RH-R' 2R-+-K

Ainsi le point J reste à une distance constante du centre O', et, pour l'obtenir, il suffit de projeter sur 00' le point d'intersection de la circonférence (S') avec une demi-circonférence décrite sur O'L comme diamètre.

Soient S le sommet de l'arceau considéré ; M, N les points de rencontre des circonférences de centre 0' et de rayons G' J, 0' A avec la droite O'S. Décrivons sur AJ comme diamètre une circonférence qui évidemment passera par le point C ; on a

arcC'J = AJxé^=-|«5(^-^V-«^«"'N^

arcMJ =0',xii^ = ^ = ^^ arcNA,

d'où

arcCJ = arcMJ.

Il suit de là que le lieu des points C ou la développée de l'épicycloïde est elle-même une épicycloïde résultant du roulement de la circonférence AJ sur la circonférence O'J, et dont les sommets et les points de rebroussement correspondent respectivement aux points de rebroussement et aux sommets de l'épicycloïde proposée.

Lorsque la circonférence mobile çsl intérieure à la circonférence fixe, l'enveloppe est une épicycloïde intérieure ou hj-pocyclotde qui jouit des mêmes propriétés que la courbe que nous venons d'étudier.

L'enveloppe devient une cycloïde si R' est infini, c'est-à-dire si la circonférence (S') est remplacée par une ligne droite.

(6). Enveloppe d'une épicycloïde. — Soient (Jig. 29)

P le centre d'une circonférence tangente en A extérieurement à (S') et intérieurement à (S);

TBÀNSFORMATION DU 1I0UYEMBNJ|G1RGULÀIRB CONTINU, BTG. a^

mA,, mk\ rhypocycloïde et Tépicycloïde décrites par un point m de cette circonférence roulant respectivement

sur (S) et (S');

Fîg. ag.

A„A', les positions correspondantes du point décrivant sur les deux circonférences.

Il est clair que

arcAA, = arcAm = arcAA',,

I et, comme la normale en m passe par le point A, on a ce théorème:

V enveloppe d'une épicyclolde est Vhypocyclolde décrite par u point du même cercle générateur roulant dans V intérieur k la circonférence mobile, et inversement.

(c). Enveloppe d'un rayon. — Soient {Jig* 3o)

OAi, dans une position quelconque, le rayon dont on veut

terminer l'enveloppe; A', le point de la circonférence (S') correspondant au point A,

deS; A le point de contact actuel des deux circonférences; 'nie pied de la perpendiculaire abaissée de A sur OAi, et qui

est le point de Tenveloppe correspondant à la disposition

de la figure.

Le point m se trouve sur la circonférence décrite sur OA

comme diamètre ayant son centre en P; mais on a

AP/7i = 2A0/w, d'où AP/w.P/w = A0//i.2Pm = AO/w.OA. Il suit de là que l'arc A m est égal à Tare AA| et, par suite, à

Fig. 3o.

Tare AA'j : donc le lieu cherché est l'épicjrcloïde engendrée par un point d'une circonférence décrite sur un rayon de la circonférence mobile.

On déduit de là et du théorème énoncé à l'article précédent que V hypocyclotde décrite par un point de la circonférence d'un diamètre moitié de celui de la circonférence mobile est un rayon de cette dernière; car le rayon OA,, enveloppe des positions del'épicycloïde A', m, n'est autre chose que Thypocycloïde engendrée par le point m de la circonférence P roulant dans l'intérieur de (S). Il est facile d'ailleurs de démontrer directement cette propriété (').

Si le rayon OA est infini ou si la circonférence 0 devient une droite, la normale A m est tangente en A à ( S' ), et, comme

(*) C'est sur cette même propriété qu'est basé le mécanisme connu sous le nom à!engrenage de Delahire, qui a pour objet de transformer un mouvement de rotation continu en mouvement rectiligne alternatif. Les deux circonférences correspondant à deux roues dentées engrènent Tune dans l'autre, dont l'une est fixe et l'autre mobile. L'axe de cette dernière est maintenue dans un coussinet engagé dans une maniTelle tournant autour de l'axe de figure de la roue

TRANSFORMATION DU MOUTEMBNT CIRGULAIRB CONTINU, ETC. 29

elle est égale à Ak\, Tenveloppe est la développante de la circonférence 0'.

(rf). Enveloppe d'une circonférence. — Proposons-nous de déterminer l'enveloppe d'une circonférence ayant son centre Al [Jig.^i) sur le périmètre de (S), que nous suppose-

Fig. 3i.

rons extérieur à (S'), comme l'indique la figure; on verra sans peine que les raisonnements qui suivent et les conséquences qu'on en déduit s'appliquent sans aucune restriction au cas où rinverse aurait lieu. On obtiendra deux points m de l'enveloppe par l'intersection de la droite AAi avec la circonférence enveloppe, et, par suite, on construira cette enveloppe, en augmentant ou diminuant du rayon de la circonférence génératrice la normale de l'épicycloïde décrite par son centre, et dont A', est un point de rebroussement.

L'enveloppe se composera ainsi de deux courbes, l'une intérieure, qui seule nous servira plus loin, et l'autre extérieure. Ces courbes, étant toutes deux parallèles à l'épicycloïde A, A', , auront la même développée que cette dernière.

aie, et au moyen de laquelle on produit le mouTement. Si une tige verticale '^ articulée en un point de la circonférence de la roue mobile, elle obéira à on mouvement oscillatoire dont Tamplitude sera le diamètre de la circonférence fixe, et pourra être utilisée par exemple pour faire fonctionner des pompes.

Ces deux courbes auront chacune un point de rebroussement K situé sur la circonférence (S'), et qui sera déterminé par la condition que la normale Kn, abaissée de ce point sur répicycloïde, soit égale à A, m. En supposant que la circonférence mobile 0 se trouve en contact avec l'un des points K de la circonférence fixe 0', on voit que la corde de l'arc Kn de la première circonférence est égale à Ai m, et que par suite Tare K A', est égal à Tare A,I de 0, dont la corde est égale au rayon Ai m; de sorte que les deux points de rebroussemeni s'obtiendront en portant de part et d'autre de A'^ , sur la circonférence 0', des arcs égaux à l'arc A,I.

(e). Enveloppe d'une développante de cercle, — Soit mli (fig. 32) la développante d'un cercle OIK concentrique

Fîg. 3a.

avec (S), et dont on se propose de trouver l'enveloppe. Le point de cette enveloppe est l'intersection m de la développée avec la tangente AI menée du point A à sa circonférence génératrice; mais cette droite est aussi tangente à une circonférence de centre 0', et dont le rayon a pour valeur