III. %g

45o QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.

l'angle dièdre mr de l'angle trièdre formé par les droites mG, mpy mr est égal à a; et l'on a dans ce même angle trièdre

COSf = COSg COSa, d'où <p' = a' H- p',

sinp = sin«p cosO ou p = ç cos ô ; on tire de là

(3) P=fcos0, a = fsinO.

Comme -j est une petite fraction, nous pourrons négliger

©X 7} le terme de l'ordre des quantités 7-' /t'

Soient d1t«, OIL^, aiL. les moments, par rapport aux parallèles aux axes ox^ oy^ ozy menées par le point m, du poids et de la force d'inertie du pendule; X, Y, Z les composantes des mêmes forces parallèles à ces axes.

Le moment, par rapport au point (^,/*] de la lame oa^ du poids et de l'inertie du pendule est

mais on peut négliger dans X la composante de la force d'inertie qui est de l'ordre f et supposer X = Mg". La masse /x ne donnera aussi que le moment

car sa force d'inertie est du second ordre en a et X. On a donc

(4) Elg = aïL.-^(X~x)Y-.Mff(i,~/)-^^(X-7),

avec les conditions / = o, -^ = o pour a? = o. Si Ton néglige d'abord les termes en X, on a

et pour or = X, eu égard à la seconde des relations ( 3;,

El>i=-01L., EIa=EIf8in0 = X3TL,;

DBS &É61I1ATB1IBS. 4^1

d*où, par rélimination de 0\Lt au moyen de la seconde de ces dernières formules

et enfin

En portant ces valeurs dans l'équation (4)> nous ne ferons que nous conformer au mode d'approximation adopté et nous aurons

= 3.L.H-Y(X-x)-^êîjî^[^'(MH-^)-M>]

En intégrant successivement entre les limites ^7 = 0 et x=:\ on trouve

Pour l'autre lame, nous aurons

avec les conditions js = o, ^ = o pour ar = o, et avec les va

dz leurs ^ = Ç, — = p pour x = A. En opérant de la même manière que plus hauty on trouve

Des deux premières des équations (5) et (6) on tire

X* = 3ît,8inô — 31C^co80-+- — (Y8inô-i-Zco8Ô),

— ^^Xf8iii9co80 = 3TL.co8Ô-i-3ll/y8in9H- - (Ycosô — ZsinG).

45a QUATRIÈHB PAKTIB. — GBAPITaB IT.

Cela posé, soient

mq la parallèle a oy, menée par le point m ;

m/ la trace du plan vertical Gmp qui renferme l'axe du pendule, sur le plan qmr;

mq' la perpendiculaire en m au plan Gmp;

31L^, 3Tt^ les moments par rapport à mq'y mr^ des forces d'inertie du pendule;

Y^ Z' les composantes de ces forces suivant ces deux directions.

Le moment du poids du pendule par rapport à m^ étant — M^/9, les formules ci-dessus deviennent

j , (? ^ Mff/^ îîfl - t^^ sin'o) = Ort,^ \ Z'.

/ - ^ sinôcosO r. ^^- - Y',

Si nous négligeons les termes en X et fx, les équations (7/ deviennent

et sont les mêmes que si le pendule tournait librement autour du point m considéré comme fixe, en supposant que son

poids se trouve augmenté de=-T^ la suspension n'altère donc

pas l'isochronisme des révolutions et l'on a pour la durée de chacune d'elles

Mgl

d'où l'on déduit les mêmes conséquences que pour le pendule ordinaire. Les formules (5) et (6) donnent, au degré d'approximation convenu, par l'élimination de 01t< et OTt^,

d'où l'on déduit facilement que la direction de la tige rencontre la verticale du point fixe en un point situé à la dit-

DIS BfiGULATSUaS. 4^3

tance - de ce dernier, et qui est par conséquent le centre

de gravité du système des quatre lames.

Nous nous arrêterons à celle approximation; si l'on voulait la pousser plus loin il faudrait remplacer DÏL^, Oïiy, Y\ T par leurs valeurs en fonction de f et 0» et de leurs dérivées premières et secondes par rapport au temps.

164. Modérateur à ailettes. — Nous ne ferons que mentionner le modérateur à ailettes, exclusivement employé dans les sonneries des chronomètres et dont il a été question au n* 125. Comme nous Tavons déjà fait remarquer, ce régulateur offre rinconvénient d'absorber un travail moteur considérable, comparativement au résultat que l'on veut obtenir, et d'acquérir une vitesse qui dépend de l'intensité de la force motrice; mais cet inconvénient n'est pas sérieux pour les sonneries qui ne fonctionnent en totalité, dans une journée, que pendant un temps irès-restreint et pour lesquelles une grande régularité de mouvement n'est pas de première nécessité.

QUATHItll PARTIS. — GBAPITBB T.