies de la chape supérieure, passe de là sur une poulie de la cbape inférieure, puis sur une poulie de la chape su~ périeure et ainsi de suite, et vient finalemeni se fixer en un [)Oinl de la cbape supérieure.

Lorsque les poulies de chaque système sont montées sur le même axe {fig. 17). comme dans \e<palan, elles sont toutes de même diamètre, et les cordons intermédiaires sont tous parallèles.

Fig. i;. F^. 18.

Dans le cas contraire {Jig. 18), le parallélisme n'existe plus; mais comme, en général, les chapes sont éloignées l'une de l'autre, par rapport à la différence de diamètre de deux poulies correspondantes de l'un et de l'autre système, on peut encore sans grande erreur supposer que les cordons sont parallèles.

l6 QCâTEIÈHB PàETIB. — GHAP. II. — TRANSFOEHATIORy BTG.

Soit n le nombre des poulies de chaque système ; si Ton remarque que la tension du premier cordon intermédiaire est égale à P, pour qu'il y ait équilibre sur la première poulie supérieure, on voit qu'il en est de* même de la tension de tous les autres cordons, de sorte que le poids Q fait équilibre à 2n forces égales à P dirigées suivant les cordons qui soutiennent la chape inférieure; on a donc

et, par conséquent, en vertu du principe du travail virtuel, la

hauteur dont s'élève le poids Q est la fraction — de l'accrois-

sèment correspondant de la longueur du cordon libre ^ ce qu'il est facile de voir à priori; car, si le cordon libre s'allonge d'une certaine longueur s, le restant de la corde, composé de 2/1 cordons, se raccourcit de la même longueur; chacun

des cordons se raccourcit donc de -? qui représente la hauteur dont la chape inférieure s'est élevée.

TUnSFOUATIOH DU HOUTIMBHT CIKCnLÀl» COnTlNO, ETC.