Du pendule conique

Lehmb. — Un pendule conique formé d'un corps homogène

de révolution dont le point fixe se trouve sur t'axe se meut suivant la même loi que le pendule .synchrone.

Il est clair que la solution du problème du pendule conique composé se trouve dans les formules (3) et (4) du n® 110 de la deuxième Partie (t. I, p. 357) en y supposant n = o, ce qui donne

; , sinOô

^'^^ '*= y-g- (cose,~cose)-hri-+-j;-H5î -^^^

Si Ton désigne par X la longueur du pendule synchrone déterminée par la relation

l'équation (2) devient

(^'* '*= y/'^(coso,~cosô) + /^.^5;+^; J^l^".

Les équations (i) et (V) ne sont autre chose que celles qui caractérisent le mouvement du pendule synchrone, ce qu'il fallait établir. |

Si donc l'axe d'un pendule composé reste peu incliné sur la verticale de suspension, son extrémité décrit (n** 27 de la deuxième Partie) en projection horizontale une ellipse dont le centre est la trace de la verticale ci-dessus et dont le plan est animé d'une rotation uniforme dans le sens du mouvement, et de plus la durée du retour à un sommet est indépendante des écarts maximum et minimum, aux termes du second ordre près.

Faisons d'abord abstraction du mouvement tournant de l'ellipse; le pendule pourra régler un chronomètre fixe sans échappement, en engageant son extrémité dans une coulisse horizontale mobile autour de la verticale de suspension et mise en mouvement par le corps de rouages; car l'axe de figure du pendule mettra un temps très-sensiblement indépendant des écarts maximum et minimum pour revenir dans le même plan

DES RÉGULATEURS. 44

azlmutal, et la coulisse sera animée d'un mouvement de rotation périodique.

Mais les choses ne peuvent se passer ainsi, en raison de la rotation de Tellipse qui dépend d'ailleurs des écarts maximum et minimum ; le mouvement de la coulisse n'est pas par suite rigoureusement périodique, d'où une cause d'inégalités dans la marche du chronomètre.

On doit donc rejeter l'emploi du pendule conique pour les chronomètres qui doivent avoir un certain caractère de précision.

163. Influence de la suspension à lames sur le pendule conique.— Le mode de suspension des balanciers coniques des pendules consiste en deux systèmes rectangulaires verticaux, et identiques aux appareils de suspension à lames employés pour les balanciers oscillatoires (161 ), c'est-à-dire qu'ils sont formés chacun de deux lames flexibles en acier de même longueur, maintenues parallèlement et invariablement dans leur plan par leurs extrémités.

La monture supérieure de l'un des systèmes est fixe; la monture inférieure supporte la monture supérieure du second, qui est disposée de telle sorte que les extrémités supérieures, comme les extrémités inférieures, des quatre lames soient bituées dans un même plan horizontal; lorsque le pendule est au repos, la monture inférieure du deuxième système fait corps avec la tige du balancier, dont la partie essentielle est une sphère pesante qui termine cette tige.

Si nous laissons de côté les impossibilités physiques du mouvement et si nous supposons que ces lames sont immatérielles, tout en leur conservant leurs propriétés élastiques, nous pourrons dire que la suspension produit le même effet que si elle était composée de deux lames identiques, d'une largeur double des lames réelles, mais de même longueur et de même épaisseur, disposées rectangulairement l'une dans l'axe de figure de l'autre. L'une de ces lames fictives est encastrée invariablement à sa partie supérieure; l'encastrement de l'autre se trouve sur la tangente à l'extrémité de la précédente, à une distance du point de contact égale à la Ion-

gueur des lames. L'axe de figure du balancier sera ainsi supposé langent à rextrémilé supérieure de la deuxième lame. Nous supposerons de plus [fig. ig4) que les lames sont réduites à leurs axes de symétrie.

Soient

Fig. 194.

o le point d'encastrement de la première lame ;

ox sa verticale;

yoy' l'horizontale menée par le point o dans le plan d'oscillation de la lame;

oz la perpendiculaire en o au plan xoy^ déterminant avec ox le plan d'oscillation de la deuxième lame;

X la longueur des lames, censée très-petite par rapport à la longueur du balancier ;

oa la forme que prend à un instant quelconque la lame encastrée en o ;

ex, l'angle formé par la tangente at en a supposé assez petit pour qu'on puisse en négliger les puissances supérieures à la première;

at la perpendiculaire abaissée du point o sur ot ; on pourra

DES REGULATEURS. 449

supposer oa=a/ = X; le point / devra alors être considéré comme étant Textrémité supérieure de la deuxième lame qui affecte une forme tm tangente en / à aty dans un plan mené suivant cette dernière direction perpendiculairement au plan ^oo; ; P l'angle formé par la tangente en m, ou par la direction mG de la tige du pendule» avec at; •

0 la projection du point a sur ox;

7} = aO, z = ma les coordonnées du point m respectivement parallèles à ox et oz;

1 la distance du centre de gravité G du pendule au point m; M la masse du pendule;

A son moment d'inertie par rapport à Tun quelconque des axes principaux perpendiculaires en ma mG;

E le coefficient d'élasticité des lames;

I le moment d'inertie de leur section par rapport à la parallèle au long côté menée par son centre de gravité;

/x la masse du système rigide formé par la monture inférieure de la lame encastrée en o et la monture supérieure de la deuxième lame ;

g le centre de gravité de ce système que Ton peut supposer placé au milieu de a/;

9 l'angle formé par la tige mG du pendule avec la verticale;

9 l'angle compris sous le plan vertical passant par o G et le plan zox.

Les angles a et (3 sont évidemment du même ordre de grandeur que 9. L'ordonnée th = ot.slna du point t parallèle à ox est négligeable. Quant à son ordonnée — oh parallèle à oy, elle est donnée par

(i) — oA = — (û/sina — flO) = ïî — Xa,

et celle 0/ de g" par

Menons par le point m la verticale mp, la parallèle m/, à at^ et soit mr le prolongement de am^ que l'on peut considérer comme parallèle à oz. Les angles timr, pmr étant droits,