CU.CUL DES RÉSISTANCES PASSIVES DANS LES MACHINES^ ETC

§ VI. — Des modérateurs.

12^. Les modérateurs sont des appareils qui ont pour objet ou de s'opposer à toute accélération de mouvement d'une machine ou de ralentir ce mouvement parla création de nouvelles résistances passives.

Comme moyen de rendre le mouvement uniforme, on voit facilement qu'ils se distinguent des régulateurs, que nous avons étudiés plus haut et qui règlent l'intensité de la force motrice sans dépense notable de travail.

Les modérateurs ne fonctionnant qu'au détriment du travail moteur dépensé, leur emploi doit être très-limité et Ton ne doit y avoir recours que lorsqu'on ne peut faire autrement.

125. Modérateurs à ailettes. — Ce modérateur, qui est appliqué notamment aux tournebroches pour en régulariser le mouvement, se compose d*un arbre, mis en mouvement par le mécanisme, suivant l'une des circonférences duquel on a monté normalement deux ou quatre bras identiques, situés deux à deux dans le prolongement l'un de l'autre.

A l'extrémité de chaque bras se trouve adaptée une ailette, à l'aide d'un pivot légèrement conique dont elle est munie, dont l'axe passe par son centre de gravité et que l'on introduit à frottement dur dans une cavité de même forme, pratiquée dans le bras. Le pivot est tantôt normal au bras, tantôt placé dans son axe de figure à son extrémité libre {Jig» iSg). On peut ainsi incliner à volonté l'ailette d'un certain angle, le plan passant par l'axe de rotation et celui du pivot. Toutes les ailettes sont d'ailleurs identiques.

Considérons en particulier le cas d'un treuil mis en mouvement par un poids Q attaché à l'extrémité d'une corde enroulée sur le cylindre, et régularisé par un modérateur à ailettes monté sur le même axe.

Soient

R le rayon du treuil; ot> sa vitesse angulaire ;

9, I le poids et le moment d'inertie du treuil et du modérateur;

p le rayon des tourillons;

A Taire de chaque ailette et r la distance de son pivot à Taxe de rotation;

n le nombre des ailettes;

I leur inclinaison sur les bras.

Fîg. 159.

La composante normale de la vitesse du centre de gravité de chaque ailette étant eorcosi, la résistance de Tair sur cette ailette pourra être représentée (118) par (a-h6û>'r»cos'i)A, a et fr étant deux constantes; on a par suite, pour le moment total de la résistance de Tair, — nA(«-+- 6w'r'cos*i)rcos/. En raison de la symétrie dans la distribution*" des ailettes, la résistance de l'air forme un couple et n'exerce ainsi aucune pression sur les appuis.

Il en est de même de l'inertie du treuil et du modérateur, lorsque le mouvement n'est pas arrivé à Tuniformilé comme nous le supposerons.

CALCUL DES EfiSlSTANGES PASSIVES DAKS LBS MACHINES, ETC. 32$

Le frottement sur les tourillons étant dû à l'action de q et du poids Q augmenté de sa force d'inertie, on établit facilement l'équation

I^QR2^-+.QR„Arcosi(«-+-6wV'cos'i)

dt ^ dt

ou

équation de la même forme que celle de la chute d'un corps pesant dans un milieu résistant , et dont on déduira les mêmes conséquences; le mouvement deviendra bientôt sensiblement uniforme, et la valeur de la vitesse angulaire sera donnée par l'équation

126. Des freins. — Les freins sont des modérateurs qui fonctionnent par suite du développement d'un frottement de glissement comme résistance passive.

Un frein se compose le plus souvent d'une pièce de bois appelée mâchoire ou sabot qui, sur une partie de sa surface, présente en creux la forme de la jante d'une roue ou d'une poulie sur laquelle on peut la serrer plus ou moins fortement par l'intermédiaire de vis et de leviers, et d'où résulte un frottement et par suite un ralentissement [du mouvement. Dans d'autres circonstances le frein est formé d'une lame d'acier qui se termine à une extrémité par un œil s'engageant dans un cylindre fixe; cette lame est garnie intérieurement d'une bande de bois {Jig. i6o) dont la flexibilité est augmentée par des traits de scie; il suffit, au moven d'un levier, d'exercer sur l'autre extrémité de la lame un effort de traction pour appliquer la bande de bois sur la roue.

Il ne faut pas brusquer le serrage du frein, car autrement il

32$ QUATBIËMI partie. — CBAPITBB lï.

se produirait des chocs qui auraienl pour efîel> au bout d'j certain temps, d'altérer la consiilution de la machine.

Il convient aussi d'appliquer les freins à des poulies d'un grand diamètre ou animées d'une grande vitesse, pour qu'en exerçant une faible pression on développe de ta part du frottement un travail résistant notable.

Presque toujours on ne fait agir un frein qu'après avoir supprimé l'action de la force motrice; il n'y a, pour aiosi dire, d'exception à cette règle que dans la bonne conduite des voilures dans les descentes, où l'on serre les freins adaptés à un couple de roues, de telle manière que le cheval soit encore obligé, pour entretenir l'uniformité du mouvemeni, d'exercer encore un léger effort de traction en vue de diriger le véhicule.

Supposons que le frein soit disposé de façon que la pression normale exercée par sa mâchoire sur la poulie puisse êlre considérée comme étant uniformément répartie sur la surface de contact.

Soient N cette pression rapportée à l'uniié de surface; /' le coefficient de frottement correspondant;

CALCUL DES BfiSISTÀNGBS PA881TBS DANS LBg ■▲CHINES» ETC. 827

R, e le rayon et la largeur de la poulie; p le rayon des tourillons;

/ le coefficient de leur Trotlement sur les coussinets; ay l'angle au centre de la mâchoire;

9 Tangle que forme un rayon quelconque avec la bissectrice de Tangle 2y.

Le frottement sur Félément de surface correspondant à l'angle e/9 étant /'eR J9, on a, pour le moment total dû à cette résistance»

L'effort exercé sur Taxe résulte : i^ de la résultante des pressions normales élémentaires dirigée suivant la bissectrice de 2y, et qui a pour expression

le

R / N cosf rfç =: a^RN sinv ;

a<» de la résultante des frottements élémentaires perpendiculaires à la précédente, et dont la valeur est

-a^R/' r''Nsin<p£/y ^ •2tfR/'N(i - coso). «/o

' Cet effort ayant ainsi pour valeur

aRcN v/sin'v -r-/'^(i — cos?)', on a» pour le travail total développé par le frottement»

Supposons maintenant que l'on veuille établir un frein de telle manière que, pour une pression normale donnée N, une machine s'arrête au bout d'un temps également donné r, après avoir supprimé l'action de la force motrice. Il est clair que nous arriverons a fortiori à ce résultat en négligeant les résistances passives développées dans le mécanisme» qui viennent en aide au frein» ainsi que l'inertie des pièces oscillantes, s'il en entre da^s la composition de la machine. Dans

^Lf

328 QUATBlfeKB PARTIE. — CHAPITRE IV.

ces conditions, si u est la vitesse angulaire de la poulie, la force vive de la machine sera de la forme tAuS A étant une constante; le travail résistant utile pris en valeur absolue, produit dans le temps dt^ peut se représenter par ILtùdt, et nous supposerons que K est une constante ou diffère peu d'une constante, comme cela a lieu généralement. Le principe des forces vives donne, par suite,

AoA </o>) = — K&> r// — ie

Si Ton intègre cette équation, après avoir supprimé le facteur 0), et que l'on désigne par &>• la valeur de la vitesse angulaire au moment où l'on a atteint la pression N, très-voisin d'ailleurs de celui où le frein a commencé à agir, on trouve

d'où, en supposant &» = o, acR'N =

ce qui établit une relation entre les quantités «, R, y, que l'on pourra généralement faire varier dans des limites assez larges.

127. Freins des véhicules des chemins de fer. — Dans la composition d'un train de chemin de fer, on intercale de distance en distance un wagon-frein. Les quatre roues d'un wagon de cette nature sont munies chacune de deux sabots identiques symétriquement placés par rapport au diamètre normal à la voie.

Considérons d'abord un véhicule fictif qui n'aurait qu'une roue descendant en roulant sur une voie inclinée de l'angle i sur l'horizon. Cet angle est toujours assez petit (tangi > 0,025) pour que Ton puisse regarder cosi comme égal à l'unité.

Soient [Jig. i6i)

Q le poids de la charge que supporte la fusée; q celui de la roue et de son essieu;

CALCUL DBS EÉSI8TANGE8 PASSIVES DANS LBS MACHINES, ETC. SlQ

I le moment d'inertie de ces deux pièces par rapport à Taxe de rotation;

3 6 l'angle formé par les bissectrices des angles au centre des deux sabots, et dont la bissectrice est normale à la voie;

P l'effort de traction parallèle à la voie, en y comprenant l'inertie due à Taccélération de la vitesse V du mouvement de translation du véhicule; cet effort est égal et de sens contraire à la réaction longitudinale T du rail. La vitesse

angulaire de la roue sera ~

Fig. i6i.

Conservons d'ailleurs les notations du numéro précédent.

D'après ce qui précède, les efforts exercés sur la fusée par chacune des mâchoires du frein se réduisent à deux forces égales à 2NR6siny, dirigées suivant les bissectrices des deux angles au centre ay, et à deux autres forces égales à 2NRe/*'(i — C0S9), respectivement perpendiculaires aux précédentes. Les deux systèmes de forces se réduisent eux-mêmes à deux forces rectangulaires 4^^^ sin)/ cose, 4NRe/*'(i — cos<p)sin6, dont la première est dirigée suivant la bissectrice de l'angle 2e. La résultante des efforts exercés sur la fusée a, par suite, pour*expression

/ r 0 f/VT

4/(4NR^sin7COSi-f-Qcos/)*H- 1 4NRc/'(i— C08«|^)sin«-hP— ~ — I ;

mais, comme elle ne doit entrer dans notre équation que multipliée par le coefQcient __ ? ou tout simplement par

le facteur /p, qui est relativement petit, on peut sans incon-

33o QUàTRIÈHB PAETIE. — CHAPITEB IT.

vénient négliger sous le radical le terme en /' el P -^>

qui est toujours une petite fraction du terme Q cosi, que Ton peut prendre égal à Q. En se rappelant que la réaction longitudinale T est égale à P et remarquant que la réaction no^ maie du rail est Q cosi -i- 9, on a, pour Téquation des moments par rapport à l'axe de la roue,

PR-(Qh-^)^~ g^~4N/'R»^7-/p(4NR<?sin7COSi-HQ) = o,

Revenons à la réalité : on peut concevoir l'effort total, parallèle à la voie, comme la charge totale, décomposé en quatre forces correspondant chacune à Tune des roues, que l'on peut considérer alors comme isolée. Pour cloaque roue, on aura une équation analogue à la précédente; en ajoutant les quatre équations et désignant par Pi l'effort total parallèle à la voie, Qi la charge totale, Çi et Ii la somme des poids et des moments d'inertie des roues et des essieux, on trouve

I — /p(i6NRe8in7 cosc -i- Q,} --- o.

Supposons maintenant que le wagon-frein se trouve à la queue de n — 1 wagons dont il doit ralentir le mouvement, et que toutes les pièces tournantes soient identiques. Désignons par l'indice k les quantités qui se rapportent au k*^^ wagon et partant celui qui porte le frein; par Fa la tension de la barre d'attelage qui relie le (/r — i)'*^ véhicule au /r'*"'; nous aurons

P.--F,-^(0.-^7.)8ini-^J^'^, et l'équation (i) devient, par l'élimination de Pi, j F,^ (0. ^ <^.)8in/-/^ 0.- (^P H- i,) ^J ( -(0,-9,)g-i6NtfR'(^/'7H-/^8in7C08ij = o.

L'équation relative au k**" véhicule s'obtiendra évidem-

CALCUL DES RÉSISTANGB8 PASSIVES DAlfS LES MACHINES, ETC. 33l

ment en supposant N = o dans cette dernière ; remplaçant F, par Fi^, — ¥kf et Tindice i par k dans les autres quantités à l'exception de 9, 1 et R» on trouve aussi

F« — Fj-i -t- = o,

Si Ton ajoute les équations ( 2 ) et ( 3 ), que l'on appelle Q' le poids total de la charge sur les essieux, ^ le poids des essieux» r la somme des moments d'inertie des pièces tournantes, on trouve

j -i6NR'^ {f'^-^^i sinvcos.) - (Q'-+- g') g == o.

Soient maintenant