OI.O'A

OA

TRANSFORMATION DU MOUTEMBKT CIRCULAIRE CONTINU, ETC. 3l

par suite, Tenveloppe cherchée n'est autre chose que la développée de cette même circonférence.

Il est facile de voir que Ton arriverait à un pareil résultat si, au lieu de se placer dans le cas de la Ggure> on supposait que les circonférences (S) et (S') fussent intérieures Tune à l'autre.

On sait d'ailleurs que» pour construire une développante de cercle, il suffit de tracer sur la circonférence des points équidistants o, i, 2, 3,. . , , assez rapprochés pour que l'on puisse considérer les arcs interceptés comme rectilignes, puis des points I, 2, 3,... avec des rayons égaux à une fois, deux fois, irois fois,... l'équidislance, de décrire des arcs de cercle tangentiellement auxquels on tracera une courbe continue passant par le point o, et qui sera la courbe cherchée.

13. Généralités sur les engrenages. — Pour transformer un mouvement de rotation qui a lieu autour d'un axe en un autre autour d'un autre axe parallèle au premier, on s'arrange de manière que les deux corps (S) et (S'), qui tournent respectivement autour de ces axes, soient munis de saillies ou dents agissant de l'un de ces corps sur l'autre. Pour obtenir une stabilité convenable dans le mode d'action de (S) sur (S'), on donne à ces saillies une forme cylindrique dont les génératrices sont parallèles à la direction des axes, et l'on réalise ainsi ce qu'on appelle un engrenage cylindriquey qui n'est autre chose qu'un couple de roues dentées.

Nous pourrons substituer, dans le raisonnement, aux corps (S) et (S') leurs sections faites par le plan de la figure, censé perpendiculaire aux axes, et considérées comme tournant autour des traces 0, 0' de ces axes.

On exige qu'un engrenage soit construit de telle manière que le rapport des vitesses angulaires cd, cd' autour des points G, C reste constant, et, pour qu'il en soit ainsi, il est évident qu'il doit exister entre les profils de deux dents correspondantes une relation que nous déterminerons un peu plus loin. ^

La roue menante est celle qui reçoit directement ou indirectement l'action de la force motrice, et qui engendre le mouve-

ment de la roue menées laquelle correspond à la résistance utile à vaincre.

Du profil des dents. — Les fig. 33 et 34 sont respectivement relatives aux cas où les vitesses angulaires oi, (ù' sont de sens

contraire ou de même sens, en supposant^ par exemple, que &) ait lieu de la droite vers la gauche.

Le raisonnement suivant s'appliquera simultanément aux deux figures, dont les points correspondants sont représentés par les mêmes lettres.

Soient, à un instant quelconque^ ma, ma' les profils des dents de (S), (S') en contact au point m; concevons que Ton imprime à ces deux figures invariables et autour de 0' une rotation égale et contraire à &)', de manière à ramener (S') au repos; le centre instantané de (S) dans le mouvement résultant se trouvera en un point A de la direction de la ligne des centres déterminée par la relation

;^ = -, d'où OA.« = 0'A.«', U A w

et comme — est constant par hypothèse, il en est de même

de OA et 0' A; d'où il suit que le lieu géométrique du centre instantané de (S) sera la circonférence de centre 0 et de rayon OA = R sur le plan mobile de cette figure, et la circonférence de centre 0' et de rayon 0' A = R' sur le plan fixe de

TRANSFORMATION DU MOUYBMENT GIRCULAIRB CONTINU^ ETC. 33

(S/), et le mouvement relatif de (S) par rapport à (S') sera défini par le roulement de la circonférence OA sur la circonférence O'A.

Ces deux circonférences, appelées circonférences primitives de Tengrenage. sont extérieures ou intérieures Tune à l'autre selon que o), &)' sont de sens contraire ou de même sens, d*où le nom d'engrenage extérieur dans le premier cas et d'engrenage intérieur dans le second,

Comme, dans le mouvement relatif ci-dessus de (S), la courbe mobile am ne cesse pas d'être tangente à la courbe fixe a' m, on a ce théorème : Daru un engrenage cylindrique^ le profil des dents de l'une des roues est l'enveloppe des positions que prend le profil des dents de l'autre roue lorsque sa circonférence primitive roule sur celle de la première.

Si donc on se donne le profil de Tunë des roues, on en déduira le tracé de l'autre profil par les méthodes indiquées au numéro précédent, et l'on voit que, dans le mouvement réel de l'engrenage, la normale au point de contact des deux dents en prise passe par le point de contact des circonférences primitives.

La portion du profil des dents extérieure à la circonférence primitive s'appelle la tête de la dent, pour la distinguer de l'autre qui en est \q flanc, et, d'après une remarque faite plus haut^ le contact ne peut avoir lieu qu'entre un flanc et une tête..

Des pleins et des creux. — Pour maintenir^onstant, autant que possible dans la pratique, le rapport des vitesses angulairesy on s'arrange de manière que les dents de chacune des roues soient toutes identiques et également espacées. Les portions de la circonférence primitive déterminées par une dent et un vide portent respectivement les noms de ha^e des dents et d'intervalle; l'arc de cette circonférence compris entre les milieux de deux bases ou de deux intervalles consécutifs, que l'on appelle le pas^ doit être une partie aliquote de la circonférence entière.

Le pas doit nécessairement être de même pour les deux roues, et par suite une commune mesure entre les deux circonférences primitives; car, pour que le contact d'un couple III. 3

de dénis vienne à succédera celui du couple précédent, il faut que les circonférences primitives aient tourné du même arc.

Si l'exécution des roues était parfaite, il suffirait que les bases fussent égales aux intervalles; mais, comme il est impossible d'arriver à cette perfection, on a soin de donner aux vides sur les pleins un excédant de largeur qui est généralement compris entre ^ô ou yô <!« pas, et qui est \ejeu de l'engrenage. Après avoir tracé sur les circonférences primitives les divisions correspondant au pas, on détermine les pleins et les vides en tenant compte du jeu fixé d'avance, d'après le degré de précision que doi-t comporter l'exécution de l'engrenage; puis on trace le profil des dents de l'une des roues en se donnant celui des dents de l'autre roue; le rapport du nombre des dents des deux roues est par suite égal à celui des circonférences primitives, c'est-à-dire à celui de leurs rayons.

Généralement on forme chaque dent de deux parties symétriques par rapport au rayon qui passe par leur milieu; de sorte que, si la largeur des dents était égale à celle de leurs intervalles ou s'il n'y avait pas de jeu, le contact aurait lieu en même temps des deux côtés de chaque dent, ce qui est irréalisable dans la pratique, car les moindres irrégularités arrêteraient le mouvement de l'engrenage.

Pour limiter l'influence du frottement, comme nous le verrons dans un autre Chapitre, il convient de faire en sorte que le contact n'ait lieu que sur une petite étendue de part et d'autre de la ligne des centres, ou que les arcs correspondants des circonférences primitives, par suite le pas, soient relativement petits.

Du choix des profils. — Pour que la construction du n" 12 puisse conduire à un résultat pratique, il faut choisir l'enveloppée de manière qu'il n'en résulte pas de pénétration avec la partie utile de l'enveloppe. Ainsi, par exemple, si les centres des cercles tangents de la tête et de la face de l'enveloppée se trouvaient d'un même côté de son point d'intersection avec la circonférence primitive (S), les deux parties correspondantes de l'autre profil se trouveraient aussi du]

'■Tie côté de leur point commun ; et comme elles se péné-|