Méthode de M. Brocot. — SI deux fractions quelconques
ft c
-y -r satisfont à la relation b a
ô'^Tî iw'
ù laquelle les réduites doivent leur propriété fondamentale, toute fraction comprise entre elles aura nécessairement des
il -^ c
termes plus considérables; mais, comme . , jouit, par rap-
ii c port à ^9 ^9 de la propriété exprimée par l'équation précédente, elle est la plus simple des fractions comprises entre ces dernières. En partant de là, M. Brocot a donné une Table où Qgurent toutes les fractions dont les termes sont inférieurs à 100, avec leurs valeurs en décimales, classées par ordre de grandeur. Un rapport quelconque tombe nécessairement entre deux fractions contenues dans la Table, et qui sont les plus simples parmi celles entre lesquelles le rapport est compris. En ajoutant ces fractions terme à terme, on en aura une moins simple, mais plus approchée du même rapport, et Ton continuera ainsi de proche en proche, jusqu'à ce qu'on ait obtenu une fraction satisfaisante.
Lorsqu'on veut arriver à une exactitude rigoureuse, il faut renoncer aux équipages de roues tournant autour d'axes fixes, et avoir recours aux équipages épicycloîdaux, dont nous allons nous occuper.
23. Des trains épicycloldaux. — Un train épicycloYdal se compose : 1^ d'une roue dentée A fixe ou mobile autour de
JO QOilKIfcHB PIKTIB. — CBIFIIRB 111.
son axe; 2° d'une pièce B (levier ou châssis, suivant les cas), mobile autour de cet axe, et qui porte un équipage d'engrenages dont la première roue engrène avec A, et dont nous désignerons la dernière par la lettre C.
Soient, en grandeur et en signe, a, b, c les vitesses angulaires de A, B, C, le sens positif des rotations étant défini à l'avance; si nous concevons qu'on imprime à tout le système une rotation égale et contraire à celle de B, qui se trouve ainsi ramené au repos, nous rentrerons dans le cas d'un équipage ordinaire d'engrenages, dont on déterminera en conséquence la raison e en grandeur et en signe ; mais les vitesses angulaires de A et C sont devenues a— -6, c — 6; ona donc pour la raison
Dans celte formule on peut considérer a, b, c comme étant les rapports des vitesses angulaires de A, B, C à celle u de l'arbre qui communique te mouvement au Irain, et la même formule permettra de déterminer l'un de ces rapports, connaissant les deux autres.
La fig. 43 représente un premier spécimen de trains épîcj-
cloldaui ; la roue dentée extérieure A, la roue Intérieure C et le levier B peuvent se mouvoir autour du même axe 0; la
TftÀlfSFORHATION DU MOUTUIKNT GIRCULAIRB CONTINU, BTC. 7 1
roue D montée sur le levier établit la communication entre les roues A et C* Si A est fixe, on a a = o; par suite
et D est animé d'un mouvement épicycloïdal.
Dans le train de Fergusson {Jig. 44 )> I^ l'oue A est fixe, ou /i = o, de sorte qu'on a encore la relation (2]; mais, au
lieu d'une roue C, on a trois roues indépendantes, de même diamètre, montées sur le même axe, engrenant avec la roue intermédiaire D; ainsi les e, pour ces trois roues, sont proportionnels aux nombres de dents correspondants. Si pour la première roue C on a e >> i, pour la deuxième e = i, pour la troisième t<^t, en faisant tourner le levier B, les deux rouages extrêmes tourneront en sens contraires, tandis que l'intermédiaire ne sera animé que d'un mouvement de translation.
Bans le train représenté par la Jig. 45, A est fixe et est
Fig. 45.
monté sur le même axe que B et C, qui ont le même diamètre; un pignon D établit la communication entre A et C. Supposons que C et A aient respectivement n — i et n dents; nous aurons
£ = i et - = -
n en
73 QUATEIÈMB PARTIE. — CHAFITBB III.
Si n= loo, le rapport des vitesses angulaires est rh ; on voit ainsi comment les trains épicycloTdaux se prêtent à la réalisation des rapports très-petits entre deux vitesses angulaires.
Nous donnerons plus loin d'autres applications des trains épicycloTdaux.
§ II. — Les axes de rotation sont concourants.
24. Engrenages coniques, — Proposons-nous de transformer une rotation &/ autour d'un axe 0^' en une autre o) autour d'un autre axe Ox^ qui rencontre le premier au point 0, de
manière que le rapport — soit constant, et désignons par (S')
et (S) les systèmes matériels qui tournent respectivement autour des deux axes ci-dessus.
Considérons deux portions correspondantes de ces axes pour lesquelles les rotations &)% tù sont de sens contraire pour Tobservateur couché successivement suivant Ox\ Ox, en ayant les pieds en 0, et concevons que l'on imprime au système des deux corps (S') et (S) une rotation égale et contraire à celle du premier, qui se trouve ainsi ramené au repos; (S) sera animé d'une rotation 0 autour d'un axe Oj, dont l'inclinaison sur Oa^ elOx est constante et est celle de la diagonale du parallélogramme, construit sur des longueurs proportionnelles à G)', a>, portées à partir du point 0 sur les deux axes.
Concevons deux cônes circulaires (o^j^to*), engendrés par la droite 0^*, tournant autour deOj:% 0^; le second cône, dans son mouvement relatif, roulera sur le premier; mais en revenant a la réalité, s'il y avait entre eux suffisamment d'adhérence, ils réaliseraient la transformation de mouvement dont il s'agit, et c'est ce qui leur a fait donner le nom de cônes primitifs.
Comme, en général, l'adhérence est insuffisante pour obtenir l'effet voulu, on munit chaque cône de saillies ou dents, ayant une forme conique dont le sommet est en 0, séparées par des intervalles ou creux: dans chaque creux pénètre, dans une certaine région, une dent de l'autre cône, qui pousse
TBAR8F0BHAT10K DU MOUTBMElfT CUCULAIRI C0NT1NI7| ETC. 78
une dent de la seconde roue de manière à établir la continuité du mouvement.
Une sphère d'un rayon quelconque R ayant pour centre le point O déterminera : i^ dans les deux cônes (9^], (7) deux cercles {s'), (1) roulant l'un sur l'autre; 2<* dans deux dents en contact de (S'), (S) deux courbes {a^),{a), dont la première sera l'enveloppe des positions de la seconde.
En faisant sur la sphère le même raisonnement qu'au n*" 12, sur le plan, on reconnaît que l'arc de grand cercle normal au point de contact m de (a' ) et (a) passe par le point de contact A des deux cercles («'), (s), que {a) étant donné, on déterminera (a') par la construction du numéro précité, en substituant aux expressions de centre et de rayon celles de pôle et d'ouverture de compas sphérique.
Mais comme le contact, en vue de réduire l'influence du frottement, est toujours peu étendu de part et d'autre de la génératrice de contact des cônes, on peut substituer approximativement à la construction «précédente, qui présente des difflcultés pratiques, celle qui suit.
Soient (y?g. 46)OA = R le rayon de la sphère déterminé
Fig. 46.
par la direction de 0/; B, B' les intersections de la perpendi* culaire en A à OAavec Ox, Ox'.
74 QUATRlftHB PARTIE. — CHAPITRE III.
Concevons deux cônes, engendrés par la révolution de BAy BA' autour de O^r, Ox' ; ces deux cônes, que nous supposerons matérialisés» seront tangents à la sphère en A, et détermineront, dans les dents, des courbes que l'on peut considérer comme se confondant avec les profils sphériques dans rétendue du contact à partir du point A.
Soient ui, cot les composantes de o) suivant BB' et sa perpendiculaire dans le plan des axes; (ù\, (ù\ les composantes semblables de 6>'. Des rotations cùiy (ù\ ne résultent, aux environs du point de contact, que des vitesses de l'ordre de l'étendue du contact et qui peuvent, par suite, être négligées. Les rotations (ùi, (ô\ donnent lieu au déplacement des profils dans le plan tangent dans lequel on peut supposer que les deux cônes ont été développés; on obtient ainsi deux secteurs dentés engrenant l'un dans l'autre à une faible distance de la ligne des centres et dont les vitesses angulaires sont respectivement a>29 (o\. Or on a
<=û)'cos(y,r),
w sin(x^ r) «'"" siii(4:,j)
d'où
«, tang(.r\r) AB'^
w', ~ tang (x,x) ~~ ÀB '
Il suit de là que les dents des secteurs doivent être tracées comme celles d'un engrenage cylindrique dont les rayons des circonférences primitives seraient AB, AB'.
L'épure, faite et découpée en patron, sera appliquée sur le double cône (B, B') sur lequel on tracera le profil des dents.
En nous plaçant maintenant au point de vue pratique, le double cône sur lequel s'effectue le tracé est celui qui termine l'engrenage dans la région la plus éloignée du point 0; les dents tracées, on coupe les cônes B, B' par des plans CD, CD', perpendiculaires aux axes 0^, Oa:', de manière à ne laisser subsister que les zones correspondant à l'épaisseur transversale des deux roues, qui sont limitées à l'intérieur par les cônes de sommet 0, ayant pour bases les cercles détermi-
TIÂlfSFOUATIOM DU MOUTBIBRT CIRCDUIIB CONTIND, WIC. -jS ■
nés parles plans CD, CD'. SoienlAA, l'épaisseur que l'on veut donnera l'engrenage dans la direction de OA; C„ C, les intersections de la perpendiculaire en A, à AO avec OC, OC; on termine l'engrenage dans la région la plus rapprochée du sommet par les troncs de cône engendrés par les droites A,Ci, A', C,, tournant respectivement autour de Ox, Ox' [Jig. 47).
Fij. 47.
Les profils sphériques des dents des engrenages coniques jouissent de propriétés géométriques intéressantes, pour l'élude desquelles je renverrai à mon Traité de Cinématique pare.
35. Trains épicyclotdaux. — La Jig. 4B représente un train épicycloldal à engrenages coniques. La roue A fait corps avec son arbre; la roue G est mobile sur l'arbre qui la traverse el dont l'axe se trouve sur le prolongement de celui du précédent; l'arbre de Cest relié à angle droit au levier B, autour duquel tourne le pignon B, qui met en rapport A et C.
La formule (i) du n* 33, qui peut se mettre sous la forme
^6 QUÀTRltUfl PÀRTII. — GHiPITRB III.
s'applique au cas actuel, a, 6, c étant les rapports des vitesses angulaires de A, B, C à celle de l'arbre qui produit le mouve-
Fiç. 48.
ment, et £ la raison des engrenages C et A, supposés déve*
loppés dans un plan (ik). Si les roues A et C sont identiques,
on a
el
Cette disposition permet d'établir entre les vitesses angu-
laires de deux arbres un rapport ^i dont l'un des termes au
moins renferme des facteurs premiers trop considérables pour que les équipages ordinaires soient suffisants.
En multipliant, si cela est nécessaire, les deux termes de cette fraction par un nombre choisi convenablement, on peut
toujours la mettre sous la forme -^9 a, ^,y étant trois fac-
leurs dont deux au moins, a, ^ par exemple, sont premiers entre eux.
L'équation
admet une infinité de solutions entières, positives ou négatives. Supposons que l'on ait trouvé des valeurs convenables pour X et x; nous pourrons identifier l'équation (2) à la suivante :
«f 7 ~ py «V
TRANSFORMATION DU KOUTBMBIIT CIRGULAlRK CONTINU, ETC. 77
OU poser
On est donc ramené, au moyen d'engrenages, à transformer la rotation c dans la rotation a autour de Tarbre A, situé dans le prolongement de celui autour duquel la transformation doit être opérée.
26. Joint universel. — Pour transformer l'un dans l'autre deux mouvements de rotation autour d'axes concourants, dont il est nécessaire de faire varier l'angle à volonté, pourvu qu'il n'atteigne pas go degrés, on emploie le joint universel, qui consiste dans la disposition suivante.
Les arbres se terminent chacun vers le point de concours de leurs axes par une fourche [Jig. 49) dont les branches sont
Fîg. 49.
percées d'ouvertures circulaires; l'axe de ces yeux rencontre celui de l'arbre auquel il est perpendiculaire. Dans les yeux des deux fourches pénètrent les extrémités des branches d'un croisillon formant, d'une seule pièce, deux tourillons rectangulaires. Le centre du croisillon coïncide avec le point de concours des axes de rotation.
Il est visible que les axes de figure des croisillons sont con-
78 QUATRlftHB PARTIE. — CHAPITRE lit.
stammenl compris dans deux plans perpendiculaires à l'axe de rotation passant par le centre du croisillon, et dont la direction de l'intersection est complètement déterminée. Soient (yîg. 5o)
Fig. 5o.
PQ l'intersection de ces deux plans; A l'angle aigu qu'ils comprennent; 0 le centre du croisillon;
Oa, Oa' les positions, à un instant quelconque, des portions de l'un et l'autre axe du croisillon, situées respectivement dans deux régions des plans faisant entre elles l'angle A;
Xj x' tes angles formés par Oa, Oa! avec OQ.
Le triangle sphérique déterminé par les droites OP, Oa, Oo' donne, en se rappelant que l'angle aOa* est droit,
0080? 0030/ ■+■ sinx sino:' ces A = o,
d'où
tangx = —
COSÂ
coto?'.
Les vitesses angulaires (ù, ai' de Oa, Oa' ou des deux arbres
dx dx* étant respectivement égales à ^? -ttj on déduit par la dif-
férentiation de l'équation précédente
COS'o:
ta' ces A sId'o:''
TRÀIT8P0BHATI0N DU KOUYEMENT CIRCULAIRE COHTINU, ETC. 79
d'où, par rélimination de af^ au moyen de la même équation.
cosA
1 — sin^xsin'A
Le rapport des deux vitesses angulaires varie ainsi entre les
limites
cosA
et cosA; ces limites diffèrent d'autant moins
l'une de l'autre, ou la transformation est d'autant plus régulière que l'angle A est plus petit. On voit aussi que la transformation est impossible lorsque A == 90** ou que les axes sont à angle droit, ce qui est visible a priori.
§ III. — Les axes de rotation ne se rencontrent pas»
87. Emploi des engrenages et des courroies^ — Nous avons Ici à transformer une rotation oi en une autre o)' dont l'axe n'est pas compris dans le même plan que celui de la première, de
manière que le rapport — reste constant.
(ùi
Soient {Jig. 5i )
A, A' deux points respectivement pris sur les deux axes ;
Ax, A' j/ deux portions de ces axes pour lesquelles les rotations sont de sens contraire pour l'observateur couché successivement suivant ces deux droites en ayant les pieds en A, A'.
Ck)nsidérons la droite AA' comme l'axe d'un arbre intermédiaire et éublissons dans l'angle xkkf un engrenage conique
8o QUATRIÈMB PAETIB. ^ GHAPITEB III.
donnant lieu autour de A A' à la vitesse angulaire tôt, définie par la relation
/il étant une constante ; les rotations co et coi seront de sens contrairei la première de la gauche vers la droite, la seconde
Fig. 53.
de la droite vers la gauche, pour l'observateur couché suivant Aj:, AA\ en ayant les pieds en A; mais ui aura lieu de la gauche vers la droite si l'observateur a les pieds en A'.
Montons également en A' un engrenage conique qui puisse transformer a)i dans la vitesse angulaire co', dont le sens aura lieu de la droite vers la gauche. Si ht est la raison de ce dernier engrenage, on a
En multipliant cette relation par la précédente, on trouve
et par suite
On peut se donner arbitrairement Tune des deux raisons /i. et Al, de sorte que la transformation peut se réaliser d'une infinité de manières pour un même arbre intermédiaire.
Lorsque les circonstances le permettent, il est avantageux de prendre pour AA' la perpendiculaire commune aux deux axes pour réduire à son minimum la longueur de l'arbre Intermédiaire.
TRANSFORHàTION ou MOUYBIIBICT GIECOULIRB CONTINU» ETC. 8l
La transformation peut encore s'effectuer (fig. Sa) en prenant pour intermédiaire une parallèle ky à A'x', menée en un point A de kx\ un engrenage conique permettra de transformer (ù en une rotation eoi que Ton peut se donner arbitrairement, et l'on est ramené à transformer les rotations îùx^^' dont les axes sont parallèles* ce que Ton sait réaliser.
On peut employer encore d'autres dispositifs, auxquels nous ne nous arrêterons pas, pour produire la transformation proposée, à l'aide d'engrenages coniques et cylindriques et de courroies.
28. Fis sansfin. — Ce mécanisme a pour objet de transformer l'un dans l'autre deux mouvements de rotation autour d'axes perpendiculaires non concourants, de manière que le rapport des vitesses angulaires reste constant,
La vis sans fin se compose : i*" d'une vis à filet rectangulaire qui reçoit un mouvement de rotation autour de son axe ; 2* d'une roue dentée montée sur un axe perpendiculaire au précédent; le filet déplace successivement les dents de la roue, dont il détermine le mouvement de rotation, et la transformation est opérée.
Soient {Jig. 53 et 54 )
r le rayon du noyau de la vis;
I l'inclinaison de l'hélice sur l'axe du noyau;
z la distance d'un point a de l'hélice à une section droite déterminée du cylindre;
9 l'angle compris entre les plans méridiens passant par a et le point a» de l'hélice compris dans le plan de la section cidessus;
h le pas de l'hélice.
On a la relation connue
(i) z = ôrcot/ = — 0.
Supposons d'abord que la roue soit réduite à son plan
moyen (P) mené par Taxe 00 de la vis perpendiculairement
à l'axe O'O' de la roue» et soient ma! la section déterminée dans
l'une des dents en contact avec le filet; ma la génératrice cor-
82 QUàTEIKHB partis. ~ CBAPITRI lit.
respondanie de la surface hélicoTdey a le point de rhélice situé sur la génératrice du cylindre.
Fig. 53.
Si l'angle d qui se rapporte au point a est celui dont a tourné la vis, à partir du moment où a se trouvait dans le plan (P), la génératrice am sera remplacée, au bout du temps dt^ par une autre axmx\ mais on voit que l'on est ramené à considérer le mouvement d'une droite am dont la vitesse de translation parallèle a 00 est
•27r clt 27r
(ù étant la vitesse angulaire de la vis. Si Ton désigne par gj' la vitesse angulaire de la roue, la con-
dition que doit remplir l'engrenage est que le rapport — reste
constant, et par suite qu'il en soit de même de v^-*, mais on
voit alors que Ton est ramené au problème que nous avons résolu pour la crémaillère, et que le profil des dents doit être la développante de la circonférence primitive de la roue. Dans la réalité, les dents sont des cylindres dont les gêné*
TRAKSFOBaiTIOn DD lOUTEMBHT CIHCDLinK CONTINU) ETC. 63
ratrices font avec l'aQgle CCy l'angle 90°— i. Le contact entre la vis et une dent n'a lieu rigoureusement dans le plan (P) qu'au point A situé dans le plan mené par 00 perpendiculairement à (y 0'.
FiB- Si.
La vis sans fin n'est donc pas un engrenage mathématiquement exact; mais elle donne une approximation d'autant plus grande que l'étendue du conlacl, à partir de A, est plus pe-
Cet engrenage, comme la crémaillère, peut être rendu réciproque en terminant le proDI du filet par une lêle cycloldale.
QUàTRIK» PIBTIK. — CHAPITKI 1*.
