III. 3o

n'est libre sous aucun rapport; ce qui explique pourquoi, malgré la facilité avec laquelle on Texécute, il n'est appliqué qu'aux montres ordinaires.

Les échappements à ancre de Graham pour les pendules et V échappement à chevilles des horloges sont soumis aux mêmes irrégularités que le précédent; mais ces irrégularités peuvent être notablement amoindries en donnant au balancier une masse convenable, ce que permet d'ailleurs le dispositif de Tappareil.

Chaque demi-oscillation, à partir du moment où le balancier est arrivé dans sa position moyenne, se décompose en deux parties. Dans la première, la force motrice, par l'intermédiaire de la roue d'échappement et de l'échappement, agit sur le balancier, dont le déplacement angulaire est Varc de levée; dans la seconde, le balancier se meut librement sous l'influence du spiral ou du poids du pendule, et décrit, jusqu'au moment où la vitesse angulaire s'annule, Y angle ou arc complémentaire, c'est-à-dire la différence entre la demi-amplitude et l'arc de levée. Le balancier revient ensuite sur ses pas en décrivant librement l'arc complémentaire ou la demi-oscillation selon les cas. Dans le premier cas, l'arc de levée suivant est parcouru sous l'action du rouage; la demi-oscillation suivante se reproduit de la même manière que la première, et ainsi de suite.

Avant d'étudier les propriétés des principaux types d'échappements, nous croyons devoir résoudre le problème suivant, dont la solution nous sera très-utile dans ce qui suit.

170. Lemhb. — Déterminer le temps au bout duquel viennent se rencontrer f après avoir été en contact y deux corps tournant autour d'axes parallèles, lorsque le corps choquant part du repos.

Nous supposerons que les deux corps sont de forme cylindrique, et que les génératrices de leurs surfaces sont parallèles à la direction des axes; le tout revient, par suite, à raisonner sur la flgure résultant d'une section faite par un plan perpendiculaire aux axes.

DBS ÉCHAPPBMBNTS. 4^7

Soient [Jig. 199)

(S), (S' ) les deux corps tournant autour des axes projetés en 0 etO';.

ac et ab les surfaces de ces corps à un Instant tel que (S) est en repos et s'appuie en a contre (S'), sans qu'il y ait en ce point un plan tangent commun aux deux surfaces;

'J la vitesse de (S') supposée constante, ayant lieu de la droite vers la gauche;

9 l'accélération angulaire de (S) également supposée constante, mais ayant lieu en sens inverse de &)% c'est-à-dire de la gauche vers la droite.

Fig. 199.

A l'instant qui suit celui que nous considérons, le corps (S'), en vertu de la rotation ûj', se sépare du corps (S), qui luimême prend un mouvement accéléré; mais, au bout d'un temps qui sera très-petit, si, comme nous le supposerons, 9 est très-grand par rapport à &)', les deux corps se rencontreront en ayant, en leur point de contact, le même plan tangent.

Soient

a!b' la nouvelle position de ab;

m le point de contact;

ai la nouvelle position du point de ac primitivement en a.

468 QUATRIÈMB PABTIB. — CHAPITRE YI.

Posons

r =3 0« = 0«,, 0/w = r -h ^r, 0'0« = a, 0'0/it = a -H <îa,

Désignons respectivement par

les déplacements angulaires de (S)» (S^ au bout du temps qui s'est écoulé jusqu'au moment du choc.

Soient enfln

6f la distance des centres 0, 0';

al y aV les tangentes en a aux courbes ac et ab\

W, V les angles qu'elles font respectivement avec Oa, O'a.

Nous ne conserverons que les premières puissances des quantités affectées de la caractéristique i. On a évidemment

(i) r'cosa' -h r cosa = r/, r'sina'— rsina == o,

d'où

{ sina' Sr'— sina ^r -h r'cosa' ^a'— r cosa^a = o.

Nous rapporterons respectivement les deux courbes ab et ac aux centres 0, 0' et à l'axe polaire 00'.

Si l'on conçoit que l'on ramène, par une rotation autour de OS la courbe a'b' en ab, on voit que l'angle polaire de m, dans sa nouvelle position, sera égal à oc' diminué de l'angle

/wOV = flO'a'— mO'a — $nl — 9ol'\

on a» par suite, et de même

(«') ^r = (^a — ^/ijrcotV.

DBS ÉGHAPPBMB19T8. 4^

Si Ton substitue ces valeurs dans les formules (2) ei que Ton pose» pour abréger,

,,, r'sinV

^ ' rsinV '

on trouve, en résolvant,

Six Sa'

__ II? sinV'cosV 5/?'-+- cosV sin(a -+- a'-f- V) Sn ■" sm(a-ha'-HV-HV')

m cosV sin( a -h a'-h \)Sn'-h sin V cosV Sn m sin ( a -4- a' -+- V -+- V')

Soient maintenant {/ig* 200)

Fig. Qoo.

A, A' les points où les directions des tangentes aT, aV

rencontrent le prolongement 0'^ de 00'; £ l'angle formé par aT avec le prolongement de aT; I, r les angles respectifs que font aT avec aO' et aV avec Oa.

La figure donne

d'où par suite

xAa = \-h<z, 0'A'a = V'-4-a'-7r,

xX'a = %iz-\'-a\

g = atr — (V-+- a -+- V'-»- a').

47^ QUATRIÈME PABTIB. — CHAPITRE YI.

Pour que le point de contact m se trouve à droite du point Ot, comme le suppose la /ig. igg, il faut évidemment que le point A soit situé entre A' et 0'; dans le cas contraire, il suffirait de changer le signe de e.

Si aJ est le prolongement de Oa au delà de a, on voit que

a -+- a'-f- V = O'rtJ -h OaT = 0'«J -+- air — Tai = aff -h i,

d'où

(d) sin(a-i- a'-+- V) = — sini;

on trouverait de même

(tt) sin(a -h a' -H V) ^ - sin/'.

Les formules (3) deviennent, en ayant égard à ces valeurs et remplaçant m par son expression (b),

i ^ 'r sinrcosY.^/i— r'sinVcosV'.^/t'

i oa = > . )

\ rsins

J * , r' sin / cos V ,^nl — r sin V ces V . ^n

\ /' sine

Ces deux déplacements étant exprimés en fonction de dn, dn' ou du temps / qui est une inconnue de la question, il nous faut une nouvelle relation que nous obtiendrons en établissant la condition que les tangentes aux deux courbes coïncident au point m.

De la formule

(^) cotV = i~

on tire

,v..,..vr|^'.i£„.-,„,]

pour la variation de V correspondant à celle (doc — di») de a, lorsque Ton va du point a de ac au point de cette courbe correspondant à sa position mai. Au moyen des valeurs [a) et [e)^ la formule précédente se met facilement sous la forme

(5) ^V = (cos'V - 55;^ ^,^) (^a - ^,1).

DBS ÉCHAPPEMENTS, 4?^

On peut simplifier cette expression en remarquant que» si p

est le rayon de courbure de ac en a, rf(V -h a) est l'angle de

dr contingence, et — rrrélémentd^arc correspondant; de sorte

que l'on a

rfV d'où, en éliminant -p au moyen de la formule ( e).

(6) ^V = f I -+- 2 cos' V ^-7^ ( 5a - $n)

et de même

(6') 5V' = (. -f- a cos't'- -^,) (5a' - 5/1'),

p' étant l'équivalent de p pour la courbe ah.

L'angle des deux tangentes en m n'est autre chose que ce que devient l'expression de e lorsqu'on augmente respectivement V, V, a, ai de dV, dV, da — d», da'— dw'. En exprimant que cet angle est nul, on obtient la relation

On voit ainsi que, pour que la collision ait lieu comme nous l'avons supposé» il faut que l'anglee soit très-petit, ce qui est visible a priori f et l'on peut alors, dans les valeurs (4)> remplacer E par sine avant d'en faire la substitution dans la formule (7). En remplaçant dans le résultat ainsi obtenu in et in! par leurs valeurs, on obtiendra une équation du second degré qui permettra de calculer le temps /. Mais nous ne résoudrons complètement le problème que dans le cas où l'angle O'aO est égal à 90 degrés, le seul qui puisse nous intéresser dans la suite. Soient y, y' les angles aigus que forment les directions des tangentes aT, aV avec la perpendiculaire au rayon Oa, au

47^ QUATRIÈVI PâETIB, — GHAPITRB YI.

point a^ menée dans le sens du mouvement de ce rayon. Nous

avons

VÎT " trt "^ '^ f ^7, I = V = 7';

par suite, en vertu de la formule (c),

Si nous désignons par n l'angle que forme Oa avec 00', qui est défini par la relation

tang>î= -,}

et si nous substituons dans les équations (4) et (5) les valeurs, en fonction de y> déduites des relations précédentes, des angles qui y entrent, nous trouvons, en ne conservant que la première puissance de e,

' 5, ^ cos7fsin7 — «cos7)^/7 — tang*3Sin7(cos7— «siny)^/»'

»» 9, C0S7(sin7 — fC0S7)^/î' — cot»îSin7(cos7-»-«sin7)^ii oa — Qii = — — »

. = (^«~^,i)[a(x^sin'7)-^]

Si Ton élimine ia. et ia! entre ces équations, puis que Ton fasse

d/i= - — 9 dn'=(à't, on obtiendra une équation du second

degré en t dontla plus petite des racines, dans le cas où elles seraient toutes deux positives, sera celle qui correspond au choc.

Cas particuliers.

i** Za partie du corps choquant qui vient frapper Vautre corps est une pointe aiguë. — Cette hypothèse revient à sup* poser que la courbe ac se réduit au point qui termine le rayon Oa. Dans les formules (2) il faut supposer dr = o.

DBS fiGHAPPBHBNTS. 47^

da. = in, et en ayant égard à la valeur {a')y on trouve d'oùy par rélimination de 8a\

(9') r'cosV'^/ï' = rc08(V'-f-a'-f-a)^/i = — rC08<'J/i

et enfin

ar' w'cosV ~~ r ff cosi'

Si les deux rayons Oa, O'a sont perpendiculaires entre eux, on a, en appelant y' rinclinaison sur O'a de la tangente au point de contact,

et par suite, pour le rapport des vitesses normales au point de contact,

^ ' r w COS7

résultat qui est indépendant de la forme de la surface du corps (S').

Si dans l'hypothèse actuelle on divise les équations (9)

l'une par l'autre, après avoir fait passer les termes en in dans

le second membre, on trouve, en remarquant que tang(z= -y

Sn' Il tanga'j

(10') Sx'= N— '' ^

1 H- tanga'tangy' (tanga'— tang7')

2.^ La partie du corps choqué qui vient en contact avec le corps choquant est une pointe aiguë. — Pour obtenir l'équivalent de l'équation (g'), il suffit de changer l'accentuation des lettres, ce qui donne

r cos V . ^/î = — r' cosi Sri ,

r'w'cosi r = — a r-. ,

rtf COS Y

et enfin, dans le cas où Tairgle O'aO est droit, on obtient éga-

474 QUATRIÈHB PARTIB. — CHAPITRE YI.

lement pour le rapport des vitesses normales au contact

, , r»/8in7

(il) -j-, î =-2.

Revenons au cas général, en supposant que les rayons de

courbure soient assez grands pour que Ton puisse négliger

r r' les rapports > ? -> devant l'unité. Si l'on élimine da, doc' entre

les équations (8), que Ton néglige les termes en e dans les coefflcients de dn= ^— » dn'=o^'t, on obtient un résultat que l'on peut mettre sous la forme

w'cos7 tangiî [(i -Hsin''7) CO87 langui -H(i-+-cos'7)8in7]/

Si l'on remplace dans le second membre / par la valeur

aa>cos7 tan^>3

f sin7

résultant d'une première approximation, on trouve

f /sin7 u'cos7tangv2

£'<p8in7 w' CO87 tangy}[(i -H sin^7) C0S7 tangïj -+- (i -h 008*7) 8in7]

Mais on pourra, en général, se contenter de la formule approximative

cp/ sin7

b>'cos7 laiigiQ

formule qui est celle que nous avons obtenue dans les cas particuliers étudiés plus haut.

§ II. ~ ÉCHAPPBHBNT À ANCRE.

171. Cette dénomination est due à la forme, se rapprochant de celle d'une ancre marine, affectée par la pièce oscillante qui arrête et laisse échapper successivement les dents de la roue d'échappement. Il existe, pt>ur les chronomètres Cxes

DBS ÉCHAPPEMENTS. 4?^

et portatifs, plusieurs variétés d'échappements à ancre. Nous nous bornerons à en indiquer les principaux types.

172. Échappements des pendules. — i" Échappement à repos. — Soient (fig* 201)

Fig. 301.

O Taxe de rotation de la roue d'échappement dont les dents sont pointues et qui est censée se mouvoir de la gauche vers la droite;

0' celui de l'ancre;

b, a! deux points de la circonférence décrite par les extrémités des dents, pris à égale distance et de part et d'autre du point de contact de l'une des tangentes menées du point 0' à cette circonférence.

Nous supposerons que l'arc a' b est assez petit pour qu'on puisse le considérer confme se confondant avec la tangente ci-dessus.

Les circonférences de centre 0'^ passant par les points b et a', rencontreront la circonférence 0 en deux autres points c et d'y équidistants du point de contact de la seconde tangente menée du point 0\

Faisons les angles 60'a au-dessus de O'b et cO'd' au-dessous de O'c égaux à l'angle de levée qui est au plus égal à 5 degrés.

Soient a ^xd les points des droites O'a et O'c déterminés par les circonférences de centre 0% passant par les points a' et d\ Les lèvres de l'échappement seront formées par les droites ab et cd. Deux arcs de cercle efy gh de centre 0, com-

i'}6 QUATRIÈMB PARTIE. — CHAPITRE YI.

prenant entre eux le point 0' et limités respectivement aux deux circonférences ci-dessus, compléteront récbappement dont ae et ch seront les repos extérieur et intérieur»

Ldi fourchette qui établit entre l'échappement et le balancier la relation voulue est une tige légère fixée à l'arbre de l'ancre, parallèlement à la ligne des centres 00', et portant à son autre extrémité une pièce fendue dans laquelle s'engage, sans jeu ni frottement, la tige du balancier.

La /ig, 201 représente la position qu'occupe l'ancre lorsque le balancier, arrivé dans sa position naturelle ou verticale, est sur le point de commencer sa demi-oscillation ascendante de droite; la dent dont la pointe est en c, arrêtée en ce point, se dégage, puis vient frapper la lèvre en communiquant une impulsion à l'ancre, et par suite au balancier; elle exerce ensuite une pression sur cette lèvre, et se dégage en cF : tout le corps de rouages se meut alors librement sous l'action de la force motrice, mais pour un très-petit déplacement angulaire de la roue 0, limité par la rencontre de la dent ai qui précède a' avec le repos ae sur lequel elle s'appuie pendant tout le temps que s'achève la demi-oscillation ascendante. Lorsque commence la demi-oscillation descendante suivante, le repos ae glisse sur la pointe at, puis bientôt a et a. coïncident, et enfin la dent ai se dégage et vient frapper afr, etc.

Soient

r' le rayon 60' de la circonférence extérieure de l'ancre; X l'angle de levée supposé très-petit; e l'épaisseur de l'ancre ;

/, y\ les inclinaisons des lèvres d'entrée ab et de sortie cd sur les rayons O'a et O'c.

On voit facilement que

tang7, = >-^— , Ungv =>-•

Dans le cas usuel où

r' Si' ^ '

on trouve

DBS tCHÀPPSHBlITS. 4??

Nous allons nous proposer maintenant de déterminer l'influence que peut avoir réchappemeni sur l'isochronisme du pendule, en examinant» comme si elle était seule» chacune des causes qui peut apporter une perturbation dans la loi du mouvement du pendule.

En premier lieu, occupons-nous du choc qui termine la période de la chute. La vitesse angulaire du peAdule ou de l'ancre peut être considérée, à peu de chose près, comme étant la même au moment où le choc a lieu et lorsque la levée commence, puisqu'à ce dernier instant elle atteint son maximum et que, pendant la chute, l'angle décrit par l'échappement est très-petit.

Reportons-nous à la formule (lo) dun® 170, dont nous conserverons les notations à quelques variantes près.

Soient &>, == cp/, &)', les vitesses angulaires de la roue et de l'ancre au moment où le choc commence; rie rayon de la circonférence formée par l'extrémité des dents. Nous pourrons, sans erreur sensible, supposer que le point de la lèvre où le choc a lieu se trouve à la même distance du point 0' que son extrémité intérieure ou extérieure, selon qu*il s'agit de la lèvre de sortie ou d'entrée. Considérons le premier cas, le second pouvant s'en déduire en changeant r' en r' -h e et attribuant une autre valeur à /. En vertu de la formule précitée, on a

Les déplacements que nous avons supposés très-petits pendant la chute sont respectivement pour l'ancre et la roue

tf«= ^^= --r-cot'7 — ;

d'où

Désignons par a' l'angle 00' c et par do/* l'angle que forme

4^8 QUÀTRIÈIIB PAETIB. — CBAPITRE VI.

Oc avec le rayon qui joint Of au point de la lèvre où le choc a lieu» angle que Ton déterminera au moyen de la formule (lo') du n"* 171, après y avoir remplacé in' par la valeur trouvée plus haut.

Soient maintenant

Cl), 6)^ après le choc, les vitesses angulaires de la roue d'échappement et de l'ancre ;

r le moment d'inertie par rapport à 0' du système formé par l'échappement et le régulateur;

I le moment d'inertie, par rapport à l'axe 0, que Ton doit attribuer à la roue d'échappement pour qu'il soit permis de faire abstraction du corps de rouages;

^ =r rsiny', />'= r' cos/ les distances des points 0 et O' de la normale à la lèvre;

q=zr cos/, q*= r'sin/ celles des mêmes points à la direction de la lèvre;

/ le coefficient du frottement développé pendant le choc entre la lèvre et la dent de la roue d'échappement.

La seconde des formules (4) du n"" 151 (première Partie, t. II) s'applique ici et donne, après la substitution de la valeur de M» déduite de l'équation (i) et de celles dep, 9, p', q',

ti"h/tang7' "I

1+ r7^ — • i-f-/tang7'-h y ^ (tang7'-H/)tangyj

Gomme le rapport j a une valeur très-notable, à plus forte

raison lorsqu'il est multiplié par -;;> on voit que le rapport -r

ai,

ne diffère de l'unité que d'une petite fraction, comme nous l'avons supposé au n"" 162.

Nous allons maintenant chercher à nous rendre compte de l'influence que peut avoir, sur l'isochronismcla pression continue exercée sur les lèvres, de l'échappement par les dents de la roue.

Pour simplifier, nous négligerons le frottement, et cela avec d'autant plus de raison qu'il n'est que de -^ environ de la

DBS éghàppembiits. 479

pression normale, et que, d'après le tracé adopté en général, son bras de levier par rapport à 0' est inférieur à celui de cette presion.

Soient (^g-. 202)

Fig. !2oa.

O^ 0 les axes de l'ancre et de la roue ;

a la naissance intérieure de la lèvre de sortie;

m le point de contact, à un instant quelconque, de cette lèvre

et d'une dent; n le pied de la perpendiculaire abaissée de ce point sur 00' ; d la distance 00' ; e, vp' les angles O'Om et 00' a ; p' le rayon vecteur 0' m ; B' l'angle polaire mÇf a; mN la portion de la normale à la lèvre, comprise dans l'angle

O'mO;

Nous rappellerons que l'angle O'am est égal à tt — /, et nous désignerons par d», ^''o ^^s valeurs de 0 et de ^* qui se rapportent à la position verticale du pendule. La force motrice, qui varie relativement avec une grande lenteur, peut être considérée comme constante dans une période assez longue. II en est de même, par suite, du moment de la force tangente à la roue qui lui ferait équilibre ainsi qu'au frottement dans la transmission. Nous désignerons ce moment par fz.

48o QUATRlfeHB PABTIB. — CHAPITRE VI.

Le moment du poids du pendule par rapport au point (y, en négligeant l'angle de chute, peut être représenté par l^' W — ^\h 1^' étant une constante.

Le principe des forces vives donne la relation

Ona

0'mO = TT — 0-^/itO'O = 7r — 0 — 4>'-hÔ', 'O^ = O'/wO — O'wN = - - 9 - f M- V.

Si Ton exprime que les composantes des vitesses normales en m sont égales pour la roue et Tancre, on a

(a) wV 008(7'— 0') = wr ces (0-4- +' — 7')

et de même

(a') w', 7^0037'= w,rC08(ô,-h+', — y).

L'équation (i) devient ainsi, par l'éUmination de a», <u«,

a L r* cos'(ô^+'-7')J

^^ 1 aL*"^'r»cos'lô.^+'.-7')J

A réquation de la lèvre

^^' f^ "" 6in(7'— ô')'

nous joindrons les relations

(p'8in(f-e'):^r8in0,

* ' ( p' 008(4»'- ô')-t-'-CO80= rf,

pour déterminer les valeurs de 6 et de 0* en fonction de ^' et

BSS ÉCHAPPEllIUKTS* 4^1

substituer ensuite ces valeurs dans l'équation (i). Ce calcul qui, dans toute sa généralité, présente des difficultés insurmontables, se simplifie considérablement si l'on remarque que les angles ^'^^\=Sf^, 6— 6, = 30 et 6' sont toujours assez petits pour que l'on puisse sans grande erreur en négliger les puissances supérieures à la première. L'équation (4) se réduit alors à la suivante :

(4') p' = r'(i-hô'cot7'):

les équations (5), en se rappelant que 4^', + 0. = -i donnent

Comme le rapport p— ^ est toujours une petite fraction, on

peut négliger 0' et d^ ^^^^ '^ coefflcient du terme en &>'' de l'équation (3}. Cette équation devient ainsi

I'+ 1 -^ cot'v'j ^-^ ^ *r + f 7 cot7'*+';

d'où, en différentiant par rapport au temps,

( 5') (ï' + 1 J coiv) '-§- =-(»*+'+ K 7 coty.

Si nous posons

nous aurons

Comme nous analysons séparément, ainsi que nous l'avons dit plus haut, les effets des causes perturbatrices, nous ferons abstraction de la chute, et en plaçant l'origine du temps à l'instant où le pendule se trouve dans sa position moyenne, aous aurons

"^'^ ' -^ = w, pour/ = o;

483 QUATBIËMI PABTIB. — CHAPITBB VI.

par suite

»'= ^ =»;cos>t'/-hX'P'8in;5-'/.

Lorsque la dent est sur le point de quitter la lèvre, ^' — ^', est égal à Tangle de levée X, et si /„ tù\ sont à cet instant les valeurs de t et o)', nous avons pour les déterminer

^gj jx=p'^-^8inX'r.~P'cosX-'/.,

( «; = «; cosit'/, -+- A'P' çinX'/,.

Si nous posons maintenant A-' = ^ » nous aurons pour l'arc complémentaire

en négligeant le frottement sur le repos, qui, à la période de levée près, n'altère pas Tisochronisme. En plaçant l'origine du temps à l'instant oii celte période commence» on a

d'où

9^ = >co8^/ -+- j (w'.cosA'/, -f- A'P' 8inA'r,)8inAr,

I dH' I

T -^^ = — X sinX/ -♦- T ( w. cosA'r, -♦- A'P'sin X'/, ) ooske.

Si l'on désigne par /| la valeur de t pour laquelle la vitesse angulaire --rp- est nulle, la durée de la demi-oscillation sera

mais comme, en restant dansées généralités, on ne voit pas nettement l'influence delà force motrice, nous allons procéder par approximation, en négligeant les termes du second ordre

enp'et «=— t; — •

DIS ÉCHAPPBHIKT8. 4^3

En posant la première des équations (8) donne

Si la force motrice n'agissait pas sur l'échappement, kr serait égal à -• Posons donc

'a ' jr étant de l'ordre de e et |3'; nous aurons

1 / >i'A-ft,**V

et par suite

T = — 7 — « arcsm -7- -H

^A Oi>« 6>0

On voit ainsi que l'influence de la force motrice sur le mou-

Fiff. ao3.

vement du pendule sera d'autant plus grande que la vitesse &/«, et par suite l'amplitude, sera plus faible.

484 QUATRlfiHB PiiRTlB. — CBAPITU VI.

Tout ce qui précède s*appliquey moyennant quelques ntodi- QcationSy à l'échappement de Graham appliqué aux horloges et dans lequel les repos se trouvent sur une même circonférence passant par le centre de la roue d'échappement {fig. 203).

173. Échappement à recul de Berthoud, — Dans cet échappement les repos sont remplacés par des arcs de cercle ou reculs tracés de telle manière qu'ils déterminent un déplacement rétrograde plus ou moins sensible de la roue d'échappement et par suite de tout le mécanisme. Comme le recul n'a pour objet que d'empêcher le pendule de s'arrêter, par suite d'arc-boutements dans les rouages, l'application de cet échappement n'a sa raison que dans les pièces d'un travail peu soigné.

La construction à laquelle Berthoud a été conduit par la pratique est la suivante :

Traçons en pointillé {Jig. 204 ) les repos auxquels on doit

Fig. 304.

substituer les reculs; à partir de l'extrémité n** o de chacun d'eux portons trois ouvertures de compas successives (0,1)» (f ,2), (2,3) égales à l'épaisseur e de l'ancre mesurée sur le rayon qui joint le point 0' au n** o. Au delà ou en deçà du point n® 3, selon qu'il s'agit de l'entrée ou de la sortie, portons sur le rayon (0',3 ) une longueur égale à e. Nous obtiendrons ainsi deux points n"* 4 P^i* chacun desquels et par le point correspondant n^ o nous ferons passer un arc de cercle d'un rayon égal à celui du repos, et le tracé des reculs se trouvera effectué. La seule condition imposée dans ce tracé est d'avoir un angle dé levée égal à 5 degrés.

Berthoud a donné à cet échappement le nom A'uochrone, sans s'expliquer sur. les causes perturbatrices qu'il a eu en

DES ÊCUAPPEMBKTS. ^SS -.

vue de faire disparaître. li semble qu'il a supposé qu'en créant sur le balancier, par le recul, un moment résistant, il devait éliminer l'influence de la pression continue des dents sur la roue, et compenser le défaut d'isochronisme résultant d'un trop grand écart du pendule. La question ainsi posée pourrait se résoudre en déterminant la forme qu'il convient de donner aux reculs pour qu'ils satisfassent aux conditions exigées. On n'aurait pour cela qu'à suivre une marche analogue à celle du numéro précédent; mais, comme nous n'avons pas ici d'angles qu'il soit permis de considérer comme très-petits, on serait arrêté par l'élimination des angles auxiliaires que l'on devrait faire entrer dans les formules. Dans tous les cas, il y a tout lieu de croire que la règle de Berthoud est trop absolue pour satisfaire aux conditions que nous venons d'énoncer.

174. Échappement libre des montres. — Les échappements à ancre des montres offrent la plus grande analogie avec ceux des pendules. La seule différence essentielle consiste en ce que la fourchette se trouve dans le même plan que l'ancre. On s'arrange de manière que le centre de gravité de l'ancre se trouve sur l'axe de rotation.

La longue branche de la fourchette est terminée par des corneSy à la naissance desquelles est ménagée une encoche destinée à recevoir un doigt fixé à un plateau faisant corps avec l'arbre du balancier. Immédiatement après la chute, le doigt reçoit une impulsion par contre-coup, se dégage presque instantanément de la fourchette, et le balancier, soustrait à l'action de la force motrice, continue sa demi-oscillation uniquement sous l'action du spiral. A la fin de la demi-oscillation suivante, le doigt s'engage de nouveau dans l'encoche^ entraîne avec lui la fourchette qui reçoit une nouvelle impui* sion, et ainsi de suite. Les dents de la roue d'échappement sont pointues ou ont la forme indiquée dans les ^^. 2o5 et 206, qui représentent les dispositions le plus fréquemment adoptées. Deux goupilles limitent latéralement la course de la fourchette. Il y a aussi le coin de renversement et autres détails dont il nous parait inutile de parler.

486 QBlTllfc» PUT». — CBAPini Tl.

Chaque repos est remplacé par un recul rectiligne qui a pour objet de donner de la stabilité k l'ancre, c'est-à-dire de ne pas lui permettre de se déplacer, sousl'influence de cei^ taines secousses, par suite de l'obliquité de l'action de la roue

Fis- 3oS.

sur les plans inclinés ainsi déterminés : c'est ce qui donne lieu à ce que les horlogers appellent du tirage.

Il existe une seule différence entre la théorie de cet échappement et celle de l'échappement des pendules, c'est dans

9KS ÊGHÂPPBIIKMTS. 4^7

le calcul de la vitesse angulaire de la roue et du balancier après le clioc ; car nous avons ici deux chocs simultanés» l'un entre la roue d'échappement et l'ancre» l'autre entre la four^ ebette qui termine l'ancre avec le balancier.

Fig. ao6.

Reprenons les notations du n® 173, en supposant que les lettres affectées d'un seul accent se rapportent uniquement à Tancre ; soient

0* le centre du balancier ; *

V son moment d'inertie;

a>', (ù\ sa vitesse angulaire avant et après le choc ; Op p" les distances du point de contact de l'ancre et du balancier aux centres 0, 0*'; N' la réaction du balancier sur la fourchette.

Il est facile de voir que Ton a

488 QUATAIÈMB PAiKTIB* — CHAPITRE VI.

En exprimant que les composantes normales des vitesses ou point de contact sont les mêmes après le choc pour les deux couples de corps choquants, on a

En éliminant les impulsions entre les équations (i)» il nous restera trois relations entre les inconnues &>' , 6)\ , tùx qui seront par suite déterminées.

Nous n'avons plus à nous occuper maintenant que du tirage. Pour qu'il fût le même à l'entrée et à la sortie, il suffirait que les inclinaisons des reculs sur les rayons de la roue, menés au point de contact des tangentes, passent par le point (y ; mais on peut se demander quelle est la relation qui doit exister entre ces deux inclinaisons pour que le recul soit le même de part et d'autre, en prenant pour la plus faible une valeur reconnue suffisante par la pratique.

Soient {Jig. 207 )

Fig. 307.

a, a! les naissances des reculs de sortie et d'entrée;

ab^ a' b' leur partie utile correspondant à l'angle au centre

/, {' les inclinaisons respectives de ab^ a'V sur les prolongements des rayons correspondants de la roue;

e l'angle de recul a 0 fr = a' 0^ ; /=:0a = 0a', r' = 0'a = OV.

DBS ÉCHàPPBIIBNTH. 4%

Les triangles aO'b, aOb donnent

, r'sina , rsint

008(1 -Ha) sin(i — «)

d'où

— tanga tang/ tangc =

1 — tanga tangi + ~ tanga

On trouverait de même

" tanga tangi'

tang«= ^5