DU RES80KT 9PI1AI

drique, est formé {Jig. 196), à l'éui naturel, de spires hélicoïdales se raccordant avec deux courbes qui ramènent les extré-

mités de la lame vers l'axe pour s'encastrer respectivement dans la platine et le balancier. Le pas de l'hélice est trèsfaible et le long côté de la section normale de la lame est normal à la courbe. Les deux encastrements se trouvent à égale disunce de l'axe du balancier qui est en même temps celui de l'hélice; les deux courbes de raccordement, qui peuvent élre considérées comme situées dans des plans parallèles à celui de la plaline, font des angles égaux, mais en sens contraire, avec les rayons menés à leurs extrémités ; de plus, en projection sur le plan de la platine, ces lames sont symétriques par rapport à la bissectrice de l'angle des deux rayons cidessus.

En raison du faible pas de l'hélice, nous pourrons considérer chaque spire comme un cercle dont le plan est parallèle à celui de la platine.

Le spiral cylindrique est le seul que l'on puisse rendre isochrone dans des limites très-étendues de l'amplitude des oscillations ou vibrations du balancier. Nous nous en occuperons en premier lieu en reproduisant en substance les belles recherches de M. Phillips sur ce sujet. -

QOATBIËHB PARTIE. — CHAPITRE Y.

166. Spiral cylindrique, — Proposons-nous de déterminer les condiiions auxquelles doivent satisfaire les courbes de raccordement pour que, dans une position quelconque du balancier : I® les réactions de chacun des encastrements sur la lame se réduisent à un couple ; 2** les parties primitivement hélicoïdales de la fibre moyenne restent sur un cylindre ayant pour axe celui du balancier, ce qui a pour conséquence de rendre constamment symétriques les deux courbes de raccordement par rapport à la bissectrice de l'angle des rayons menés aux encastrements.

Soient (Jig. 197 )

Kip. 197.

JTL/ le moment du couple produit par chacun des encastre*

ments; /x le moment d'élasticité de la lame; L la longueur totale du ressort; / celle de chacune des courbes de raccordement; o la trace de Taxe du balancier; A' Fencastremeni fixe; A^ le point où, à un instant quelconque, la courbe partant

de A^ se raccorde avec les spires.

s une longueur d'arc quelconque du ressort mesuré à partir

du point A' ; p«, p les rayons de courbure au point de la fibre invariable

DU RBSSOai' SPIRAL. 4^7

correspondant à cel arc lorsque le ressort est à Tétat naturel et qu'il est déformé ; a la distance k'o.

Nous prendrons la direction de A'o pour celle de Taxe des x^ k' étant censé situé sur la partie négative de cet axe, et nous désignerons par d», B les inclinaisons de po» p sur ox.

Nous aurons

(a) , (i - i) = an..

Comme p» est constant pour Thélice, il en est de même de p et la courbe reste ainsi une hélice en se déformant. Celte équation peut se mettre sous la forme suivante:

d'où

Si a est l'écart du balancier ou la valeur de 6 — Qt pour « = L, nous aurons

(il) ^^=L^'

Le moment du couple qui sollicite le balancier étant proportionnel à l'angle d'écart, le mouvement de cette pièce sera isochrone et, en appelant A son moment d'inertie, la durée d'une oscillation sera

Nous supposerons dorénavant que les lettres p, 6, s se rapportent uniquement à un point quelconque m de la courbe A' A'', en employant la lettre r pour désigner le rayon de courbure de la partie hélicoïdale.

Les équations (a], (6) donnent, en ayant égard à la valeur (rf) de 31t,

OLP, apj Li

458 QUATRifeMB PARTIE. — CHAPITRE V.

Comme les rapports f» | » r sont toujours Irès-peiîls, il en

est de même de leurs produits par a, quand même cet angle est supérieure n, et nous pouvons ainsi, sans inconvénient^ négliger, devant l'unité, les secondes puissances de ces produits, ce qui nous donne

et

(sinG = sinô, -h cosô, ^î

I cosô= COS0,— sinô. — •

Soient maintenant c, & les centres de courbure aux points m, m' InQniment voisins de la courbe A' A"; ^, yj et ÇH-rfS. m-^- dm les coordonnées de ces points parallèles à Ox et à sa perpendiculaire Oj. Nous avons c& = dpy et la flgure donne

d^= — dp cosô, ' difi = —dp sinO,

Si nous affectons respectivement d'un accent et de deux accents les lettres qui se rapportent aux points A' et A'^, nous aurons, en intégrant.

I dO

Si Ton intègre par parties en se rappelant que - = ^> on

Ç* = ? — p^cosô* -¥■ p'cosô' — f sinBds.

1?"= lî' —p" sin ©''-+- p'sinô'-K 1 cos^ds.

Soient C et C'Mes centres de courbure de la courbe en A', A', le second de ces points devant se trouver sur o A^, en vertu de

nu RBSSOET SPIRAL. 4^9

la seconde des conditions que nous nous sommes imposées. En supposant que le point m se déplace sur la courbe en se rapprochant du point A% on reconnaît que l'angle 6' est Tangle négatif formé avec Ox par le prolongement k'G au delà du point A^ et la figure donne

(e) Ç'=-p'cosO'-«, >î' = -|>'sinÔ',

{/) Ç'=(/'-p')co8Ô', >i''=(r-p'')sinô*.

Les équations (4) deviennent» par la substitution de ces valeurs,

rcos9''-h fl==— / sinGr/y,

Telles sont les conditions qui doivent être satisfaites, quel que soit Tangle a; si Ton y substitue les valeurs données par les formules (i) et (3) en continuant Tapproximation adoptée, puis que Ton égale à zéro le terme constant et le coefficient de a, on trouve

/ sinO^ r/y = — r, cosô^ — «,

(7) / COsG,r/jr= r^sinX,

(8) / cosÔ„5rfA=r; cosô^-f-r^/sinô^,

Jo

(9) / sin0j>5<& = r;sinô^--/r,,cosÔ^.

Jo

Si l'on désigne par x et / les coordonnées du point m, et si Ton remarque que l'on a

dx = — ds sinô^, dy = ds COsO^,

on reconnaît que les équations (6) et (7) se réduisent à des identités. •

46o QUATRIÈME PABTIB. — CHAPITRE Y.

Nous avons maintenant, en intégrant par parties»

fscosBds = Ssdx = sf — Sfds, Jssm^ds = -^Jgdx = — sx-^fxds.

Si donc on appelle Xt et ^i les coordonnées du centre de gravité 6 de la courbe A'mk", les équations (8) et (9) deviennent

De ces deux équations on déduit

^ = -cotô% /?r^'7; = 0G=^,

et l'on peut énoncer ainsi les deux conditions auxquelles doit satisfaire chaque courbe de raccordement non déformée :

i^ Le centre de gravité de la courbe doit se trouver sur ta perpendiculaire au rajron mené au point de raccordement avec les spires.

tP La distance de ce centre de gravité au centre des spires doit être une troisième proportionnelle à la longueur de la courbe et au rajron des spires.

Pour faire passer par les points A' et A'', supposés donnés, une courbe satisfaisant à ces conditions, on procédera par tâtonnements géométriques en modifiant successivement une courbe tracée au jugé et normale au rayon OA'^.

La^g*. ig8 représente Tensembledes deux courbes; à l'état naturel, les points semblables sont indiqués par la même lettre affectée de Tindice i pour l'une des courbes. Soit H le centre de gravité des deux courbes situé sur la bissectrice de Tangle A'',0A"=2<p; on a

G.OG = 180^—27, OH=pGsint=^siny,

2/. OH = 2rl sinip.

On peut considérer le ressort comme composé d'un nombre