III
34 QUATRliUIB PARTIE. — GHAPITRB III.
de dents vienne à succédera celui du couple précédent, il faut que les circonférences primitives aient tourné du même arc.
Si l'exécution des roues était parfaite, il suffirait que les bases fussent égales aux intervalles; mais, comme il est impossible d'arriver à cette perfection, on a soin de donner aux vides sur les pleins un excédant de largeur qui est généralement compris entre -jV ou 70 du pas, et qui est le jeu de l'engrenage. Après avoir tracé sur les circonférences primitives les divisions correspondant au pas, on détermine les pleins et les vides en tenant compte du jeu fixé d'avance, d'après le degré de précision que doit comporter l'exécution de l'engrenage; puis on trace le profil des dents de l'une des roues en se donnant celui des dents de l'autre roue; le rapport du nombre des dents des deux roues est par suite égal à celui des circonférences primitives, c'est-à-dtre à celui de leurs rayons.
Généralement on forme chaque dent de deux parties symétriques par rapport au rayon qui passe par leur milieu; de sorte que, si la largeur des dents était égale à celle de leurs intervalles ou s'il n'y avait pas de jeu, le contact aurait lieu en même temps des deux côtés de chaque dent, ce qui est irréalisable dans la pratique, car les moindres irrégularités arrêteraient le mouvement de l'engrenage.
Pour limiter l'influence du frottement, comme nous le verrons dans un autre Chapitre, il convient de faire en sorte que le contact n'ait lieu que sur une petite étendue de part et d'autre de la ligne des centres, ou que les arcs correspondants des circonférences prinytives, par suite le pas, soient relativement petits.
l/u choix des profils, — Pour que la construction du n^ 13 puisse conduire à un résultat pratique, il faut choisir l'enveloppée de manière qu'il n'en résulte pas de pénétration avec la partie utile de l'enveloppe. Ainsi, par exemple, si les centres des cercles tangents de la tête et de la face de l'enveloppée se trouvaient d'un même côté de son point d'Inter» section avec la circonférence primitive (S), les deux parties correspondantes de l'autre profil se trouveraient aussi du même côté de leur point commun ; et comme elles se péné-
TEÀKSFORMATlOlf I>0 MOCVEMEIIT CIRCULAIRE CONTINU, BTC. 35
treraient» elles ne seraient pas susceptibles d'une exécution matérielle; il faudrait donc opter entre Tune ou l'autre de ces parties et renoncer à faire conduire les roues avant et après la ligne des centres, ce qui peut offrir des inconvénients.
On doit auunt que possible rejeter également tout système de courbes dont l'une serait complètement ou partiellement concave, parce que cette forme peut donner lieu à des arcsboutements que nous définirons plus loin, qu'elle présente des difficultés d'exécution, et enfm que les dents qui en résultent ont une plus grande tendance à retenir les corps étrangers quipeuvent s'introduire entre elles.
C'est pourquoi, dans la pratique, on n'emploie que quelques formes d'enveloppées à l'abri des inconvénients précités, qui offrent une facilité convenable d'exécution, et qui sont comprises dans les cas spéciaux dont nous nous sommes occupé à la fin du numéro précédent. Nous aurons donc à examiner plus loin les différentes solutions pratiques du problème des engrenages.
De la continuité du mouvement. — Il est nécessaire et il suffit, pour qu'il y ait continuité dans le mouvement, qu'il y ait toujiTurs deux dents en prise; on satisfait généralement i cette condition en disposant l'engrenage de manière que chaque dent cesse d'agir lorsque la suivante arrive à la ligne des centres. Il faut donc limiter les dents dans le sens de leur longueur, par la circonférence de même centre que la circonférence primitive correspondante, passant par le point de con* tact du couple de dents qui suit celui qui se trouve sur la ligne des centres, en ayant soin d'adoucir les arêtes vives résultant de cette troncature.
Les creux de chaque roue sont définis par une circonférence semblable, d'un rayon un peu inférieur à la distance du centre à l'extrémité d'une dent de l'autre roue amenée suivant la ligne des centres, de manière à laisser entre cette dent et le fond du creux un espace suffisant (que Ton prend généralement égal au -^ du pas) pour éviter des rencontres dans le cas d'un jeu dans les coussinets produit par l'usure. Desarcs-boutements.— On sait que tous les corps présentent
36 quâtmèhi pàrtib. — chapitrb m.
à leur surface des aspérités plus ou moins saillantes, selon le degré du poli. Si, sur une surface plane d*un solide, on fait mouvoir sous un certain angle le tranchant d'un ciseau, on n'éprouvera que la résistance due au frottement de glissement, si le déplacement a lieu du côté de l'angle aigu d'inclinaison; dans le cas contraire» le ciseau butera ou aura une grande tendance à buter contre les aspérités de la surface, en produisant des arrêts ou arcs-boutements suivis de pénétration dans la matière si l'action exercée sur le ciseau est sufBsanté.
Une pareille tendance aux arcs-boutements aura lieu entre les dents de la roue menante et celles de la roue menée, l'arête qui termine les premières jouant le rôle de ciseau, si le contact commence avant la ligne des centres, ce qui n'aura pas lieu au delà de cette même ligne.
On devra donc chercher à éviter que le contact commence avant la ligne des centres, et, lorsque les circonstances ne le permettront pas, on réduira autant que possible l'arc d'approche (ou de contact en deçà de la ligne des centres) pour diminuer les tendances aux arcs-boutants(*). Par opposition, on désigne sous le nom d'arc de retraite celui qui correspond au contact au delà de la ligne des centres.
Engrenages réciproques. — On dit qu'un engrenage est réciproque lorsque chaque roue peut être menante ou menée dans les deux sens. On voit facilement que dans ces sortes d'engrenages, lorsque le contact a lieu sur la ligne des centres, les deux couples de dents adjacents, correspondant respectivement à la menée dans Tun ou l'autre sens, se touchent à la
(* ) Lorsque l'arc d'approche est considérable et que les dents ne sont pas ou ne peuTent pas être souTent lubrifiées, les aros-boutements déToloppentune résistance qui surpasse celle qui résulte 4|i frottement de glissement d'une quantité dépendante de la nature des matières en contact, de l'action mutuelle qu'elles exercent entre elles, de la masse des particules enleTées, de la profondeur du cisaillement, etc. Cette résistance est celle que les horlogers appellent le frottement rentrant en opposition de l'expression de frottement sortant qu'ils appliquent au contact au delà de la ligne des centres. Ces deux dénominations doivent ôtre rejetées et il serait préférable d'introduire dans le langage technique l'expression de cisaillement pour désigner la résistance qui vient s'ajouter au frottement lorsque le contact a lieu avant la ligne des centres.
TtAKSFOEHATION BU HOUTEHBlfT €IftGULÂlM CONTINU, BTG. 3^
limite du contact. Il y aura donc toujours deux couples de dents en contact, Tun avant et l'autre après la ligne des centres. Il arrive souvent que, par de simples variations de vitesse, les roues, tout en continuant à marcher dans le même sens, sont ;ilternativement menante et menée; pour atténuer autant que possible les chocs résultant de ces changements, il ne faut donner au jeu que strictement ce qui est nécessaire pour parer aux imperfections de l'exécution de l'engrenage.
14. Relation entre les vitesses angulaires de deux roues extrêmes d'un système de roues dentées engrenant successif ventent l'une avec Vautre. — Soient o), o)', . . . , u^"^ les vitesses angulaires de ces roues, R, R%.. ., R^"^ les rayons de leurs circonférences primitives; on a, d'après la condition fondamentale à laquelle doit satisfaire tout engrenage
d'où
en d'autres termes, le rapport des vitesses angulaires des roues extrêmes est le même que si elles agissaient directement Tune sur l'autre; d'où le nom de parasites donné aux roues intermédiaires qui ne modifient en rien le mouvement transmis.
Il faut remarquer que les rotations de la première et de la dernière roue seront de même sens ou de sens contraires pour des engrenages extérieurs, selon que le nombre des roues parasites sera impair ou pair : ainsi on pourra éviter la construction d'un engrenage intérieur, en se servant d'une roue parasite intermédiaire entre les roues extrêmes, dont les diamètres seront dans le rapport inverse de celui des vitesses angulaires.
15. Engrenages à flancs rectilignes, — L'engrenage le plus généralement employé est celui dans lequel le flanc des dents de l'une des roues est le rayon de la circonférence primitive;
QUATtlftMB PARTIE. -^ CHAPITRE III.
es léies des dents de l'autre roue sont par suite des épicycloTdes, que Ton tracera d'après la méthode indiquée au n^ 12.
(a). Engrenage extérieur {Jig.35). — Si l'une des roues doit
FIg. 35.
toujours conduire l'autre dans le même sens, en s'imposant la condition que la prise ne commence qu'à partir de la ligne des centres, il suffit de limiter les dents de la roue menée par des flancs reclilignes, et celle de l'autre roue par des faces épicycloldales. L'epgrenage ainsi construit pourra également fonctionner dans l'autre sens» la première roue conduisant toujours la seconde; mais le contact n'aura lieu qu'avant la ligne des centres, ce qui est un inconvénient, comme nous l'avons dit plus haut. Pour rendre cet engrenage réciproque, il suffira de former chaque dent d'un flanc rectiligne et d'une face épicycloTdale, correspondant respectivement à la face épicycloTdale et au flanc rectiligne des dents de l'autre roue, ce qui est
TRANSFORMATION DU aOUTBlIBNT GIRGULAIEB CONTINU, BTG. 3g
toujours possible géométriquement et matériellement. D'après le mode de tracé du profil épicycloïdal, on sait que le contact d'un flanc a lieu sur la circonférence décrite sur le rayon de la circonférence primitive comme diamètre, ce qui permet de limiter facilement les dents.
[b). Engrenage intérieur. ~- St la grande roue doit conduire le pignon, on formera chaque dent (Jlg. 36) d'une face épicy-
Fig. 36.
cloïdale, engendrée par le roulement sur la circonférence primitive d'une circonférence ayant R pour diamètre, et le contact avec les plans du pignon n'aura lieu qu'à partir et au delà de la ligne des centres.
Fig. 37.
Si, au contraire, le pignon doit conduire, il devra être armé de faces épicycIoTdales qui agiront sur la portion des flancs de
4<* QUATmiftHB PARTIE. — CBAPfTRS III.
la roue extérieure à sa circonférence primitive; mais il faudra entailler en conséquence les jantes des deux roues pour laisser passer les dents de l'autre [fig. 37).
Cet engrenage ne peut pas être réciproque, car on voit que dans \^Jig. 87 on est obligé d'entailler les flancs rectilignes du pignon pour que, à rapproche, les dents de la roue puissent se loger dans les intervalles du pignon. En se reportant à la fig. 36, on reconnaît sans peine qu'une difficulté analogue se présenterait si l'on voulait munir de têtes les dents du pignon.
(c). Vengrenage à crémaillère {fig. 38), qui sert à transformer un mouvement circulaire continu en rectiligne continu,
Fig. 38.
n*est qu'un cas particulier du précédent, en supposant que le rayon R' de Tune de ces roues devient infini, ce qui la transforme en une tige rectiligne dentée. La relation w'R' = û>R se trouve remplacée par la suivante :
dans laquelle V désigne la vitesse de la crémaillère. Le profil de la tête deâ dents de la crémaillère est évidemment la cycloYde décrite par un point de la circonférence de diamètre R, roulant sur la droite primitive de la crémaillère.
Le profil de tête de la roue est l'enveloppe d'une perpendiculaire à la droite ci-dessus roulant sur la circonférence primitive de la voie, enveloppe qui n'est autre chose que la développante de cette circonférence.
(d). Tracé approximatif des flânes. — Les constructeurs, dans les cas ordinaires, remplacent l'épicycloïde de l'engrenage par un arc de cercle décrit de la naissance correspondante de la dent suivante, avec un rayon égal au pas ou plutôt
TRANSFORMATION DU HOUYBHBMT GIRGULAIRS CONTINU, BTG. 4>
à la corde qui le sous-tend. Cet arc se confond très -sensiblement avec répicycloTde, lorsque le pas est très-petit et que les dents ont peu de longueur. S'il s'agit de pignons très-petits à dents très-épaisses pour résister à des efforts considérables, on peut déterminer le centre et» par suite, le rayon de l'arc de cercle que l'on doit substituer à l'épicycloTde, par la condition qu'il passe par la naissance de la face et son dernier point de contact, et qu'il soit tangent au rayon mené au premier de ces points.
(r). Inconvénients de l'engrenage à flancs reetilignes, — Engrenage à flancs épicycldidaux. — Les inconvénients de Tengrenage i flancs sont les suivants : i"" le tracé des dents de l'une des roues dépendant de la circonférence primitive de l'autre, on ne peut lui faire conduire à la fois plusieurs roues de diamètres différents; 2° si les axes des roues éprouvent le moindre déplacement tout en restant parallèles, l'engrenage n'est plus exact; 3<> l'intensité de la pression exercée entre deux dents augmente i mesure que l'on s'éloigne des points de contact, ce qui tend à les faire user inégalement, en raison de Tinclinaison variable que prend la normale au point de contact; mais cet effet est presque annulé lorsque, comme cela a lieu généralement dans la pratique, le pas est trèspetit.
On peut éviter le premier inconvénient que nous avons signalé, lorsque la roue 0 doit faire mouvoir à la fols plusieurs roues extérieures, en donnant à ses dents pour profil de face répicyclolde décrite par un point de la circonférence P ifig.^) roulant sur sa circonférence primitive et en prenant pour profil de face Thypocycloîde engendrée par le même point de la circonférence P, roulant sur la circonférence 0'. Le flanc et la face de la roue 0' s'obtiendront de la même manière, en faisant à rinverse rouler la circonférence P à l'intérieur et à l'extérieur des circonférences 0 et 0'. Le cercle générateur est tout è fait arbitraire, pourvu qu'il soit le même pour toutes les roues qui doivent engrener ensemble; toutefois il faut que son diamètre soit au plus égal au rayon des cercles primitifs, afin que le flanc ne soit jamais convexe, ce qui aurait pour
42 QUATElfcMB PA&TIB. — GHAPITIB III.
effet de donner à la naissance des dents une épaisseur moindre qu'à la circonférence primitive, condition mauvaise au point de vue de la solidité.
Lorsque le contact est peu étendu de part et d'autre de la ligne des centres, on peut remplacer approximativement les arcs d'épicycloïde par les arcs de cercle osculateurs correspondant à leur partie moyenne, ce qui a conduit H. Willis à un tracé auquel nous ne croyons pas devoir nous arrêter.
{f ) . Minimum du nombre des dents d'un engrenage extérieur. — Pour qu'il y ait compatibilité entre les conditions, que les dents aient une forme symétrique, et que le contact ait encore lieu entre un couple de dents lorsque celui du couple précédent commence, il faut que le nombre des dents de chaque roue ne descende pas au-dessous d'une certaine limite, au delà de laquelle les vides qui les séparent ne seraient plus sufQsanis pour recevoir les dents de l'autre roue, et c'est cette limite que nous nous proposons maintenant d'établir.
Nous restreindrons d'abord la question au cas où, la prise ayant lieu sur la ligne des centres, le contact cesse entre le couple de dents suivant.
Soient
n, n' le nombre des dents du pignon 0 et de la roue 0' ; R n ^
i, V les rapports, au pas, des intervalles des dents des roues 0,0';
î>.7rR îttR' ,
a = = — T— le pas;
9 = — l'angle au centre de la circonférence 0 correspondant
au pas.
i*^ La roue conduit le pignon, — Les dents du pignon sont formées de flancs rectilignes, et celles de la roue de faces épicycloïdales; si m {Jig. 3g) est le dernier point de contact entre deux dents, on a
AOm = f.
TtÂirSPO&llATlON BU MOUTBIISNT CI&GULÀlRS GONTINUy STC. 4^
Il faut d'abord, pour qu'une dent de chaque roue puisse être contenue dans le vide de l'autre, que
d'où .
condition que nous supposerons remplie.
I Kl- — ■:um/
L'angle mO'A doit être au moins égal à l'angle formé avec 00' par le rayon mené au milieu de la dent de la roue en contact au point m, ou à
et Ton doit avoir
tang/nO'A> tang- (1 -+- i') p.
Si mN est la perpendiculaire abaissée du point m sur 00', on a
/wN = 0//I C08Ç = — sinaç, CN = R' -h AN = R' -+- R sin'(p ,
rxii wN II sma« ** ON 2 1 -t- /A sin'f
44 QUATUÈHB PARTIE. — CHAPITRE m.
L'inégalité ci-dessus devient par suite
(.) ^^—^ j:u,ng^ ,^.
En général, comme nous l'avons vu plus haut, T est égal à Y augmenté du jeu, que nous supposerons d'abord nul. Il nous reste, par suite, à satisfaire à l'inégalité
(a) i- ^ = tang(|fA.a,
qui devient, dans le cas de /x = o,
sinay >>, 3 aç» = 4
OU, en évaluant 9 en degrés,
/o\ sina<j»^ -
(3) c. o,oi3i.
^ ' ay ~ .
Si l'on remarque que le minimum de n est donné par
9 étant la valeur en degrés donnée de la formule (a) transformée en équation, on trouve, en résolvant cette équation :
Pour fx = o <p = 37**, ô, d'où n = ro,
PourfA = { o=^33",5, /î=ii,
PourfA=J 7=3o°, 5, «= la,
Pourfi=J «Ï> = a8%5, /î=i3,
Pourfx={ (p = a6%4, «=i4,
PourfA=i <p = a3°,6, /?=i5,
OU très-exactement
(4) /?=io-T-5fx(').
(') Au lieu de cette formule, Savary est arrivé à la sulTante :
11 = 10(1 -+-/*) qui donne des résultats plus forts lorsque /a atteint une valeur appréciable.
TRANSFORMATION BU HOCTBMKNT GIRGULàIRS CONTINU, ETC. ^5
Supposons maintenant que Ton veuille tenir compte du jeu, que nous représenterons par ii', cette quantité, ainsi que la variation correspondante d<p de (p, étant supposée assez petite pour que Ton puisse en négliger les puissances supérieures à la première.
En différentiant la formule ( i ), considérée comme équation, par rapport à la caractéristique S, on trouve
^^ . êr
.. r 2008 2 9 ftsin:
yfunoî — 4--
fin.
quantité qui est évidemment égale à • En ayant égard
aux valeurs de 9 données plus haut, on trouve :
Pour fA = o — = i,o5^/',
Pour fi = [ — = i,o8^i',
Pour n = l -^ = 1,11^/',
Pour 11 = 1 -^ =1,11^/',
Pour f* = I -^ = 1,11 ^i\
Pour f* = i — = 1,08^/',
de sorte que, en prenant pour n le nombre entier immédiatement supérieur i la valeur de
(5) n = (io-h5f*)(i-+-i, 11^/'),
on sera certain que l'engrenage sera possible, au moins en dehors des conditions de résistance qu'il doit remplir, et qui ne le seront pas, notamment dans le cas de dents trop pointues et d'efforts moteurs et résistants trop considérables. 2** Le pignon conduit la roue. --Au lieu de la formule (2)
46 QUATRltm PARTIS. — GHAPITRB III.
on obtiendra la suivante :
(6) î ; i,tang— -j — af,
qui s'en déduit par analogie, en y remplaçant fi par ~ et 9 par 9'= •^.
De la limite de 9' tirée de cette inégalité, on déduira celle qui résulte de la condition relative à un engrenage réciproque, et qui sera la seule à laquelle on aura à satisfaire. Il sufOt, pour s'en convaincre, de remarquer que les faces des dents de la roue sont des épicycloïdes aplaties, et que celles du pignon sont des épicycloïdes allongées, de sorie que, pour un contact d'une même étendue, l'arc de la circonférence primitive correspondant à la naissance et à l'extrémité d'un arc de face sera moindre pour le pignon que pour la roue.
Si Ton n'exige pas que le contact cesse pour un couple de dents, lorsque la nouvelle prise commence à la ligne des centres, ou que l'on admette qu'elle puisse se produire avant cette ligne, la limite inférieure du nombre des dents du pignon peut être plus grande que celle que donne la formule (5); il faut alors faire intervenir les arcs d'approche et de retraite, que nous représenterons par aa, av, a et i> étant des fractions du pas dont la somme est égale à une ou deux unités, selon que, lorsque le contact est sur le point de cesser entre un couple de dents, il commence entre le couple précédent de l'autre côté de la ligne des centres, ou qu'il y a déjà une prise sur la ligne des centres et une autre qui commence immédiatement en deçà de cette ligne; 9 continuant à désigner
l'angle — > nous devrons avoir
mais on a
mfi'm = 'm^ ÙÂ -t- ÀCX/w , îw, O'À = — = p^,
d'où
TlAIfSPO&llATIOll BU HOUYBMBRT GIRCULAIBB GONTINU, BTG. 4?
D'autre part, on trouverait comme plus haut, en remarquant que l'angle AOm est égal à 1^9,
tangAO'//! = i- •
n- £: — n cosat.9
Il faudra donc satisfaire à l'inégalité
(7 ^- tangixal a),.
qui permettra de déterminer le maximum de 9 et le minimum de n pour des valeurs attribuées à |:x, a et v.
On déduira facilement de la formule (7) celle qui serait relative au cas où la roue serait conduite par le pignon.
{g). Limite du nombre des dents dans l'engrenage à flancs intérieurs. — Il est facile de s'assurer que les formules relatives à cette question se déduiront des équaiions (i), (6), (7 ) , en y changeant le signe du cosinus qui entre dans la dénomina tion du premier membre; mais, comme l'engrenage intérieur est peu employé, nous n'avons pas cru devoir faire Tapplication de ces formules.
( A ). Relations entre le pas, la saillie et l'épaisseur des dents dans l'engrenage extérieur. — Soient
a, a a, av le pas, les arcs d'approche et de retraite ; e, e' eX Cl, e\ les épaisseurs du pignon et de la roue à la circonférence primitive et à l'extrémité; /i, r, les saillies de ces dents.
Occupons-nous d'abord de la roue 0' (flg. 39). On a
puis
3!^ = »A^=«, d'où R= ^, R'=^; n n aTT aîf
AOm = > AOA, = — 7->
/' = O'm - R'= Cm - —,
• aff
•-<'. = aF.A',= ^6^^,.
48 QUATBI&HS PàRTIB« — GHAPITRB HI.
Hais on voit facilement que
O'/îi = i/r'* -+- A/w» -+- aR'Am sinAO
= — i//2'*-H7î(/i-ha/i')sin* — ety comme plus haut.
fASinaAOm
tangOO'/w = ^= -^^p.:^ = ^1
d'où, en remarquant que l'angle B^O'A'i est généralement assez petit pour que Ton puisse le considérer comme égal à sa tangente.
B'i (yA\ = tangB', (XA', = tang(AOA; - OO'm)
a/i -h« — wcos-î — j tang — -, nsin- —
2n + A — A 008 -^ h n gin -^ — tang — ■
par suite
a /i -+- /i — » CCS -^^ h n sin -^^ — tang
On obtiendra des formules semblables pour le pignon en changeant dans ces dernières i> en a et n en n', et inversement.
Ces formules sont trop compliquées pour qu'on puisse les discuter facilement; mais dans les cas ordinaires de la pratique, que nous allons maintenant examiner, on peut leur faire subir sans erreur appréciable des simpliGcations importantes.
i^ Ca$ des petits arcs d'approche et de retraite,— Supposons que n, n! soient assez grands pour qu'on puisse négliger les
puissances supérieures à la seconde des angles — » ^- La
TRAHSFORMATIOH DO MODTHBIIT CIRCOLAIRB CONTINU, BTG. 49
. première des formules (i) donne, en conservant seulement les termes du second ordre,
On trouverait de même
(a ) /, = air — a^
En admettant un jeu de -^ du pas pour le creux, ou à trèspeu près ^ ) on a, pour la longueur totale des dents des deux roues,
/«/,-^/,^flj^ , + -J.
La seconde des formules (i) donne, en continuant l'approximation adoptée,
(3) I d'où
a H- fi
On trouverait de même
€ — r aTra' 1 =r 1
^ Nous remarquerons que, dans les cas ordinaires où a=t^— i , on a
2" C(u d'un pignon d'an petit diamètre. — Lorsque le
rapport ^ = — est petit et descend au-dessous de \ par
exemple, on peut, sans grande erreur, négliger le carré de /x ni. 4
5o QUÀTRltllB PàBTIB. — CHâPITRI IU.
devant ranité, et la première des formules (i) donne
i\ = — nu. 8in*
Hit ^ 2, n
* air \ a/ n
On peut aussi écrire
fASin
tangeO'/w = 7^ = psin — r a ~ p -»- u ces ^ j
a -f- a — a COS -
OO'/ii ^ tango O'w - teng*
~ 7- sin - — I a — ul a — ces ~ h - sm ) |
et enfin
. 4'f*' sm
(9) --^=av^__|^a-^(^.-cos— -«n— )J
Comme généralement, dans le cas qui nous occupe» on s'arrange de manière que Tare d'approche soit toujours trèspetit, il suffira d'appliquer les formules (3'} pour les dimensions des dents du pignon.
16. Engrenage à développante de cercle. — D'après ce que nous avons vu (12), si le profil de l'une des dents de l'une^ des roues est la développante d'un cercle qui lui est concentrique, le profil des dents de l'autre roue sera également la développante d'un cercle qui lui sera concentrique, et dont on effectuera facilement le tracé.
Pour rendre l'engrenage réciproque, on forme chaque dent de deux parties symétriques, et on limite les faces de manière que, lorsqu'un couple de dents est en prise sur la ligne .des centres, le contact cesse pour le couple suivant en même
TRAH8F0RMATI0N DU MOUTUSNT GimCULAIRB COIfTIlfU, STG* 5l
temps qu'il commence pour le couple précédeni. Si le cercle qui limite les extrémités des dents de l'une des roues coupe le cercle enveloppe du profll des dents de l'autre roue, on complète les dents et les creux de cette dernière par deux rayons et une circonférence qui lui soh concentrique (Jig. ^o).
Fig. 4o«
Oi>.
Pour éviter que les dents ne soient trop affaiblies à leurs extrémités par suite du rapprochement des développantes, on donne à la normale commune au point de conlact la plus grande inclinaison possible sur la ligne des centres. Considérons, par exemple, le cas de Tengrenage extérieur, le même raisonnement s'appliquant à l'engrenage intérieur, et abaissons du point de contact A des circonférences primitives la
Si QUàTRI&HB partie. ~ GHAPITRB lU.
perpendiculaire AC sur le rayon du pignon limitant l'arc AB pris égal au pas. Soit G' le pied de la perpendiculaire abaissée du point 0' sur la direction de la droite qui joint les points A et G; on satisfera à la condition que Ton s'est imposée en prenant pour circonférences enveloppantes celles qui ont pour rayons 0G> O'C'. Il est clair, en eiTet, qu'une dent du pignon parvenue à une distance égale au pas du point A sera poussée par son premier élément» et qu'elle ne pourra plus rètre au delà. Toutefois il faudra prendre l'inclinaison GC' sur 00' un peu au-dessous de la limite précédente, pour faire la part de légers défauts de pose.
L'engrenage intérieur est réciproque, mais il offre l'inconvénient de conduire à des dents concaves pour la roue, inconvénient que l'on ne peut atténuer qu'en multipliant suffisamment le nombre des dents.
Si, par un défaut de pose ou l'usure des coussinets, la distance des axes vient à varier, les dents continueront à agir suivant une normale commune, mais différente de celle qui avait été fixée, et les efforts transmis coniinueront i rester dans le même rapport qu'auparavant, puisque le rapport des rayons des circonférences primitives est égal dans tous les cas à celui des rayons des circonférences enveloppées; de sorte que l'usure des dents sera beaucoup plus régulière que dans tout autre système d'engrenage.
Le tracé du profil des dents du pignon ne dépendant que de son rayon et de l'inclinaison de la normale sur la ligne des centres, on voit qu'une même roue pourra conduire à la fois des pignons de diamètres différents. On déterminera le profil relatif à la roue pour le plus petit pignon et l'on en déduira ensuite les profils des autres pignons.
Malgré cet avantage, l'engrenage à développante est peu employé, en raison de la convergence des profils qui affaiblit beaucoup les dents, surtout pour les pignons d'un faible diamètre par rapport à celui de la roue.
(a). Tracé par un arc de cercle. — Si le contact est peu étendu de part et d'autre de la ligne des centres, on peut remplacer approximativement les deux développantes par deux arcs de cercle de centres G, G' et de rayons AG, AG\
TRÀHSVORIIATIOH DU MOUYBJiSlIT GIRCULÀIRB GONTINUy BTG. 53
(b). Minimum du nombre des dents dans l'engrenage exié- Heur à développante de cercle. — Comme au n^ 15, dont nous conserverons les notations, nous nous imposerons d'abord la condition que le contact commence à la ligne des centres.
Soient {jfig. 40 K> ^i ^^ naissance de la développante relative à la roue 0', lorsque le contact a lieu en A et en m ;
Fig. 4i.
y l'angle formé par la normale CC en A avec la tangente au même point menée aux circonférences primitives. On a
Aiîi = E; E', = OC'. AOA', = ftf R'cosv = f R cosy, »fN = A/ii.co87 = çR 008*7 = ?^ ^
tangmO A = ^-^ : — ^j
et, comme on doit avoir
m(jA d uf 1
il faut satisfaire à Tinégalité
/\ /*»(ï-+-cosa7)^ , i-hi
a -HfAf 8ma7 "" "' * a
mais nous avons vu plus haut qu'il y avait avantage h prendre 9 = y ou à supposer que les points m et G coïncident, ce qui donne
(a) ^-^ : — ^>tangwf •
^ ' a-h{A7 8ma7 "*^^ a
56 QUAniftHB PÀtTIB. — CHàPITRI III.
d'où, pour la saillie V, m de la dent A, m»
mais nous avons vu qu'il était avantageux de prendre y = — ^ ^ nous aurons par suite
On trouvera de même
On a AO'A'= fjif ; Tangle mO'A peut être considéré comme égal à sa tangente, c'est-à-dire, d'après l'article précédent, à
*-^ r-^; on a donc, en ne conservant que les termes du
i-hfJL(psm2y
troisième ordre,
d'où
(b) e'~ < = aR>?(7'-*- f*?7) = »«(7'-^ f*?7).
ou, en supposant 9 = y = — »
On trouverait de même ou
Si maintenant, en négligeant le jeu latéral, on suppose a=:2e = 2e', et que l'on admette pour les creux un jeu
TRÂN8P0RMATI0H DU MOUTlMBlfT CIBGULAIRB C0NTI1IU> BTC. 57
de — » soil à peu près ^> on a
17. Engrenage à lanterne. — Dans cet engrenage, le pignon qui porte le nom de lanterne est formé de deux plateaux circulaires ou tourteaux réunis près de leurs circonférences par une série de cylindres circulaires [fuseaux) équidistants , parallèles à Taxe de rotation, et dont les axes sont à une distance constante de ce dernier. Les dents de la roue [rouet), qui portent le nom d*alluchon, sont implantées dans la roue et sont ordinairement en bois, tandis que les fuseaux, qui s'usent plus facilement^ sont en fonte ou en fer et rarement en bois.
Considérons d'abord l'engrenage extérieur : l'enveloppée étant une circonférence, on exécutera le tracé du profil des allucbons, d'après la méthode indiquée au n* 12, en remarquant que l'on ne devra prendre que la portion de l'enveloppe extérieure à la circonférence 0 pour éviter une forme concave pour les dents. On s'assurera facilement que le contact a lieu exclusivement après ou avant la ligne des centres, selon que le rouet conduira ou sera conduit; mais, dans les deux cas, les rotations seront nécessairement de sens contraire.
Cet engrenage n'étant pas réciproque et nécessitant pour les fuseaux des diamètres relativement grands, ce qui donne lieu, par suite, à des frottements considérables, est peu em* ployé.
58 quàtaièxi partii* — CHÀPITKB iii.
Dans l'engrenage intérieur, on tracera l'épicycloTde engendrée par un point de la circonférence primitive du pignon dans celle de la roue, puis la courbe obtenue en diminuant ses normales d'une longueur égale au rayon du fuseau. Les dents du rouet ainsi déterminées seront concaves, inconvénient à ajouter a ceuxqu'on a signalés plus haut. On remarquera que, si le rayon de la grande circonférence est double de celui de la petite, Tenveloppe des fuseaux se béduit à une droite, ce qui permet d'établir le rapport y entre les vitesses angulaires au moyen de la disposition suivante, qui est assez curieuse. La roue porte six flancs en ligne droite formant rainures dans autant de bras de la roue; le pignon est muni du trois galets représentant les fuseaux glissant dans les rainures, et dont deux sont toujours en prise.
Une semblable disposition est également applicable à un nombre de galets supérieur à trois, mais la solution pratique devient moins simple.
(à). Minimum du nombre des fuseaux. —Supposons, comme cela a lieu habituellement, que la lanterne soit le pignon, et proposons-nous de déterminer le minimum du nombre des fuseaux qu'elle peut porter pour que l'engrenage soit possible.
Conservons les notations des n"** 15 et 16, 9 = — étant
l'angle au centre de la lanterne correspondant au pas a, ia. Va
Fig. 4^*
les vides respectifs de la lanterne et du rouet. Soient {fig. 4^) C, C les centres d'un fuseau dans les positions respectives
TBÂNSFOBHÀTION 1>U HOUYBHBNT GIBGULAIBB GOHTINDy BTG. 5^
OÙ la menée a lieu à la ligne des centres, et où elle flnit au point m.
La condition de continuité du mouvement exige que l'angle C'OC soit au plus égal è (f, et, en admettant Tégalité, on a
Pour qu'une dent du rouet puisse pénétrer dans l'intervalle des fuseaux C et G, il faut (15) que
tangmCyÂ^ tangï (n-i') f*.
Or le rayon des fuseaux a évidemment pour expression
C'^aRsiny^i^-!')
et, si mN est la perpendiculaire abaissée du point m sur 00% * on a
/hN = HsinAOC'- /nC'cos^^^^
= Rsm(3-0--aR8inî— îçcos(3-i)î
= 4Rco8(3-/)^ cos(5-3/)?8inri~^y;
et comme
AN = mNtang j
taiigmO'A = g^j:^, rioégalité ci-dessus devient
4pcos(3~i)^cos{5~3£)2 8in(i-hi)^ ,,
(0 z 1 r = ^ngf*-T-?-
H-4f*sin(3-0 I cos(5 — 3/) ? sin(n-/)|
Pour donner aux fuseaux une résistance suffisante, on fait en sorte qu'ils correspondent au moins à la moitié du pas; nous supposerons i = i, et, en négligeant d'abord le jeu, nous aurons i' = {.
6o QUÀTlltan PART». — GBAPITEB lU.
Si donc on pose
la formule (i) devient Pour fi = Oy on aura
cosSor CO87X 8În3j:^ \x
OU, en évaluant x en degrés,
co85^ 00370: sin Sx ^ 0,016170:
et, de la même manière,
On trouve, après quelques tâtonnements :
Poarfx = o x = 7,ai, d'où /»- 7,
Pour pt = -j x = 6,43, «= 7,
Pour fx = f «=5,70, /î = 8,
Pour /A = I a: = 4,86, /i = 10,
ce qui conduit à poser
Si maintenant on veut tenir compte du jeu latéral ii\ en supposant qu'il soit supporté seulement par les alluchons, on
trouve que — va en croissant de 0,40 Ji' à 0,7^3/' pour les
valeurs respectives de |:x = o, /:z=:i, de sorte que la formule (4) corrigée peut être représentée par
(e). Relations entre le pas et les dimensions desalluchons. — En conservant les notations du numéro précédent et celle
(^) Savary a trouvé
nANSFOlVATIOir DO HOUTUllTT aBCULAIEB CONTIlfUy STG. 6l
des n*^ 15 et 16, oi^a
0'iif= V Awt' -h R'»-H aAOT.R'cosAOC, AC = aRsin ^^^ = aR8in(3 ~/)î,
»iC' = aR8iii(i--i)2,
{a) Xm = AC— iiiC'= 4R8in(i-+- i) | cos(5 - 3i) |,
(^) C080AC'=8in(3-/)?;
par suite, en supposant i = 7, 9 = — ,
0*^= R't/i4-i6f*'8inS - cos'? - ■+- 81*8107 -CO87- sin-r -• Y *^ 4^* 4^ '^4'* 4^* 4'«
Si nous supposons maintenant que, par suite des valeurs attribuées à n el [i, les derniers termes sous le radical soient assez petits pour que l'on puisse négliger les puissances supérieures à la première, et si nous remarquons que
r z= (y m — R', R' = — j nous aurons
* aTT
^' * îr\*^ 4« 4/1 4/1 4/î 4///
Remarquons également que Ton a
ou, d'après la formule (i) de l'article précédent, en supposant que l'angle mO'A soit assez petit pour qu'on puisse le remplacer par sa tangente,
/ a/i 5 îT 7 ir . 3 ir\
( I C08 7 - C08 7 - sin 7 - )
^ -/ \ ff 4 w 4 /» 4 /»/
* ' ' . 5 ir 7 TT . 3 ir
n- 4 tt sin 7 - ces 7 - 8in 7 formule dans laquelle on devra supposer 2e = a.
6a QUATRIÈXS PART». — GHAFtTRB itt.
18. Des trains ou équipages d'engrenages. — Nous avons vu que le rapport du diamètre d'un pignon, rapporté à celui de la roue avec laquelle il engrène, ne devait pas dépasser une certaine limite» qui est j pour les machines industrielles, et -^ pour les chronomètres, limite que nous représentons par v.
Supposons que Ton veuille transformer une rotation &)i autour de Oi en une autre plus grande &)« autour de 0«, telle que le rapport
soit inférieur i v : pour y arriver, on montera sur l'axe Ot une roue que l'on fera engrener avec un pignon tournant autour d'un axe intermédiaire Oi et faisant corps avec une roue; onfera engrener cette dernière roue avec un pignon monté sur un second axe intermédiaire Os» et ainsi de suite jusqu'à ce que l'on arrive au dernier pignon tournant autour de 0,. Le nombre 5—2 des axes intermédiaires, les rayons des pignons et des roues ou leurs nombres de dents devront être choisis de manière à satisfaire à la condition (i) et à celle qui résulte de la limite inférieure v pour le rapport du diamètre d'un pignon à celui de la roue correspondante. Soient, à cet effet,
Ri, . . . , R«., les rayons des roues successives, montées sur les axes Ou.. ., 0,^,;
Ni,. . ., N^-i les nombres des dents de ces roues;
Ti, Tj, . . . , r,^i les rayons des pignons tournant autour des axes Oa, 0,,..., 0,;
/11, n,» . . . , it«., les rayons et les nombres des dents de ces pignons ;
ui, . . . , &)« les vitesses angulaires de 0,, . . . , O3.
On a
d'où
TaAHSFORMATION DO HOUTSVBlfT GlftCULAIftB COHTINU, BTC. 63
On voit ainsi qae le rapport des vitesses angulaires extrêmes» ou la raison de l'engrenage» est égal au rapport du produit des rayons ou du nombre des dents des pignons à celui des rayons ou des nombres des dents des roues.
Dans de semblables mécanismes, il arrive quelquefois» comme dans la minuterie des chronomètres» que deux arbres soient concentriques» l'un creux» appelé canon, tournai^ à frottement doux sur l'autre.
Les vitesses extrêmes (en employant uniquement des engrenages extérieurs» comme nous le supposerons toujours dans ce qui suit) seront de même sens ou de sens contraire» selon que le nombre des axes intermédiaires sera impair ou pair. Pour établir une distinction entre ces deux cas» nous affecterons e du signe + dans la première» et du signe — dans le second» ce qui revient à poser
On représente généralement un équipage d'engrenages de la manière suivante» en plaçant sur la même ligne horizontale les nombres des dents des organes qui engrènent ensemble» et sur la même verticale ceux qui correspondent à un axe commun
Ni-i — ^i-f
Exemple :
Une horloge à seconde peut être représentée par le diagramme suivant :
Roue d'échappement. . . 3o — 6 Aiguille des secondes,
Roue moyenne 45 — 6
Roue motrice 48 — a5 — 6
25 Aiguille des minutes, 72 A des heures,
le mouvement étant communiqué de la roue motrice à la
64 QUATRltaB PAHTIB* — GBAPITBB III.
roue d'échappement par deux pignons de 6 dents et deux rouesy dont l'une a 45 et l'autre 48 dents. L'aiguille des se* condes est adaptée à la roue d'échappement, qui est réglée en raison d'un tour par minute, et Ton voit, d'après le tableau précédent, que la roue motrice fera un tour par heure; car on a pour la raison
if a
Si l'on voulait employer des pignons de 8 ou de i4 dents ou ailes au lieu de pignons de six ailes, qui sont assez défectueux, on remplacerait la partie du diagramme ci^dessus, re* lative à ces organes, par le suivant
ou
— la
io5
Il résulte de ce qui précède que l'on obtiendra facilement la raison d'un train donné; mais le problème inverse, consistant à déterminer un équipage, correspondant à une raison donnée, exige quelques développements, dans lesquels nous allons entrer après avoir traité le cas particulier suivant.
19. Problème de Young. — Cette question, qui a plutôt un caractère de curiosité que d'utilité, a pour objet de déterminer les éléments de l'équipage qui, pour une raison donnée e, correspond à un minimum du total des dents lorsque les pignons sont tous identiques entre eux ainsi que les roues.
Si l'on pose
s-l^k, jj = ^,
on a
t = JC*,
d'où, en prenant les logarithmes hyperboliques. Ce qu'il faut rendre minimum, c'est l'expression
TIAlfSFORMÀTION BU HOUYIMBNT CIRGULAIEB CONTIHU, StC. 65
dont la dérivée, égalée à zéro, donne l'équation
d'o&9 par approximation,
Si l'on prend a: = 3, 60, cette valeur s'exprime par le rapport de 18 à 5 ou de 36 à 10, nombres qui sont très-convenables comme modules d'une roue et d'un pignon. On trouve, en fals|ant varier k^
Pour k—i a 3 4 5
Si donc le rapport proposé est une de ces valeurs, on pourra employer l'équipage de Young, eomposé d'un nombre de pignons de 36 dents et de pignons de 10 dents déterminé par la valeur correspondante de k.
20. Méthode générale pour fixer les éléments d'un train dont la raison est donnée. — Pour établir un système de rouages, on voit qu'il est indispensable de mettre e sous la forme du quotient de deux produits de même nombre de facteurs que l'on puisse grouper deux à deux, du numérateur au dénominateur, de manière que le rapport de ce couple ne descende jamais au-dessous de v.
Pour faire cette décomposition d'une manière simple et suffisamment approximative, lorsque les deux termes de la raison sont très-grands, on réduit t en fraction continue et Ton cherche parmi les réduites successives celle qui convient le mieux au but que l'on se propose.
On sait que deux réduites consécutives sont l'une plus grande, l'autre plus petite que la fraction génératrice, que leur différence est égale à l'unité divisée par le produit de leurs dénominateurs, et enfin qu'une réduite jouit de la propriété d'exprimer une approximation par le quotient des plus petits nombres entiers; mais il est moins important d'avoir de petits nombres pour les deux termes d&la fraction qui représente approximativement e que d'obtenir des nombres décompom. s
66 QUATRifcHB PâBTIB. — CHAPITRE III.
sables en facteurs. Aussi, lorsqu'on ne trouve pas parmi les réduites une fraction satisfaisante, il faut avoir recours à des fractions moins simples, parmi lesquelles on en trouvera souvent de plus avantageuses pour l'objet que Ton se propose.
Soit, à cet effet, - une fraction, dont les termes sont indé-
terminés, supposée très-peu différente d'une autre fraction 7 dont ^ est l'avant-dernière réduite; on a
aq — bp ^\,
et, en posant
ay — bx = X-,
k devra être très-petit par rapport à 6 j, par l'hypothèse que
il X n
la différence -r = t — doit être très-petite. Cette dernière
b y by ^
équation, en verti» de la formule précédente, aura pour solution en nombres entiers
y = lq, x=Ap;
par conséquent sa solution la plus générale en nombres entiers sera
(5 ) jr—Ag~h Ma, x := Ip -\- Ma,
M étant un entier quelconque positif ou négatif.
On donnera à M et à A" des valeurs croissantes positives ou négatives, et l'on s'arrêtera à celles qui fourniront pour ;r et^ des nombres dont la décomposition en facteurs permettra de satisfaire à la question proposée, après s'être assuré que Terreur commise est admissible.
21. Applications : i" Horloge à secondes. — On suppose que la roue d'échappement fait un tour par minute, que le nombre des axes est réduis à trois, ce qui est un minimum, et enfin que chaque pignon ne possède que six ailes, ce qui est encore un minimum. On a
I r^*r^ 6.6 6.6 '~6o ~ HKJ "" ÎÏ6Ô ~ 4M8'
TIARSFORHAnOM DU MOUYBMBNT GIRGULÀIftB CONTINU, ETC. 67
el l'on retombe sur la combinaison indiquée au n^ 18, et qui est la plus avantageuse parmi toutes celles qu'on peut déduire de la décomposition en facteurs de la raison, à cause de la presque égalité des nombres des dents des deux roues.
On trouvera de la même manière la combinaison relative à l'emploi des pignons de huit ailes.
2® Horloge lunaire,— L'une des aiguilles marque les heures sur un cadran, et l'autre fait une révolution dans la durée 29) 12^44"". d'une lunaison : on a
7ao 180
4^524 io63i
Mais io63i étant un nombre premier, nous prendrons la valeur approximative
7ao 8.8
correspondant à un train facilement réalisable, et qui ne donne lieu qu'à une erreur d'une minute par lunaison.
3"* Horloge de huit jours. — Pour que la longueur de la corde du poids moteur ne devienne pas un inconvénient, il ne faut pas qu'elle fasse plus de seize tours, et il est nécessaire, par suite, que chaque tour corresponde à douze heures; toute paire de roues ayant pour raison -^ suffit pour atteindre ce but, et l'on prend généralement 8 et 96 pour les deux termes du rapport, ce qui donne pour diagramme :
96 12 heures .
8 — io5 I heure
12 — 30 i minute
4® Horloge d'un mois. — En admettant toujours seize tours de corde, chaque tour devra suffire pour quarante-huit heures; la raison -^ serait trop petite pour une seule paire de roues, mais elle peut être obtenue avec deux.
En employant, par exemple, des pignons de douze et de
68 QUATBlftMB PAftTIB. — CBAPITBB III.
seize ailes, on obtient le diagramme suivant :
96 t 48 heures
16 — 96 I heure
12 — io5
12 — 3 I minute
5® Horloge sidérale. — Pour obtenir une horloge qui donne a la fois le temps sidéral et le temps moyen 9 on peut placer derrière l'aiguille des heures un cadran mobile plus petit que le cadran ordinaire et concentrique avec lui; raiguilley faisant une révolution en vingt-quatre heures solaires, marquera le temps moyen et indiquera en même temps l'heure sidérale sur le cadran mobile. Si on lui donne un mouvement rétrograde de 3"*55s555 = a36%555 par jour moyen, le rapport de la vitesse de Taiguille à celle du cadran est
La fraction -7— r — 1 réduite en fraction continue, donne
pour réduites successives
I 10 2i 80 io3
et l'on peut prendre avec une grande approximation la réduite
lui io3.8
On peut employer une autre disposition, dans laquelle une seconde aiguille accomplira une révolution dans un jour sidéral, en remarquant que vingt-quatre heures de temps sidéral équivalent à 3i4*'56"4*X 0,906 = 86164* ^c temps moyen. La raison relative à l'aiguille du temps sidéral et à celle du temps moyen est par suite
TftANSFOftMÀTION DU HOUVBVBIIT CIRGULA1IB CONTIlfUy BTC. 69
el en opérant comme on Ta indiqué plus haut sur cette fraction, qui est irréductible, on arrive à l'expression
365i/-f-!>i54iM 366i^ -+- ai6ooM
ce qui donne, dans l'hypothèse de A* = — 4* M ~ 7»
rapport qui ne conduit qu'à une erreur annuelle de ai%5.
