L VI— /* J
MgRsiny
* L Vi-h/î J
Après le choc le pilon s'élèvera^ sans exercer de frottement
appréciable sur ses guides, à très-peu près à la hauteur —
et retombera-de la même manière en possédant au bas de sa
course la demi-force vive - — « qui sera plus ou moins bien
utilisée à produire le travail voulu.
Si la force motrice restitue à l'arbre, entre la On d'un choc et le commencement du suivant, la perte de force vive qu'il a éprouvée, sa vitesse moyenne sera
et l'on trouvera facilement les expressions de o), &)«, V en fonction de 12. Quant à la perte totale de la force vive due au choc, elle a pour expression
et pourra s'exprimer en fonction de la vitesse angulaire moyenne.
121. Choc des cames et des marteaux. — L'usage des marteaux mobiles autour d'un axe horizontal a presque entièrement disparu dans les forges. Au marteau allemand (soulevé entre la tète et l'axe par des cames montées sur un arbre dont Taxe horizontal est perpendiculaire au précédent) et au marteau frontal (soulevé au delà de la tète par rapport à l'axe du marteau auquel est parallèle celui de l'arbre), on a substitué les presses, puis le marteau pilon et les cylindres cingleurs.
CILCUL DIS IfSISTAHCEB PASSIVES I>A^S LES HICHIKES, ETC. 3o5
Au martinet franc-comtois (soulevé au delà de son axe par rapport à la têie) a succédé, pour la Tabrication de la verge, le train de cylindres connu sous le nom de petit mill.
Ces marteaux offrent néanmoins, au point de vue de la théorie des chocs, un véritable intérêt, ei nous allons étudier en particulier le cas du martinet.
Si l'on veut que la vitesse angulaire du martinet reste dans un rapport constant avec celle de l'arbre, comme l'épaisseur du manche est petite, on donnera au proûi des cames la Torme épicycloldale des dents de l'engrenage à flancs rectilignes(15).
Soient (/g-. 1 55)
FiE. 155.
0, 0' les axes de l'arbre et du marteau ;
m le point de contact d'une came avec le manche au moment où le choc a lieu;
R la distance Om;
OK la perpendiculaire abaissée du point 0 sur la tangente en m à la came;
o l'angle mOK;
It' la disunceO'm;
K'Ia projection de 0' sur le prolongement de Km;
o' l'angle formé papO'mavecO'K';
1, l' les moments d'inertie de l'arbre et du marteau par rapport a leurs axes respectifs ;
H' ia masse du marteau;
G' son centre de gravité;
a la dislance O'G';
3o6 QUATRIËMB PAETIE. — GHÂPITRB IV.
H' la projeciion de G' sur la parallèle en 0' à Km;
a Tangle formé par O'G' et O'H' ;
p, p' les rayons des tourillons de Tarbre et du marteau ;
/,,/', les coerficients de frottement de ces tourillons sur leurs
coussinets; /le coefficient de frottement de la came sur le marteau; Ua la vitesse angulaire de Tarbre avant le choc; (ô, et)' les vitesses angulaires, après le choc» de l'arbre et du
marteau; N la réaction normale variable du marteau sur la came pendant
le choc.
La direction de N/est celle du glissement du marteau sur la came, ou de la résultante des vitesses (ù'K du point du marteau qui se trouve au contact, et de la vitesse — caR égale et contraire à celle du point de la came qui se trouve aussi en m; N/est, par suite, dirigé vers la droite, comme l'indique la figure.
Les quantités de mouvement perdues de Tarbre, formant un couple, n'exercent aucune action sur Taxe; l'impulsion de la réaction des coussinets sur les tourillons se réduit, par suite,
à v/i -+-y^./Nrf/ et donne, par rapport au point 0, le moment
Il vient donc, en exprimant que les quantités de mouvement perdues et les impulsions des forces se font équilibre autour du point 0,
VÏ-+-/;
ou
(i) I(«-«J--/N£//rR(8in?-h/cosç)-+--:4^-/i^r7n.
Considérons maintenant le marteau sur lequel agissent en m les composantes N', N'/de la réaction de la came, égales et contraires à N et N/. La résultante des quantités de mouvement perdues, étant la quantité de mouvement perdue du
CALCUL DES RttSlSTAKCES PASSIVES DANS LES MACHINES, ETC. 3oj
centre de gravité où toute la masse serait concentrée, a pour expression
et ses projections, Maco'cosa, Macû'sîna, sur les directions de N' et N'/ sont de même sens que ces forces. Les impulsions de la réaction du coussinet faisant équilibre à celles de N', N'/età — Maw', ont pour résultante
et l'on a, pour l'équation des moments par rapport au point 0',
IV= 0'm./N'€A-h(yK'.//N' A
/*^ ■ v^(Mû&>'cosa -+- /Nr//V-+- (Maw'sina-t-/. jN dif
ou
{ IV = /N///R'(sinf'-4-/^cos«p')
équation dans laquelle on pourra remplacer le radical par une fonction linéaire des racines des deux carrés qu'il comprend, en remarquant (fue, en général, le premier sera supérieur au second* On a d'ailleurs la relation
(3) uRsin7 = 6)'R'sin7',
qui exprime que, à la fin du choc, les vitesses normales de Tarbre et du marteau sont égales, puisque l'on suppose que les deux pièces sont complètement dénuées d'élasticité.
En éliminant/Nc// entre les équations (i) et (2), l'équation résultante, jointe à l'équation (3), fera connaître ca et tù'.
Si nous négligeons l'influence relativement faible du frottement sur les tourillons, les équations (i) et (2) se réduisent aux suivantes :
V) I (w — wj = — /N^/^R(8inf -+-/cosf ),
a') IV= /NA.R'(8inf-+-/co8i>');
3o8 QUATRIEME PARTIE* — CHAPITRE lY.
d'où
w, — w l'R 8in<p-*-/co8ç
w^' ~" ÏF sin^'-r-/cos^''' et, en venu de la relation (3),
( 3' ) w — rrrr; -. 75 . - — ï
^ ' FR^ smtp-h/cosf sm^
IR" sin«p'H-/cosf' ïin^'
R sinjp^
rR' sinyH-/cosy sin?
"^ ÎR^' sin^'-h/cos^' sinf'
Il sera facile d'exprimer o)»» a>, (ù' au moyen de la vitesse moyenne de l'arbre
et de calculer I, par suite le moment d'inertie d'un volant, pour que l'écart relatif de vitesse
Wn— «
soit au plus égal à une fraction déterminée.
122. De la levée du marteau. — Après le choc, le marteau s'élèvera à une certaine hauteur, puis retombera sur la masse à élaborer placée sur l'enclume. Nous nous bornerons, en conservant les dénominations précédentes, à étudier le mouvement ascendant ou la levée : la théorie de la chute s'établirait de la même manière.
Soient, à un instant quelconque (fig* i56), B rinclinaison
dQ de O'G' sur l'horizon; w'— ^ la vitesse angulaire du ma^
teau. Appelons &/, la vitesse angulaire du marteau après le choc, ou ce que nous avons désigné plus haut par u' et que nous supposons connu ; d, la valeur correspondante de 0. La pression exercée sur Taxe 0' est la résultante du poids H'^ et de la force d'inertie de la masse M' supposée concentrée en G, qui se compose de la force centrifuge Wtù'^a et de la
CALCUL DES RtSISTANCBS PASSIVES DANS LES MACHINES, ETC. 809
force tangentielle Ma-^> dirigée en sens inverse de la vitesse 6)'a. Or, le poids M'g donnant les composantes — H'g^sin 9,
Fig. i56.
M'^cosO suivant les directions de ces deux dernières forces, la pression sur 0' a pour expression
dt J
On a donc, en prenant les moments par rapport à 0',
rfw'
On remarquera que -r- est négatifs que les deux binômes
sous le radical peuvent passer du positif au négatif et que Ton ne peut pas assigner a priori les limites entre lesquelles varie leur rapport; de sorte qu'il n'est pas possible de remplacer approximativement le radical par une fonction linéaire des racines de ses deux carrés. Nous procéderons alors comme il suit :
Si nous appelons X = ^^^ la longueur du pendule synchrone
de la masse M' correspondant à Taxe d'oscillation 0' et si nous négligeons, comme première approximation, le terme en/^ p' qui est toujours très-petit, la formule (5) devient
3lO QUâTRIËHB PAETIE. — CHAPITRE IV.
d'où, en muiiipliani par dO el iniégrani,
(7) o>'^= «;--+- ^(sinÔ,-sinO).
Portons les valeurs (6) el (7) de Téqualion (5), multiplions ensuite par dO et intégrons, nous aurons
«;=.«;» ^ ^ (sine.-sinG) - --^^ ~ Ç^
et Ton est ramené ainsi à une quadrature. L'angle de levée Ou obtenu en supposant ck)' = o dans cette formule, sera un peu inférieur à celui ff^ que Ton obtient en faisant la même hypothèse dans réquation (7), qui donne
sin ô', = sinô, n — ^ w? .
Pour 6 = 60» le premier binôme sous le radical a pour valeur
-wj — sinô, g
et cette valeur sera généralement positive, parce que l'angle d, est ordinairement petit; pour 6 = 6', il se réduit à
et la considération de ces deux limites permettra de remplacer le radical par une fonction linéaire des racines de ses carrés pour intégrer par approximation.
On limite ordinairement la levée des martinets franc-comtois et des marteaux allemands, en les faisant buter contre une pièce de bois (rabat) encastrée à une extrémité, et assez longue pour présenter un certain degré d'élasticité, de sorte que la force vive perdue par ce choc est faible. Le rabat a pour objet de réduire notablement la durée de l'oscillation complète du marteau, et d'obtenir un plus grand nombre de coups par minute.
CALCUL DES RESISTANCES PASSIVES DAMS LES MACHINES, ETC. 3l I
123. Des effets du tir sur les différentes parties de V affût (Vune bouche à feu, — La durée du parcours d'un projeclile dans Tâme d'une bouche à feu étant très-courte, on peut assimilera des chocs l'effet de la pression des produits de la combustion de la poudre sur le fond de l'âme et ceux, qui en résultent par contre-coup, de la pièce sur Taffûl, de raffut sur les moyeux, des jantes des roues sur le sol.
De deux choses Tune : i® ou la crosse et les roués exercent une pression sur le sol pendant la durée du choc, et alors tout le système prend un mouvement de translation parallèle au sol sur lequel les roues roulent ou glissent; 2^ ou les roues n'exercent aucune pression sur le sol ; dans ce cas, la translation parallèle au sol sera accompagnée d'une rotation autour du point d'appui de la crosse sur le sol.
Dans l'un ou l'autre cas, ou la culasse s'appuiera sur la vis de pointage et alors l'affût et la pièce se mouveront comme s'ils formaient un seul corps solide, ou la culasse se séparera de la vis de pointage, la bouche à feu prenant ainsi un mouvement propre de rotation autour de son axe.
Avant d'aller plus loin, nous ferons remarquer que l'on peut supposer le système réduit à sa projection sur son plan méridien, perpendiculaire aux axes des tourillons et des fusées, mené en leur milieu, en attribuant, aux projections des différentes parties dont il se compose, les masses, les moments d'inertie, etc., de ces parties.
Comme nous n'avons aucune notion sur la mamière dont se meuvent les éléments matériels de la charge dans l'âme à mesure qu'elle se brûle» nous ne pourrons tenir compte de cet élément que par approximation, en supposant, comme au D"* 46 de la troisième Partie, que la moitié de la charge possède la même vitesse que le projectile et l'autre moitié la même vite>se que la pièce elle-même. Ainsi, dans ce qui suit, nous comprendrons dans Ta masse du projectile la moitié de la masse de la charge; quant à l'autre moitié, elle est négligeable par rapport à la masse de la pièce.
Comme, dans les questions de choc, on ne fait pas intervenir l'action de la pesanteur, nous pourrons, pour simplifler le langage, supposer que le sol est horizontal.
3l3 QUATRl&MB PAHTIB. — CBAPITttB IV.
^fis- '^7 représente, à une échelle réduite, une pièce de 7 se chargeant par la culasse.
Soient ijig. i58), en projection sur le plan vertical passant par l'axe de la pièce,
0,, Ot les axes des tourillons et des fusées ; Oi le point d'appui de la crosse sur le sol ; B0,8' l'axe de la pièce; I son inclinaison sur l'horizon considérée comme positive ou
négative selon que la portion OiB de l'axe, dirigée vers li
volée, se trouve au-dessus ou au-dessous de l'horizon; ti, le centre de gravité de la pièce, censé situé sur son axe: y sa distance à l'axe Oi, égale, environ, au -— du diamètre de
l'âme; 'il le centre de gravité de l'affût et des roues; A], a, sa hauteur au-dessus du niveau du sol et la distance de
sa projection horizontale gi au point d'appui de la crosse; A le point de contact géomélrique des roues avec le sol ; / sa distance au point 0,; n la hauteur verticale OiO, de l'axe O, a'u-dessus du sol et/
la distance de sa projection horizonule Oi au point Oi; ;) = XSinî~incos( la disunce du point d à l'axe de la pièce; Bi îè ra^on O, A des roues ; m la masse du projectile augmentée de celle de la moitié delà
charge ;
CALCUL DES RÉSISTANCES PASSIVES DANS LES MACHINES, ETC. 3l3
V la vitesse du projectile à sa sortie de Tâme;
M, Mi, Mt, Ms les masses de tout le système^ de la pièce, de
l'ensemble de Taffût et des roues, et des roues ; /!,, Ils, n^ les rapports à M de Mi, Ma, Ms;
Fig. ij8.
MiA-^Ha/r', ^Uk\ les moments d*inertie des masses Mi, Ma, Ms par rapport aux perpendiculaires au plan delà figure passant par leurs centres de gravité respectifs ;
pi, ps les rayons des tourillons et des fusées^
fi/fiff» les coefficients du frottement de glissement des tourillons sur leurs coussinets, des fusées dans leurs bottes et des roues ou de la crosse sur le sot ;
it le coefficient du frottement de roulement des roues sur le sol;
N„ N'^y N',, N3, Na les impulsions des réactions normales de l'affût sur les tourillons, de la vis de pointage sur la culasse, des fusées sur l'affût, du sol sur les roues, du sol sur la crosse ;
Ts, T» les impulsions des réactions tangentielles correspondant à Na, N»;
ui, ci>a, w» les vitesses angulaires de la pièce autour de l'axe des tourillons, de l'affût et des roues autour de l'axe projeté en Ot, et des roues autour de l'axe des fusées ;
V la vitesse de translation horizontale de tout le système au moment où le projectile sort de l'âme et qui est de sens contraire à la projection horizontale de v.
Nous allons examiner successivement les deux cas qui peuvent se présenter.
3l4 QUÀTRIËMB PAETIB. — CHAPITRE IV.
1** Les roues et la crosse restent en contact avec le sol. — Tout le système sera, après la sortie du projectile» animé de la vitesse V et les roues tourneront autour de leur axe en glissant ou roulant sur le sol.
La pièce, ou se détachera de la vis de pointage par une rotation (ùi autour de Taxe Oi de la gauche vers la droite, ou ne sera animée que du mouvement de translation.
Si la pièce tourne autour de Oi, l'impulsion K^ est nulle ei
la quantité de mouvement perdue qui fait équilibre à N, + Ni/i se compose de MV, — mv et de — Mi a),y, que nous négligerons dans l'évaluation du moment du frottement des tourillons, eu égard à la petitesse de y et de /p.. On a donc, en négligeant de plus/' devant Tunité,
— M, ( /J -H 7' ) w, — M, V 7 sini — / p, /(M, V — mu cosi )' -h /w' v* sin^t.
Mais, si Ton néglige les frottements et le mouvement de rotation des roues dont l'influence est secondaire, on a, en projetant les quantités de mouvement sur l'horizontale,
/wpcos/ = MV,
de sorte que l'on peut écrire avec une approximation très-satisfaisante
«.= /^ [-7sin/-/,o. yJ(^±-,^y^ ± ungvjî
mais, pour que les choses se passent comme nous l'avons supposé, il faut que (k), soit positif, ce qui exigé que i soit négatif ou que la volée plonge sous l'horizon; s'il n'en est pas ainsi, la culasse reste en contact avec la vis de pointage.
Nous laisserons constamment subsister a)i dans nos formules, sauf à supposer nulle cette vitesse angulaire lorsque / sera positif.
La crosse glissant sur le sol, on a
et, en exprimant que les quantités de mouvement perdues se font équilibre sur tout le système dans le sens horizontal et
CALCUL DES RÉSISTANCES PASSIVES DANS LES MACBINES, ETC. 3l5
le sens vertical» on a
MV — mv cos/ -H T3 -h N,/, -+- M, w, y sin/ = o» — mv sini -f- N, -+- N^ — M w, 7 cosi = o,
OU, comme ui est de l'ordre de la distance y, dont nous négligerons le carré,
( M V — #»p cos/ H- Tj -+- N,/, = o, 1 — /Ticsini H- N3 -+- N, = o.
Nous allons maintenant exprimer que les sommes des moments des quantités de mouvement perdues et des impulsions des forces pour tout le système se font équilibre autour de l'axe 0^; nous négligerons le coefficient à par rapport à / quand il y aura lieu de le faire entrer en ligne de compte, c'est-à-dire quand il y aura roulement; nous considérerons la vitesse angulaire (ù^ comme positive lorsque son sens sera de la droite vers la gauche; lesquaniitcs de mouvement perdues auxquelles donne lieu cette vitesse se réduisent à un couple dont le moment est MaA-^Us. Si l'on continue à négliger les termes du second ordre en y, on peut supposer, dans l'évalua- * tion du terme en Ui, que 0. est le centre de gravité de la pièce; de sorte que cette vitesse angulaire donne lieu à des quantités de mouvement perdues, qui forment un couple dont le n!omeni est — Mi/rJ «a,. Nous avons ainsi
M,//, V -H M, (u — 7 sin/) V -+- mpp -+- Mj kl w. — M, k] oi, — N3/ = o.
Posons
A serait l'ordonnée verticale du centre de gravité de tout le système si 0. était celui de la pièce; l'équation ci-dessus devient
(3) (M/i - M,7 sin/) \-+-mpp -f- M.k] «3- M,/? w, - N, /= o.
La résultante de N',, N'^^^, étant égale et opposée à celle de N3, T3, et de la quantité de mouvement transitoire M3V,
3lG QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE IT*
on a, en considérant les roues et prenant les moments par rapport à O3»
mais T, est au plus égal à N3/3; de sorte que l'on a, en négligeant les termes du second ordre en/:,^^ »
Nous avons maintenant à faire deux hypothèses. a. Les roues roulent sur le soL — On a
L'équation (4) devient pa^ suite
-M3^V-p3/,v^îV'^NI-N,^^T3R,-o
et montre que la quantité de mouvement M^V est de l'ordre du frottement, de sorte que l'on peut en négliger le carré sous le radical; en posant
il vient
La première des équations (2] devient par suite
Nj R" -*- ^ï/s = "^^ ^^S' - M (l -h /Î3U,) V,
et donne avec la seconde
I nw I CO8/ — jr- sin/ 1
I mv ( 008/ — rr sin/ ) — M (i -h /îjpij) V I N, = — N — ,- ^^ — '-.
CALCUL DES RÉSISTANCES PASSIVES DANS LES VACHIMES, ETC. 3ï'}
L'équation (3 ) prend la forme
/ M ( i-f- //jfXj ) V -H /wi' (/, sin/ — cos/)
I = /(/î-R-) [M(A-i-«3fX3R3-/i,78in/)V-h/w7?-M,X>,].
Si nous posons
ei
È; [vsin/^/.Pay/(^-i)Vi5tang^/J
ou «i = eg-'
sauf à supposer e = o lorsque i sera positif, et si nous nous rappelons p = x^îni — yj cosi, l'équation (3') donne
r(i-7/,)co8/-8in/(/;-./3f)l
Les équations (4') et (5) feront ensuite connaître les valeurs deT», N3» N',; mais, comme elles sont très-compliquées, pour mieux voir de quelle manière les choses se passent, nous négligerons les petits termes en e, y, A et de plus ceux en n, dans le calcul de V, Ns, N',; nous trouverons ainsi, en remarquant que /s devient^,
MV ^r nw \^ LJ. ^ il J ,
. , , ... ^, , {*ï — /i)co9/— (y — /)8in/ N, / = /wï' sm/ / ~ N^/ — mp i-j= ,
T,/ = /i,.a,MV= «- -îîii^ [(/-«/,)cos/-f,(Z-./)sin/].
En remarquant quex>^ v}>A, les conditions N,>o,
3l8 QUATKlftlIB PàBTIB. — GHÀPITBB IT.
N2 > o, Tj < N,/, se traduisent par
(7) taBg/>^-p, tang/<|-;, tang»>^^,;,^^(— ,y
En satisfaisant à la troisième de ces conditions» on satisfera a fortiori à la première; les deux limites de 1 sont donc données par la deuxième et la troisième de ces inégalités. Pour qu'elles soient compatibles, il faut que
ce qui aura généralement lieu; car x est presque toujours égal à / ou en diffère très-peu. L'angle 1 sera positif et par conséquent la pièce ne tournera pas sur ses tourillons. b. Les roues glissent sur le soL — Dans ce cas on a
et les équations (a) deviennent
( MV — mv cosi -+-/, (N, -h N3 ) = o,
( — mifsini -4- N, H- N3 = o, d'où (6') MV = mv(cosi —f^ sin/).
Nous pourrons, dans le terme très-petit en ^%f^ de l'équation (4)» négliger M^ V devant N^ en raison de ce que N3 dépend de MV, comme nous le verrons ci-après, et que le rapport ns = ^ est toujours petit.
Cette équation donne par suite
et, en portant cette valeur dans l'équation (3), on trouve i\'>\ \ MV[A— /i,(7sin/ -hKs)] -i-iiif (xsini — îjcosi)
et cette équation, jointe aux équations (6') et (a^), fera cod-
CALCUL DES RfiSISTANCBS PASSIVES DXSS LES MACHINES, ETC. 3l9
naître N,, N3. Si nous ne conservons que les termes principaux, nous avons, d'après les équations (3), (6'), et la seconde des équations (2'],
mp
N^ = /iîi'sin/ — N3 = — [(/— y^-hf^h)smi-+-(ri'^ h)cosi].
Les conditions N3>>o, N3>>ose traduisent par
(8) tang/>^^î£^, lang/(/-x-^/,^)-*-(>»-/0>o.
Comme on a généralement / = x» '^ seconde de ces inéga* lités sera satisfaite pour toutes les valeurs positives de i supérieures à celle qui est donnée par la première. Dans ce cas encore, la pièce ne tournera pas sur ses tourillons.
2® Laffài tourne autour du point d* appui de la crosse. — D'après la figure, la rotation &)3 ne peut avoir lieu que de la droite vers la gauche. Nous continuerons à considérer la rotation de la pièce (Ui autour de Vaxe Oi comme positive lorsqu'elle aura lieu de la gauche vers la droite.
Le mouvement de la pièce résulte des translations ayant pour vitesses V, uaOi 0, et de la rotation cdi, dont nous ferons abstraction, comme plus haut, dans le calcul de la percussion sur l'axe Oi, en raison de la petitesse de y. La quantité de mouvement transitoire perdue par M| et m, ayant pour composantes horizontale et verticale, M,V -h M, «itî — mvcosi, — Hi (ù^x — ^^ sini, il vient, en continuant à négliger le carré dey,
— M,X>>,--(M,V-f-M,w,ï;)7sin/ — M,w,x7^s/
±/,p,/(M,V-+-M,Wj»î — mvco%i^'-^[}iL^ui^x^mv 8ini)'= o;
d'où
(«, = - -Î7 (V-f-w,>3)78ini-f-w,X7C03/
320 QOATRliWB PAETIB. — CHAPITRE IV.
en prenant le signe h~ ou le signe —, selon que
( V -h WjU ) 7 sin /■ -+- w, X7 ^osi sera positif ou négatif.
Concevons que l'on imprime à tout le système une translation égale et contraire à la vitesse du point Oi, ce qui ne changera en rien le mouvement relatif de la pièce par rapport à raffut; ce mouvement sera dû à la rotation (Ui + ois autour du point Oi, qui doit être positive pour que la culasse se sépare de la vis de pointage, et c'est ce qui aura généralement lieu. La condition ot), + cos <!o, exprimant que la pièce se meut avec l'affût comme un seul corps solide, ne pourra être remplie que par des valeurs négatives de cji ou positives de i, pour lesquelles (ù2 sera du même ordre de grandeur que gji pris en valeur absolue. Dans ce dernier cas, nous pourrons négligera)! dans le calcul de o)., qui sera ainsi donné par la formule (i) de l'article précédent ou par
(«) ",= - ^^[^,,sini-^/.p. y/(l -.)^ ^].
Nous avons, pour les équations d'équilibre, relatives a tout le système, entre les impulsions des forces et les quantités de mouvement perdues,
/ MV — wt'COs/H- N,/, H-[|M,(>î — vsin/) -+-M,//Jw, = o, \ — mv sini -4- Nj— [M, ( x ~ V cosi) -f- Mj^i^jo), = o,
■ VrM,//,H-M,(iï-7sini)] Posons, comme plus haut,
et de plus
Les équations (lo) prennent la forme
1 MV — mvco^i -h M(/f — /î,7 sin/)w, -4- Nj/^ = o. (il) \ — wpsin/ — M(fl — /i,7C0S/)Wj-+- N, = o,
MV(/i — //,7Sin/) ■+- ///cy?— M,/î(6), ■+- wj ■+■ MX'w^ = o.
CALCUL DES fifiSISTANCBS PASSIVES DANS LES HACBINES, ETC. 321
Des deux premières on déduit, par Télimination de N,,
( MV — wp(cosi— /,sin/)
( -f- M[/* — /ij7din/ -+-/,(« — /i,7C0Si)]w.^ = o.
Nous avons maintenant à examiner les deux cas qui peuvent se présenter.
a. La culasse reste en contact avec la vis de pointage. — Ce qui correspond, comme nous l'avons vu plus haut» à la condition analeptique 6i)i + 60a<:io; mais nous devrons supposer G)i-hG>)a = o dans les équations précédentes.
De la troisième des équations (ii) et de Téquation (la) on lire, en se rappelant que /> = xsini — yicosi
mv >îCOS/ — xsini — (ces/ — /. sin/)(/i — /i^ysin/)
' • M /'*—[//— 71,7 sin/ H- ^^(a— 71,7 cos/)] (A — «j7sini)
I wy 1 — ^^îcos/— ysin/)f /i — Ti, 7 sin/ -t- /',(/? — /?, 7 cos /)] h- X*(cosi -~/,sin/ \
~ \ /■*—[(// — /?, 7 sin/ -*-/,( fl— «,7 ces/)] (— 72,7 sini) '
Il nous reste à voir maintenant entre quelles limites de e les quantités tùt et Ns sont positives. Pour simplifier les calculs, nous négligerons les termes très-petits en y et nous aurons d'abord
[ — 'm (y? — A) ces/ ~ (y — hf^ ] sin / l k' — h[h -r- aj\)
La seconde des équations (i i) donne ensuite Pour que &)> et N2 soient positifs, il faut que
i t ' ^ ri — à (16) ' ^ -^^
j , .^ a(ii — A)
La limite inférieure de 1, fournie par la première de ces inégalités, n'est autre chose que la limite supérieure que nous avons trouvée dans l'hypothèse (6) du cas étudié en premier m. ai
3aa QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE lY.
Heu» ce qui devait être, car il est clair que, à partir du moment où les roues cessent de presser le sol, il doit y avoir tendance à la rotation autour du point d*appui de la crosse.
La condition o), + eos <C o donne, en se reportant à l'équation (i),
X;[(iï — /*)cos/ — (x — A/Jsini]
-\[P--n(h-^af,)]cosi-^sini[x(h-^af^-fJ'']\
Posons
tang/= rjT, / — r-f-o£,
a étant du même ordre de grandeur que y ou p,/,; nous aurons, en nous en tenant aux termes du premier ordre,
X [vsin.-'H-p./. ^(A ,y ^ ^";^'^'] >o;
appelons — y la limite inférieure de ii fournie par cette inégalité et qui sera généralement négative, nous devrons avoir
L'angle i ne pourra donc être compris qu'entre i' et i' — e, de sorte qu'il doit arriver très-rarement que la culasse reste au contact de la vis de pointage.
b. La culasse se sépare de la vis de pointage, — A mesure que id écroîtra à partir de i' — e, la vitesse angulaire (Oj croîtra et acquerra bientôt une valeur bien supérieure à tôt. Admettons que I ait atteint une valeur telle que g>i soit complètement négligeable par rapporta elle; nous devrons supposer ui=odansla troisième des formules (ii), ce qui revient tout simplement à remplacer, dans les formules ( i4), ( i5 ) et (i6). A** par /r'— lf\; nous n'avons donc rien à ajouter à ce que nous venons de dire, et la question peut être considérée comme complètement résolue.
