CALCUL DBS RÉSISTANGBS PASSIVES DANS LES MACHINES, ETC
A',, A, les points par où passent les réactions sur le rouleau de MH', NN', le premier situé à gauche de A et l'autre à droite de A ;
d'= A'A',, ô = AA, les coefficients de frottement de roule* ment du rouleau sur MM% NN';
/S / les coefficients du frottement de glissement correspondants;
R le rayon du rouleau;
q son poids;
Q la position du poids de MM' agissant sur le rouleau;
F l'effort horizontal nécessaire pour vaincre le frottement.
Les composantes horizontale et verticale de la réaction de HM' sur O sont respectivement égales à Q et F; la réaction en A, devant faire équilibre à la précédente et au poids q a pour composantes horizontale et verticale deux forces —F et — (Q -+- ç) de sens contraire à F et Q.
En prenant les moments par rapport au point A, par exemple, des forces qui agissent sur le cylindre, on a
d'où
Cette formule s'applique également au système tout entier, en appelant Q la charge totale, q le poids des deux rouleaux et F Teffort de traction total.
Pour qu'il n'y ait pas glissement, il faut que les réactions horizontales F en A et A' soient inférieures aux frottements de glissement Q/', (0 -H?)/, ou que Q soit supérieur à la plus
grande des valeurs v — ^7 et - -^ ^r '
^ ïR" ^ aRT
108. Plaques tournantes des chemins de fer, — Une plaque tournante [Jîg, 147) est soutenue vers sa circonférence extérieure par des galets identiques également éloignés de l'axe de
2So QUlTRlftHB Pik&TIB. — GHAPITBB IV.
la plaque; les galets^ qui oni la forme de cônes tronqués dont les sommets se trouvent sur cet axe, sont adaptés à une monture indépendante de la plaque ei formée de tiges de fer qui rayonnent autour d'un collier enveloppant la crapaudine. Ces
Fig. 147.
cA
■-«Jffliffllllll
galets reposent sur un chemin de fer circulaire fixe, et la forme tronconique qui leur est donnée a pour objet de leur permettre de rouler sur le chemin de fer et sur la face inférieure de la plaque suivant toute la longueur de la génératrice de contact.
Soient
R le rayon moyen ;
q le poids d'un galet;
Q la portion de la charge qu'il supporte;
a la distance à l'axe de la plaque du plan parallèle aux bases du tronc de cône et équidistant de ces bases;
F l'effort horizontal compris dans ce plan qui doit faire équilibre aux résistances éprouvées par le galet;
i', à les coefQcients de frottement de roulement du galet sur la plaque et le chemin de fer.
L'équation (i) du numéro précédent s'applique dans le cas actuel, attendu que les réactions de la plaque et du chemin de fer forment deux couples qui ne donnent aucune pression et par suite aucun frottement sur l'axe du galet, et Ton a, pour le moment de F par rapport à l'axe de la plaque.
Cette formule donne également le moment total qu'il faut produire pour faire* mouvoir la plaque, abstraction faite de tout frottement latéral du pivot de la plaque sur son guide, en y
CALCUL DBS BftSISTAlfCBS PASSITBS DANS LES MACHINES^ ETC. 2bl
supposant que Q représente le poids de la plaque et de sa charge, q le poids total des galets.
Si le moment est celui d'un couple, il n'y a pas de frottement latéral du pivot de la plaque sur son guide; s'il est produit par une force P, elle développe un frottement sur ce
guide dont le moment sera P
9 p étant le rayon du
tourillon, /le coefficient de frottement de glissement. En appelant b le bras de levier de P, on aura
iK
ce qui fera connaître la valeur de P.
109. Tourillons à roulettes.-- Machine djétwood.-— On peut réduire dans une proportion notable la résistance au mouvement d'un arbre, en faisant reposer ses tourillons sur les jantes croisées de deux couples de roulettes identiques, montées deux à deux et d'un couple à un autre sur un même axe parallèle à celui de l'arbre. La machine d'Atwood dont nous allons nous occuper offre un exemple de cette disposition.
Fig. i48.
Q-^QiT
Nous pourrons, par la pensée, réduire les deux couples de roulettes en un seul, dont le plan moyen coïnciderait avec
282 QUATRIÈMB PARTIE. — CHAPITRB IV.
celui de la poulie, en supposant chaque roulette de ce couple sollicitée par la résultante des forces extérieures agissant sur les deux roulettes montées sur le même axe. Soient (yî^. 148)
Oi le centre de la poulie;
Ri son rayon ;
pi celui de son tourillon;
Il son moment d'inertie par rapport à son axe;
0, 0' les centres des roulettes sur lesquelles reposent les tourillons de la poulie;
R le rayon de chacune d'elles;
p celui de ses tourillons;
q son poids;
I son moment d'inertie par rapport à son axe;
/ le coefficient de frottement des tourillons sur les coussinets;
ay l'angle OOiO';
Q -^ Qi> Q deux poids accrochés aux extrémités de droite ei de gauche du fil qui passe sur la poulie, poids qui déterminent un mouvement de rotation de cette dernière, dont nous représentons par (ù la vitesse angulaire ;
A, A' les points de contact géométrique des roulettes 0, 0' avec le tourillon de la poulie;
Al, A', les points de leurs circonférences où passent leurs réactions sur le tourillon ;
i = A A,=: A' A', le coefficient du frottement de roulement;
N, T les composantes normale ettangentielle de la réaction de la roulette 0 sur le tourillon de Ot ;
N% T' les composantes semblables relatives à la roulette 0'.
Nous négligerons dans ce qui suit les termes du second ordre en S et/.
L'équation des moments par rapport à l'axe de la poulie considérée comme libre est, en remarquant que la vitesse de Q-^Qi et Q est wRi,
' dt g ^ (ii g * dt ^ ' ^ ' *^*
CALCUL DBS RftSISTAMGES PASSIVES DANS LES MACHINES, ETC. ^83
En posant
elle prend la forme plus simple
La résultante Si des forces extérieures qui agissent sur les poulies est verticale et a pour valeur
^ ^' g ^ d£ g dt ^'
ou
et comme elle doit faire équilibre à N, N/, N', N'/, on a
JR^(N-+-N')cos7-h(T-T')sin7, ^ ^^' } o = (N~N')sin7-(T-f-r)cosjf.
En négligeant le frottement, par suite T et T', on a
(4) Nr^N'--^,
et l'équation (i) se réduit approximativement à la suivante :
La pression sur Taxe 0 ou la résultante du poids q et de la force égale et contraire à la force N, dont la valeur est donnée par Téquation (4)> si pour expression
ou, en se rappelant le théorème de Poncelet, 0,96 ( 1- y) -♦- 0,40 — tang7 = (o,48 -h o,aotang7) Jl -1-0,967.
284 QUATRlftMB PARTIE. — CHAPITRE IT.
On a, par suite, pour Téquation des moments relative à la roulette considérée, en remarquant que sa vitesse angulaire
est w ^ j
MX
<^' ™-.j^*-I^^-/p(o.48+-o,aoteng7)A-o,96/pj-o.
Comme on obtient une équation complètement identique à la précédente pour là roulette 0', on a T = T', et l'équation (i') devient, par l'élimination de ces composantes.
{^^l^iî)~-Q,^,-'^s,,,-^,^.ÙM,
en posant, pour abréger,
^^^ ^"" ïû^Tv"^^ (o,96-r-o,4otang7).
Si maintenant on remplace, dans l'équation (6), Si par sa valeur (2), on trouve
On voit ainsi que les termes qui dépendent du frottement de
glissement sont multipliés par la petite fraction ~ ^ de sorte
que, en résumé, en considérant que le frottement de roulement donne des termes très-petits, les résistances au mouvement de la poulie sont beaucoup plus faibles que si elle reposait directement par des tourillons sur des coussinets.
110. Engrenage sans glissement de Hoocke ou de Wkyte. — Considérons deux cylindres circulaires extérieurs, en contact suivant une génératrice, tournant autour de leurs axes, de manière que par leur adhérence le mouvement de rotation de Tun détermine celui de l'autre. Comme nous l'avons vu, on est ramené à supposer que l'un des cylindres roule sur l'autre regardé comme fixe.
CLLCUL DES ItBISTlNCBS PaS8IT<8 DàKS LIS MACHinES, ZTC. a85
Si sur ces cylindres on a tracé deux hélices de même sens et également inclinées sur les génératrices, et si à un instant quelconque elles ont un point commun, elles seront tangentes en ce point et rouleront l'une sur l'autre.
Concevons maintenant qu'un proQl se déplace sur chaque cylindre, de telle manière que son plan reste normal au cylindre, que l'un de ses points décrive l'hélice et que la tangente au profil en ce point soit normale au cylindre. Ifous obtiendrons deux surfaces que l'on peut matérialiser et qui, pourvu qu'elles ne se pénètrent pas (et nous supposerons que les proQls remplissent les conditions voulues pour qu'il en soit ainsi], rouleront ainsi l'une sur l'autre suivant les hélices directrices.
Si nous répétons ici, en substituant les hélices aux génératrices rectilignes, ce que nous avons dit pour les engrenages cylindriques, nous constituerons un engrenage à dents hélicoïdales symétriques (/î^.i49), en nous arrangeant de manière, ce qu'il est facile de réaliser, que le contact commence au plus urd entre un couple de dents lorsqu'il est sur te point de cesser pour le couple précédent.
La réaction d'une dent sur l'autre passera en un point de l'hélice situé à une petite distance S du point de contact géométrique et sera comprise dans le plan tangent au cylindre, qu'elle ait ou non une composante suivant la tangente k l'hé-
lice. On voit ainsi que le moment de cette réaction par rapport à l'axe de l'autre cylindre sera le même que si i était nul, de sorte que Fengrenage est sans frottement» dénomination qu'on lui donne souvent d'ailleurs.
On pourrait établir de la même manière un engrenage conique sans frottement en prenant pour directrices des dents des lignes géodésiques des cônes primitifs.
111. Du tirage des voitures. — Nous supposerons d'abord que le sol est horizontal, et, en employant un raisonnement semblable à celui dont on a fait usage aux n^* 106 et 107, on est ramené à considérer une seule roue.
Soient (^gf. i5o)
Fig. i5o.
F l'effort de traction horizontal qu'il faut exercer pour arriver
au mouvement uniforme; Q la charge ; q le poids de la roue ; R son rayon ; p celui du moyeu ;
/ le coefficient du glissement du moyeu sur la fusée; d le coefficient de roulement de la roue sur le sol.
La force qui agit sur le moyeu étant la résultante de F et de Q, on a, pour le moment du frottement correspondant pris par rapport à Taxe de la roue,
fp
)/TTT
La réaction du sol passant au point Ai situé à la distance i
