CHAPITRE III

TRANSFORMATION DD MOnVEHENT CIRCUUIRB CONTINU EN ORCULAIHE CONTINU.

§ I. — Let axes de rotation sont parallèles.

8. Courroies sansjin. — Lorsque l'efTorl à transmettre d'un aie à un autre ne dépasse pas certaines limites, on peut réaliser cette transformation en employant deux poulies montées respectivement sur les deux axes, de manière que leur plan moyen soit le même. Sur les poulies passe une courroie dont les deux bouts sont cousus solidement (sans augmentalion d'épaisseur} et qui, à l'état de repos, est plus ou moins tendue. Pour empêcher la courroie de se dégager, on a soin de bomber ou d'échancrer sur les deux bords la janie de chacime des poulies; à l'inspection des Jig. 19 et 20, on com-

Fi(. 19. Fig. îo.

prend que l'une ou l'autre de ces dispositions tend à prévenir,

dans certaines limites, tout déplacement latéral de la courroie.

Si les mouvements de rotation doivent être de même sens,

OD dispose la courroie suivant les tangentes extérieures aux

l8 QUàTRIÈHB part». — CHAPITRE III.

profils des poulies (fig. 21 ); dans le cas contraire, la courroie

Fig. ai.

esl dirigée suivant les tangentes intérieures {Jig. 22). Dans Tun et l'autre cas, Tune des poulies en tournant entraîne la

Fig. a a.

courroie qui, à son tour, met en mouvement l'autre poulie. En admettant qu'il n'y ait pas glissement de la courroie sur chacune des poulies, ce qui n'est pas tout à fait exact, comme nous le ferons voir plus loin, les vitesses des deux poulies à leurs circonférences sont égales, et, par suite, les vitesses angulaires sont en raison inverse des rayons.

Lorsque, par l'usage, une courroie s'est trop allongée pour qu'à l'état de repos elle n'ait plus la tension voulue, le plus ordinairement on remplace la couture par une autre après avoir raccourci la courroie en conséquence, afin que pendant le mouvement elle puisse transmettre l'effort de Tune à l'autre poulie. Dans d'autres cas, on exerce sur l'un des brins une compression par un rouleau tournant autour d'un axe faisant corps avec un levier mobile autour d'un axe fixe, ces deux axes étant parallèles à ceux des poulies; un poids, auquel on peut faire occuper différentes positions entre l'axe fixe

TSAItSPOMIATIOlf DU lOOnMERT CIICDUI» COHIIHU, ETC. I9

elle rouleau, permei de produire l'effort voulu de cumpression. Cette disposition, qui a reçu le nom de rouleau tenseur, est représentée par la^g-. a3.

Fig. 33.

9. Chaînes et câbles. — Quelquerois, dans le cas de la^g-. a i , on remplace la courroie par une chaîne; si l'adhérence de la chaîne sur les poulies n'esi pas suffisante, en raison de l'effon que l'on a à transmettre, on arme leurs jantes de saillies qui servent de points d'appui aux maillons.

On emploie avec succès, dans certaines circonstances, pour Iransmeiire le mouvement à de grandes distances, des câbles en fil de fer passant sur des poulies à gorge. On a reconnu par expérience que, pour se trouver dans de bonnes condi' lions, on doit donner au câble une vitesse de aS à 3o mètres par seconde et prendre le diamètre des poulies égal à 200 fois environ celui du câble.

10. Courroies d'embre^ge. — On peut transporter le mouvement d'une poulie sur une autre de même axe, à l'aide d'une fourche d'embrayage, entre les branches de laquelle s'engage

Hg. A-

le brin arrivani de la courroie, ei que l'on peut à volonté déplacer amour d'un axe flxe [Jig. 34).

20 QUATRlftHB PÂETII. — CHAPITRE IIK

!!• Transfonnation de mouvements de rotation parle con^ tact. — Lorsque Teffort à transmeltre est foible, on peut em* ployer, comme dans les tire-sacs de quelques moulins, deux plateaux ou poulies sans gorge, à axes parallèles, dont les plans moyens coïncident et dont les jantes sont recouvertes de buffle. Les garnitures de buffle sont en contact et exercent l'une sur l'autre une pression qu'on règle en conséquence et d*où résulte une adhérence qui permet de réaliser la transformation.

Lorsque l'effort à transmettre est supérieur au maximum de l'adhérence que l'on peut produire, on a recours aux engrenages, dont l'étude exige la connaissance de quelques propriétés des enveloppes des courbes planes, et que nous établirons préalablement.

12. Digression sur les enveloppes des courbes planes. — Soient, à un instant donné,

AB l'élément commun à deux courbes (S'), (S), comprises

dans un même plan, la seconde roulant sur la première

supposée fixe; BC',BC les éléments de (S'), (S), qui doivent venir en contact

au bout du temps dt; Q la vitesse angulaire instantanée de rotation de (S); R, R' les rayons de courbure des courbes mobile et Gxe; ds la longueur commune des éléments BC, B'C; dt le temps employé pour que ces deux éléments viennent

en contact.

Il est clair que 12^/ est égal à l'angle CBC, ou à la somme, ou à la différence des angles de contingence des deux courbes au point de contact, selon qu'elles opposent ou non leurs convexités. Si nous convenons de considérer R comme positif avec R'<;R, dans le premier cas, et comme négatif dans le second, nous pourrons écrire d'une manière générale

Supposons que la courbe mobile (S), en contact en A {fig. a5 ) avec la courbe fixe (S'}, entraîne, dans son roulement sur cette

TRAUSPOMIATIOlf BC MOUTBHBlfT CIRCULAIRE CONTIITU9 BTG. 21

dernière, une autre courbe ma de forme invariable, et proposons-nous de déterminer V enveloppe des positions de ma ou ]a courbe ùnemaf à laquelle elle reste constamment tangente.

La rotation £2 autour du point A peut être considérée comme se composant d'une rotation égale et de même sens autour du point de contact m de ma et ma' y et d'une translation Û.Am perpendiculaire à mA; mais, comme ma ne peut éprouver de déplacement que suivant la tangente en m, il s'ensuit que la normale au point de contact de l'enveloppe et de l'enveloppée passe par le point de contact des courbes (S) et (S').

En appelant p la normale A m, la translation ci-dessus donne lieu^ dans le temps dt^ au déplacement

. Si.mk.dt = /> fi -+- ~ j rfS

suivant la tangente en m, qui mesure le glissement élémentaire de ma sur ma', Poncelet a déduit du théorème précédent un tracé très-

Fig. 36.

simple de Tenveloppe; à cet effet, marquons sur (S) (Jlg. 26) les points équidistants o, i, 2,..., dontl'équidistance soitassez

aa quàtrièhb partis. — chapitre m.

petite pour que Ton puisse considérer l'arc correspondant comme reciiligne ou égal à sa corde, ce qui peut se faire avec un compas dont l'ouverture reste constante. Abaissons de ces points les normales O.K., i.Ki, 2.K,9...sur Am; des points équidislants o^ i^ a',. . ., marqués sur (S'), et dont l'équidistance est la même que pour (S), pris comme centres et avec des rayons respectivement égaux à o.Kt^i.Ki,..., décrivons des arcs de cercle ; ces arcs de cercle se couperont successivement et seront tangents à l'enveloppe que Ton déterminera ensuite par le tracé d'une courbe continue menée tangentiellement aux mêmes arcs. Il est évident d'ailleurs que cette méthode est générale, c'est-à-dire que les courbes (S) et (S^ opposent ou non leurs convexités, et la figure montre que, dans tous les cas, le contact aura toujours lieu entre la partie de l'enveloppée extérieure à (S') et lapartie de l'enveloppe in* térieure'à (S), et inversement.

Lorsque l'enveloppée est un point m, les normales se réduisent aux distances de m aux points o, i, 2,..., et l'on peut tracer ainsi très-facilement l'enveloppe qui est une épicycloTde.

Proposons-nous maintenant de construire le rayon de courbure de l'enveloppe d'une courbe.

Soient (fig. 27), pour le point de contact A,

Fig. 7^,

0, 0' les centres de courbure de (S) et (S'); C, C les centres de courbure de l'enveloppée et de l'enve* loppe ;

TRAKSFORMâTION du HOUTBHSIIT CIRGCLAIEB COlfTIKU, FTG. ^3

p, p' les rayons de courbure correspondants ;

Al, A\ les points de (S) et (S') qui viennent en contact au bout

du temps di; /Ri, ni^ les points correspondants de Tenveloppée et de Tenve-

loppe : les points mi. Ai, C sont en ligne droite, ainsi que

K, K' les points d'intersection de la perpendiculaire en A à la

normale CC avec les droites AiC et A', C; 9 l'angle formé par la normale A m avec 00^

On a

AA', = AA, = rff,

et évidemment

mm\ = AK'-TôT = ds cos<p -r^ — > AC p ~P

. Cm j P

mm. = AK TTr = "S cosç — ■ — • AC ^ p-^P

La différence de ces deux éléments ou le glissement élémentaire a donc pour valeur

' \?-p F-^pJ Kp-p p-^pJ

ety en identifiant cette expression à celle que donne la formule (2), on obtient

\P—P P^PJ ^ ^

relation au moyen de laquelle Savary a donné la construction suivante, pour trouver le centre de courbure de Tenveloppe, connaissant celui de l'enveloppée.

Soient H' l'intersection de la droite AK'K avec la direction de (yC'f V le pied de la perpendiculaire abaissée de 0' sur CC; on a

AH'= OV ^ = R'«n, ^-^^1 = ^^

Si H est pour la courbe ma le point analogue à H' pour

a4 QUATEltaB PARTIS. — GHAPITRB III.

la courbe ma', on trouve de la même manière