III

ment encaslrées dans la platine et le régulateur, ressort qui doit être établi de manière que, abstraction faite des résistances passives, il produise l'isochronisme.

Dans les montres ordinaires on emploie un balancier en laiton, d'un diamètre généralement égal à celui du barillet, et le réglage s'obtient en essayant plusieurs spiraux plus ou moins longs, jusqu'au moment où Ton arrive au résultat voulu.

Dans les montres marines, au contraire, on se donne le spiral. Pour régler le moment d'inertie du balancier, on enfonce des vis à tètes massives dans l'anneau du balancier, qui est également une donnée (M.

Qu'il s'agisse d'un pendule ou d'un balancier de chronomètres portatifs ou amovibles, la loi du mouvement du régulateur, toujours abstraction faite des résistances passives, satisfaisant à la condition de l'isochronisme, sera déterminée par une équation de la forme

k étant une constante connue, Q l'angle que forme la distance à l'axe de rotation d'un point de la masse avec la position de ce rayon correspondant au maximum de la vitesse angulaire. On déduit de là

[h) 0 = M CCS kl -+- Nsin kt^

(c) -r =— A(MsinA^ — NcosXi),

M et N étant deux constantes arbitraires que Ton déterminera d'après les conditions initiales du mouvement.

Ce que, nous avons dit pour le pendule simple ou composé (n*** 2i et 102 de la deuxième Partie), au point de vue des résistances du frottement sur les axes et de l'air, est appli*

(^) Pour la compensation des pendules, nous renverrons aux Traités de Physique, et» pour celle des balanciers des montres marines, au Mémoire de M. Vvod Villarceau, inséré au tome VU des Annales de l'Observatoire,

DBS RÉGULATEURS. 4^^

cable aux régulateurs des montres marines et ordinaires, et nous nous bornerons à rappeler que, si elles réduisent les amplitudes» elles n'atteignent pas Tisochronisme.

160. Des différents modes de suspension adoptés pour le pendule, — i*> Suspension à couteau, — Cette suspension, semblable à celle des fléaux de balances, qui a été très-employée autrefois, est maintenant presque abandonnée à cause des difficultés d'exécution et de conservation, et parce que, la position du couteau dans la gouttière n'étant pas rigoureusement invariable, le pendule n'oscille pas réellement autour d'un axe fixe. En raison des faibles écarts du pendule de part et d'autre de la verticale, le moment du frottement du couteau doit être considéré comme constant, et, d'après ce que Ton a dit ci-dessu», il n'y a pas lieu de s'en occuper.

Pour régler le pendule ou pour faire subir à son moment d'inertie les petites variations nécessaires en vue d'arriver à une bonne marche, on emploie une masse additionnelle ou curseur^ que l'on peut fixer par une vis aux différents points du prolongement de la tige au-dessus de la masse principale ou lentille.

a® Suspension par un fil de soie. — Celte suspension ne s'applique qu'à quelques pendules d'appartement. Le réglage s'obtient en modifiant en conséquence la longueur du fil de soie au moyen d'un mécanisme très-simple à concevoir.

3^ Suspension à lames, et de son influence sur le mouve^ ment du pendule. — Cette suspension, qui est la plus usitée, consiste en deux lames élastiques identiques, parallèles, dont les fibres moyennes sont situées dans le plan d'oscillation, encastrées d'une part dans la partie supérieure de la masse oscillante, et de l'autre dans une chape ou monture. Chacune des lames traverse, entre la chape et le pendule, une rainure dont la largeur est, autant que possible, strictement égale à leur épaisseur. Cette rainure détermine, dans le mouvement oscillatoire, un encastrement des lames qui sont placées à une faible distance l'une de l'autre en vue d'éviter les effets de torsion. On emploie diverses dispositions, sur lesquelles nous n'insisterons pas, pour faire varier la longueur

de la portion des lames comprise entre la rainure et le pen~

dule que l'on règle par ce moyen. •

Pour éviter des effets permanents de flexion qui seraient

préjudiciables à la marche et à la solidité du pendule, on fait

en sorte que, lorsqu'il est au repos, le plan moyen des deux

lames passe par le centre de gravité de la masse. On peut

aussi supposer que les deux lames font Teffet d'une seule

dont le plan moyen coïncide avec le précédent.

Soient {Jig. igS)

Fig. 193.

>^My

A l'encastrement de suspension ;

AB la forme rectiligne de la lame fictive quand elle est au repos, B étant l'encastrement dans la masse du régulateur;

AB| la forme infléchie de la flbre moyenne correspondant à une position quelconque du pendule, B| étant la position que prend le point B;

6 l'inclinaison de la tangente au point Bi de ABi sur la direction Ax de AB;

A^ la perpendiculaire en A à Ax;

X, y les coordonnées d'un point m de AB,;

[j. le moment d'élasticité de la lame;

M la masse du corps suspendu à la lame ;

I son moment d'inertie par rapport à l'axe horizontal projeté en Bi ou B;

/ la distance de cet axe au centre de gravité G de H;

DBS RfiGULATEURS. 4^7

£ la longueur de la lame dont le rapport à / est une petite fraction.

Nous négligerons : i° les termes d'ordres supérieurs au troisième en d et e; 2® l'allongement de la lame, en supposant AB = ABi, de sorte que BB|, que nous désignerons par/, sera considéré comme perpendiculaire à Ax, et que la vitesse du

point B, aura pour valeur -j-i 3<* la masse, relativement trèsfaible, de la lame.

Le mouvement du corps peut être considéré comme se

composant d'une translation ~- parallèle à ky et d'une rotation autour de l'axe projeté en Bi.

Le moment du poids Mg^par rapport au point m est

Le moment de la force d'inertie, due au mouvement de translation par rapport au même point, est

— M g-f (/cosO -+- « — x), ou tout simplement

Le moment des quantités de mouvement dues à la rotation par rapport au point m, étant du premier ordre, peut être considéré comme égal au même moment par rapport au point B; ce qui donne pour le terme correspondant dû a

l'inertie

"^dF'

D'autre part, le moment des forces élastiques développées

en m est /^^— ;' en négligeant ~-j devant l'unité. Il vient donc

438 QUATRIÈME PiaTIB. — CHAPITRE IV.

ou, en remarquant que ' . • est toujours une petite fraction.

En intégrant cette équation par rapport à Xy en se rappelant

dr que -7^ = o et j = o pour ar = o, on trouve

dy Comme on doit avoir -^ = 6, /=/ pour a; = 6, on trouve

d'où

et la première de ces équations devient

On voit ainsi que l'isochronisme subsiste toujours, mais que la durée des oscillations est modiOée par l'élasticité de la lame.

Si l'on considère le pendule comme tournant effectivemeni autour d'un axe projeté au milieu de AB, l'influence de l'élasticité sera représentée par le terme en fx de l'expression précédente.

La longueur du pendule synchrone sera

D£S RÉGULATEURS. 4^9

et variera plus rapidement avec e que si, la lame étant rigide, le pendule oscillait autour de Taxe projeté en A ; de sorte que Ton doit arriver au réglage par des variations de longueur du pendule, moindres que lors des suspensions par couteau et fil de soie.

Si £ = o, X est nul ainsi que la durée des oscillations, ce qui devait être, puisque la masse M est invariablement encastrée et qu'elle n'est plus susceptible d'aucun mouvement.

161. De V influence des chocs dans- le mouvement d'un régulateur, — Comme nous l'avons déjà dit, on s'arrange de manière que, pendant une oscillation du régulateur, le dernier organe du corps de rouages, c'est-à-dire la roue d'échappement, obéissant à l'action de la force motrice, produise une percussion sur un appendice faisant corps avec le régulateur, pour venir en compensation des effets du frottement et de la résistance de l'air; ce qui nous conduit à étudier les effets d'un choc sur le mouvement oscillatoire du balancier.

a. Hypothèse d* une percussion pendant une oscillation, abstraction faite des résistances passives. — Il nous suffira évidemment de considérer l'oscillation dont l'origine correspond à celle du temps.

Soient

— a la valeur initiale de l'angle d'écart B\

f le temps au bout duquel le choc a lieu;

dQ Vy ti/ les valeurs correspondantes de 6 et -j- •

On a, en vertu des équations (6) et (c) du n^ 160,

(i) G'= — %coskt!j w^= aAsinAi'.

Nous rappellerons que, pendant le choc, la position des éléments matériels des corps qui se rencontrent ne change pas d'une manière appréciable; que, après une percussion, la vitesse angulaire du corps choqué supposé mobile autour d'un axe est égale à celle qu'il avait avant le choc, multipliée par un coefficient plus grand que l'unité, qui ne dépend que

44<) QUATRIÈHB PARTIE. — CHAPITKB lY.

de la position relative des corps lors du choc, et que nous déterminerons plus loin, en nous occupant des échappements. Or on s'arrange toujours de manière que la position relative des corps reste constamment ou à très-peu près la même. D'autre part la fusée élimine les variations de la force motrice, ou, quand on ne l'emploie pas, l'intensité de cette force varie entre des limites assez restreintes pour que» dans le calcul du coefficient dont il s'agit, elle puisse être considérée comme constante et égale à sa valeur moyenne; enfin, par la force des choses, la vitesse angulaire du régulateur ne peut éprouver que de faibles variations; de sorte qu'on peut, sans grande erreur, considérer ce coefficient comme constant.

Nous devons donc supposer, dans les deux équations (A) et(c)dun«160,

0=0', y- = (i-4-e») «'', pour r = r',

c étant une constante que nous supposerons très-petite. Ces deux conditions permettent de déterminer M et N, et l'équation (ft) devient

(a) ô = — a(n- s sin'/y) cos/Y -f- — sinaX/'sinX/.

Soient T le temps qu'emploierait le balancier à exécuter

une oscillation s'il n'y avait pas de choc; Tt la durée réelle de

l'oscillation que nous considérons, ou la première valeur qui

dB annule la valeur de -tt donnée par l'équation précédente;

nous aurons

( 3.) tangX- r, = ; . a, , •'

^ ' ** ' a(i-t- £3inMr')

/T, <7t ou T, <T; .

/T, =^7r ou T, = T;

Si B' < o, on a

si 0' = o, on a

si 0' > o, on a

^T,>7r ou T,>T;

en d'autres termes, le choc diminue ou augmente ou n*alière

DES RÉGULATEURS. 44

pas la durée de V oscillation selon qu*il se produit avant ou après le milieu de V oscillation ou en ce milieu lui-même.

Pour mieux voir de quelle manière Ti varie avec B\ nous négligerons le carré de e, et nous obtiendrons, en ayant égard à la première des équations (i),

Il suit de là que le maximum et le minimum de T, correspondent respectivement à B'= - >fi et à 0' = v^, c'està-dire à deux positions du régulateur symétriques par rapport à sa position moyenne, et qu'ils sont compris dans là formule

Pour trouver Tamplitude a^ de la demi-oscillation descendante qui suit celle que nous considérons, il suffit de poser / = Tt et d = a„ dans l'équation (2), ce qui donne, en ayant égard à la relation (3), et continuant à négliger le carré de e,

«j = a(n- f sin'X/').

Si l'oscillation suivante ne comporte pas de choc (comme dans l'échappement libre à ressort], sa durée sera T, et la différence T — T, entre les durées de deux oscillations successives ou de deux ftaZ/em^/i/s consécutifs (') sera du premier ordre; si, au contraire, elle est accompagnée d'un choc (échappements à ancre et à cylindre) correspondant très-sensiblement aux mêmes valeurs de Q' et e, la durée Ta de cette oscillation, qui se déduira de la formule (4)» en y remplaçant a par at, ne différera de Ti que d'une quantité du second or()re, puisque a— ai est du premier ordre, et la différence entre

(') Le bruit «ec ou battement qui se produit à interrallea égaux dans les chronomètres n'est pas dû aux chocs que nous étudions, mais à celui de la roue d'échappement, lorsque, après avoir choqué le régulateur, elle perd sa force Ti?e, ainsi que celle de tout le corps de rouages, en butant contre Tarrèt que l'on appelle repos.

44^ QUATRIÈME PaRTIB. — CHAPITRE IT.

les durées de deux battements consécutifs sera du second ordre ( ' ).

6. Hypothèse d*un choc et d'une résistance constante. — Au lieu de Téquation (a) du n*159» nous aurons une équation de

(3 étant une constante; mais on voit alors que les formules relatives au cas actuel se déduisent de celles du précédent» en ajoutant (3 à Q\ —oc, ai; on obtient ainsi

( a, =r(a-pJ(i-HSin»^0-p.

Si Ton s'arrange de manière que Ton ait

sm-Xr'= -. ^,

(*) 11 nous a paru intéressant d'examiner Thypothèse de deux chocs pendant une même oscillation, quoiqu'elle ne se présente pas en horlogerie. Soient t" le temps au bout duquel se produit le nouveau choc; M*, fi" ce que deviennent M et N après ce choc, et admettons que le coeflBcient < ait la même valeur pour les deux chocs.

En faisant le même raisonnement que dans le texte,^ nous aurons

M cosi^f^-t- N sin At" = M" cos^f^H- N" cosAf*, (,-hO[— MsinAf''-+-Nco8Ar'']=-M''sinAf»-^N'cosAr.

Si nous désignons par T' la durée de l'oscillation, nous aurons, en ayant égard aux valeurs de M et N, à celles que l'on déduit pour M'' et H' et négligeant le carré en e,

d'où-

tancAT''= --jr — (sinaAr'-Hsin aAf"),

Ma

T' = Tri (sinaA^'-r-sinaAr")].

On voit, d'après cela, que par le second choc on peut atténuer l'influence du premier ou la rendre du second ordre. Il suffît pour cela que les deux chocs aient lieu symétriquement par rapport au milieu de l'oscillation; car alors Ar'-H Af" ne diflerera de n que d'une quantité de l'ordre c, et par suite T' — T sera du second ordre.

DBS RfiGULATBCJRS. 44^

Tampliiude des oscillations ne ^variera pas, et, si les oscillations successives sont accompagnées chacune d'un choc d'un côté ou de l'autre, mais à égale distance du milieu, leurs durées seront toutes égales, etle chronomètre atteindra très-sonsiblement son but.

c. Hypothèse d'un choc et d'une résistance proportionnelle au carré de la vitesse. ~ Reportons-nous aux considérations du n® 24 (II* Partie, t. I), et conservons les mêmes notations. Nous aurons

G'= - ^ — 1 — {a— ia'/'=7) cosX/' — ^^—5! cos2X/',

(6) { ^ -r = — |a*X*7 8in^/'H- ^^^-5! sina^/'-j-asinXr'.

Un écart quelconque après le choc étant désigné par 6, il faut que l'on ait pour / = /'

Si nous posons, comme au numéro précité,

nous aurons, en substituant dans les formules précédentes, et identifiant les termes semblables en y, et faisant / = /',

(a) 0fl^ — acosXl', T V = a(n-«)sinX-/',

/ 0,=:a»^(~i-f-|co8X-r'-ico8a/tr'),

Il est évident que 60 n'est autre chose que la valeur de 6 dans l'hypothèse yc=o, et que sa valeur est fournie par l'équation (2), soit

(7) ©0= — a(i -+-fsin'^<')cosXr H — sinaXr'sinX/.

Les conditions, (7) jointes à la troisième des équations (8) du

n* 24 de la première Partie, donnent ô,= o; il ne nous reste donc qu'à déterminer 9t au moyen de la deuxième de ces mêmes équations, qui devient, en vertu de la formule (7) 6t de l'approximation adoptée»

-^ = — /-> 1 9, H- - — [{i -f- 28 sin'//) — (i-h aïsin'A/') cosaX/ -h e sinaX/' sinaX/] -^

équation dont l'intégrale générale est

0, = M'cos^/H- N'sin/-r

a'/' r , . ,, ,v 1-4- 2f sin*X'f' , c9in2^/' . ,1 -i — (i-h 2f sin'^/') r COS2XY H ^ — sm2^/ It

M' et N' étant des constantes déterminées par les conditions (P) qui donnent

M'=fa»X»(i -Hisin'X/), N' = f a'A^sinX/'sin* — .

Il vient donc